Unidade II

Conjuntos Numéricos

O conjunto dos números naturais \(\mathbb{N}\)

O conjunto dos números naturais é utilizado em dados de contagem, como por exemplo: número de pessoas, número de plantas, número de animais, etc.

• Notação: \(\mathbb{N}= \{0,1,2,3,\ldots\}\).
  
• Caso especial: Conjunto dos números naturais sem o zero \(\mathbb{N}^* = \{1,2,3,\ldots\}\).

Operações fundamentais no conjunto dos números naturais:

• Adição:
  • Associativa: \((a+b)+c = a+(b+c), \forall a, b \text{ e } c \in \mathbb{N}\), donde lê-se: “\((a+b)+c = a+(b+c)\), para quaisquer (ou para todos) \(a,b \text{ e } c\) pertencentes ao conjunto \(\mathbb{N}\)”;
  • Comutativa: \(a+b = b+a, \forall a \text{ e } b \in \mathbb{N}\);
  • Elemento Neutro: \(a+0 = a, \forall a \in \mathbb{N}\), portanto o zero é o elemento neutro na adição.

Propriedade do Fechamento A adição no conjunto dos números naturais é fechada porque a soma de dois números naturais é sempre um número natural. O mesmo não acontece para a subtração.

• Multiplicação:
  • Associativa: \((a.b)c = a(b.c), \forall a, b \text{ e } c \in \mathbb{N}\); onde o “.” pode ser substituído por “\(\times\)” ou por “vazio”, ou seja, da expressão “\(a b\)” subentende-se que é a multiplicação (ou produto) dos números \(a\) e \(b\);
  • Comutativa: \(a.b = b.a, \forall a \text{ e } b \in \mathbb{N}\);
  • Elemento Neutro: \(a.1 = a, \forall a \in \mathbb{N}\), portanto o \(1\) é o elemento neutro na multiplicação;
  • Distributiva da multiplicação com relação à adição: \(a(b+c)= ab+ac, \forall a, b \text{ e } c \in \mathbb{N}\).

Propriedade do Fechamento: A multiplicação no conjunto dos números naturais é fechada porque o produto de dois números naturais é sempre um número natural. O mesmo não acontece para a divisão.

Exemplos no R - números naturais

#install.packages("numbers")  #para instalar é só retirar o símbolo de "#"
require(numbers)  #verifica propriedades dos números
a=1
b=2
c=3
(a+b)+c==a+(b+c) #associativa na adição

## [1] TRUE

a+b==b+a         #comutativa na adição

## [1] TRUE

a+0==a           #elemento neutro na adição

## [1] TRUE

(a*b)*c == a*(b*c) #associativa na multiplicação

## [1] TRUE

a*b==b*a           #comutativa na multiplicação

## [1] TRUE

a*1==a            #elemento neutro na multiplicação

## [1] TRUE

a*(b+c)==a*b+a*c  #distributiva

## [1] TRUE

isNatural(a+b) #fechada para adição

## [1] TRUE

isNatural(a-b) #não é fechada para subtração

## [1] FALSE

isNatural(a*b) #fechada para multiplicação

## [1] TRUE

isNatural(a/b) #não é fechada para divisão

## [1] FALSE

Conjuntos dos números inteiros \(\mathbb{Z}\)

O conjunto dos números inteiros é formado pelos elementos do conjunto \(\mathbb{N}\) e de seus elementos simétricos correspondentes. É utilizado em dados de temperatura, dados financeiros (acréscimos ou decréscimos), etc.

• Notação \(\mathbb{Z}=\{\ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\ldots\}\).
• Casos especiais do conjunto \(\mathbb{Z}\):
  • Conjunto dos números inteiros não negativos: \(\mathbb{Z^+}=\{0,1,2,3,\ldots\}=\mathbb{N}\),
  • Conjunto dos números inteiros não positivos: \(\mathbb{Z^-}=\{\ldots,-3,-2,-1,0\}\),
  • Conjunto dos números inteiros não nulos: \(\mathbb{Z^*}=\{\ldots,-3,-2,-1,1,2,3,\ldots\}\).

Operações fundamentais no conjunto dos números inteiros:

Valem as mesmas operações definidas para os números naturais.

Propriedades adicionais:

• Elemento oposto: \(a+(-a) = 0, \forall a \in \mathbf{Z}\), logo:
  • o oposto de \(a\) é \(-a\);
  • o oposto de zero é zero;
  • \(a\) e \(-a\) são números simétricos com relação ao zero (as distâncias de zero são iguais);
  • \(\vert a \vert\): lê-se “módulo de \(a\)” é igual à distância de um número \(a\) até o zero;
• Subtração: \(a-b = a+(-b), \forall a \text{ e } b \in \mathbf{Z}\).

Propriedade do Fechamento: A adição, a subtração e a multiplicação no conjunto dos números inteiros são fechadas.

Exemplos no R - números inteiros

#install.packages("DistributionUtils")  #para instalar é só retirar o símbolo de "#"
require(DistributionUtils)  #verifica propriedades dos números
a=-1
b=2
c=3
(a+b)+c==a+(b+c) #associativa na adição

## [1] TRUE

a+b==b+a         #comutativa na adição

## [1] TRUE

a+0==a           #elemento neutro na adição

## [1] TRUE

(a*b)*c == a*(b*c) #associativa na multiplicação

## [1] TRUE

a*b==b*a           #comutativa na multiplicação

## [1] TRUE

a*1==a            #elemento neutro na multiplicação

## [1] TRUE

a*(b+c)==a*b+a*c  #distributiva

## [1] TRUE

a+(-a)==0         #elemento oposto

## [1] TRUE

a+(-b)==a-b       #subtração

## [1] TRUE

is.wholenumber(a+b)    #fechada para adição

## [1] TRUE

is.wholenumber(a-b)   #fechada para subtração

## [1] TRUE

is.wholenumber(a*b)    #fechada para multiplicação

## [1] TRUE

is.wholenumber(a/b)    #não é fechada para divisão

## [1] FALSE

Conjuntos dos números racionais \(\mathbb{Q}\)

O conjunto ds números racionais consiste de todos os números que podem ser representados em forma de fração. Matematicamente, \[ \mathbb{Q}=\left\{x,x=\frac{a}{b},a \text{ e } b \in \mathbb{Z} \text{ e } b \neq 0\right\}, \] onde \(a\) é o numerador e \(b\) é o denominador.

Casos especiais do conjunto \(\mathbb{Q}\)

• Conjunto dos números racionais não negativos: \(\mathbb{Q^+}\);
• Conjunto dos números racinais não positivos: \(\mathbb{Q^-}\);
• Conjunto dos números racionais não nulos: \(\mathbb{Q^*}\).

Operações fundamentais no conjunto dos números racionais

Valem as mesmas operações definidas para os números inteiros.

Propriedades adicionais

• Igualdade: \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d} \Leftrightarrow a d = b c\);
• Adição: \(\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{a d + bc}{bd}\);
• Multiplicação: \(\frac{a}{b}.\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}\).

Propriedade do Fechamento: A adição, a subtração, a multiplicação e a divisão (exceto divisão por zero) no conjunto dos números racionais são fechadas.

Resultados das operações fundamentais em \(\mathbb{Q}\)

• Números racionais com denominador unitário:
  • \(\frac{a}{1}=\frac{b}{1} \Leftrightarrow a=b\),
  • \(\frac{a}{1}+\frac{b}{1} = \frac{a+b}{1}=a+b\),
  • \(\frac{a}{1}.\frac{b}{1} = \frac{a.b}{1}=a.b\),
• Operação de adição:
  • Associativa: \(\left(\frac{a}{b}+\frac{c}{d}\right)+\frac{e}{f}=\frac{a}{b}+\left(\frac{c}{d}+\frac{e}{f}\right)\),
  • Comutativa: \(\frac{a}{b}+\frac{c}{d} = \frac{c}{d}+\frac{a}{b}\),
  • Elemento neutro: \(\frac{a}{b}+0 =\frac{a}{b}\),
  • elemento oposto: \(\frac{a}{b}+\left(-\frac{a}{b}\right)=0\),
• Operação de multiplicação:
  • Associativa: \(\left(\frac{a}{b}.\frac{c}{d}\right).\frac{e}{f}=\frac{a}{b}.\left(\frac{c}{d}.\frac{e}{f}\right)\),
  • Comutativa: \(\frac{a}{b}.\frac{c}{d} = \frac{c}{d}.\frac{a}{b}\),
  • Elemento neutro: \(\frac{a}{b}.1 = \frac{a}{b}\),
  • Distributiva da multiplicação com relação à adição: \(\frac{a}{b}.\left(\frac{c}{d}+\frac{e}{f}\right)=\frac{ac}{bd}+\frac{ae}{bf}\),
  • Elemento inverso: \(\forall x=\frac{a}{b} \in \mathbb{Q} \text{ e } a \neq 0, \exists y = \frac{b}{a} \text{ tal que } x y = 1\). Logo \(y=\frac{1}{x}\) é o inverso de x. O zero não possui inverso pois não existe divisão por zero!

Exemplos no R - números racionais

a=-1 
b=2
c=3
d=-6  #definindo de tal forma que a/b=c/d
(a+b)+c==a+(b+c) #associativa na adição

## [1] TRUE

a+b==b+a         #comutativa na adição

## [1] TRUE

a+0==a           #elemento neutro na adição

## [1] TRUE

(a*b)*c == a*(b*c) #associativa na multiplicação

## [1] TRUE

a*b==b*a           #comutativa na multiplicação

## [1] TRUE

a*1==a            #elemento neutro na multiplicação

## [1] TRUE

a*(b+c)==a*b+a*c  #distributiva

## [1] TRUE

a+(-a)==0         #elemento oposto

## [1] TRUE

a+(-b)==a-b       #subtração

## [1] TRUE

a*d==b*c #vale o produto cruzado

## [1] TRUE

a/b+c/d == (a*d+b*c)/(b*d) #adição, simplificando no mesmo denominador

## [1] TRUE

(a/b)*(c/d)==(a*c)/(b*d) #multiplicação, simplificando no mesmo denominador

## [1] TRUE

1/(a/b) #elemento inverso de a/b

## [1] -2

Dízimas periódicas

Dízima periódica simples: o período (algarismo que se repete) aparece após a vírgula.

Exemplo 1:

• 1. \(0,444\ldots\): o período é igual a \(4\),
• 2. \(0,5353\ldots\): o período é igual a \(53\).

Dízima periódica composta: há um ou mais algarismos entre a vírgula e o período. Temos a existência do antiperíodo.

Exemplo 2:

• 1. \(0,5333\ldots\): o período é igual a \(3\) e o antiperíodo é igual a \(5\),
• 2. \(0,78555\ldots\): o período é igual a \(5\) e o antiperíodo é igual a \(78\).

Fração geratriz de uma dízima periódica

Qualquer dízima periódica pode ser expressa na forma de uma fração com denominador diferente de zero.

• Dízima periódica simples: \(0,444\ldots = \frac{4}{9}\) donde o período é igual a 4.
  Descrição do método Coloca-se o período no numerador da fração e para cada algarismo do período coloca-se \(9\) no denominador.

Exemplo 3: Verifique que no R, nós arredondamos com 6 ou 7 casas decimais.

• 1. \(0,535353 \ldots = \frac{53}{99}\).

53/99

## [1] 0.5353535

• 2. \(0,234234 \ldots = \frac{234}{999}\);

234/999

## [1] 0.2342342

• 3. \(1,555 \ldots= 1+\frac{5}{9}=\frac{9+5}{9}=\frac{14}{9}\).

14/9

## [1] 1.555556

Dízima periódica composta: \(0,2777 \ldots= \frac{27-2}{90} = \frac{25}{90}\) donde o período é igual a \(7\) e o antiperíodo é igual a \(2\).

Descrição do método:

• numerador: coloca-se junto os algarismos do antiperíodo e período, e subtrai-se o antiperíodo.
• denominador: para cada algarismo do período coloca-se um 9 e para cada algarismo do antiperíodo coloca-se um zero.

Exemplo 4: Com cálculos no R:

• 1. \(1,6444 \ldots= 1+\frac{64-6}{90}=\frac{90+58}{90}=\frac{148}{90}=\frac{74}{45}\);

74/45

## [1] 1.644444

• 2. \(21,30888 \ldots= 21+\frac{308-30}{900}=\frac{21*900+278}{900}=\frac{19178}{900}=\frac{9589}{450}\).

9589/450

## [1] 21.30889

Notação científica

É uma forma de representar números muito grandes ou muito pequenos na forma de potências de base \(10\).

Exemplo 5:

• 1. \(5.000.000 = 5 . 10^6\), donde a mantissa é igual a \(5\) e o expoente é igual a \(6\).
• 2. \(0,0000000021 = 2,1 . 10^{-9}\), donde a mantissa é igual a \(2,1\) e o expoente é igual a \(-9\).

A mantissa, em módulo, deve ser maior ou igual a \(1\), e menor do que \(10\),
expoente, em módulo, é o número de casas decimais em que deslocamos a vírgula para a esquerda ou para a direita.

Exercícios

1. Represente os seguintes números em forma de fração:

1. \(0,2333\ldots\)
2. \(0,45222 \ldots\)
3. \(0,14275275 \ldots\)
4. \(0,88831313 \ldots\)
5. \(17,161515 \ldots\)
6. \(2,4732121 \ldots\)

Dica Depois de encontrar a fração geratriz, efetue o cálculo da razão no caderno ou na calculadora e confira o resultado.

2. Represente os seguintes números em notação científica ou em forma decimal:

1. \(120.000.000\)
2. \(0,000000098\)
3. \(512.000.000\)
4. \(0,000000000000023\)
5. \(-0,000123\)
6. \(-4.570.000\)
7. \(3,12 . 10^1\)

O conjuntos dos números irracionais \(\mathbb{I}\)

O conjunto dos números irracionais consiste dos números cujas representações decimais não são exatas e não são periódicas, ou seja, estes números não podem ser escritos sob forma de fração).

Exemplo 5: Com cálculos no R:

• 1. \(\sqrt{2} \approx 1,4142136\), donde lê-se: “\(\sqrt{2}\) é aproximadamente igual a \(1,4142136\)”;
     

sqrt(2)

## [1] 1.414214

• 2. O famoso número “pi”: \(\pi \approx 3,1415926\);
     

pi

## [1] 3.141593

• 3. O número de Euler: \(e \approx 2,718281828\),
     dentre vários outros números que não podem ser escritos sob forma de fração.
     

#No R, exp(1) significa e^1 onde e é o número de Euler.
exp(1)

## [1] 2.718282

O conjuntos dos números reais \(\mathbb{R}\)

O conjunto dos números \(\mathbb{R}\) é a união do conjunto dos números racionais \(\mathbb{Q}\) com o conjunto dos números irracionais \(\mathbb{I}\). Assim, temos:

\[ \mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \mathbb{I} \text{ e } \mathbb{Q} \cap \mathbb{I} = \emptyset. \]

Representação dos conjuntos numéricos

Temos as seguintes relações:

• Relação de ordem \(b>a \Leftrightarrow b - a >0\);
• Propriedade da tricotomia Sejam \(a,b \in \mathbb{R}\), então uma e somente uma das afirmações é válida: \[ a=b \text{ ou } a>b \text{ ou } a<b. \] Deste modo, temos que a cada ponto da reta corresponde a um único número real.

Representação gráfica da reta dos números reais

Casos especiais do conjunto \(\mathbb{R}\)

• Conjunto dos números reais não negativos: \(\mathbb{R^+}\);
• Conjunto dos números reais não positivos: \(\mathbb{R^-}\);
• Conjunto dos números reais não nulos: \(\mathbb{R^*}\).

Operações fundamentais no conjunto dos números reais

Valem as mesmas operações definidas para os números racionais.

Propriedade do Fechamento: A adição, a subtração, a multiplicação e a divisão (exceto divisão por zero) no conjunto dos números reais são fechadas.

Propriedades adicionais
Sejam \(a,b \text{ e } c \in \mathbb{R}\), as seguintes afirmações valem:

• Se \(a<b \text{ e } b<c \text{ então } a<c\);
• Se \(a<b \text{ então } a+c < b+c\);
• Se \(a<b \text{ e } c<d \text{ então } a+c<b+d\);
• Se \(a<b \text{ e } c>0 \text{ então } ac < bc\);
• Se \(a<b \text{ e } c<0 \text{ então } ac > bc\);
• Se \(0<a<b \text{ então } \frac{1}{b} < \frac{1}{a}\).

Regras análogas valem para a relação “maior do que”.

Exemplos no R - números reais

a=1
b=2
c=3
d=4
a<c

## [1] TRUE

a+c<b+c

## [1] TRUE

a+c<b+d

## [1] TRUE

a*c<b*c

## [1] TRUE

c=-3
a*c>b*c

## [1] TRUE

1/b < 1/a

## [1] TRUE

Intervalos na Reta

Os intervalos da reta são subconjuntos de \(\mathbb{R}\) que podem ser limitados ou ilimitados.
Os intervalos limitados podem ser fechados, abertos ou semi-abertos, Assim, para quaisquer números \(a \text{ e } b \in \mathbb{R}\), com \(a \leq b\):

• \([a,b]=\{x\in \mathbb{R} \mid a \leq x \leq b\}\)
  é o intervalo fechado à esquerda e fechado à direita;
• \(]a,b[=\{x\in \mathbb{R} \mid a < x <b\}\)
  é o intervalo aberto à esquerda e aberto à direita, também representado por \((a,b)\);
• \([a,b[ = \{x\in \mathbb{R} \mid a \leq x < b\}\)
  é um intervalo semi-aberto: fechado à esquerda e aberto à direita, também representado por \([a,b)\);
• \(]a,b] = \{x\in \mathbb{R} \mid a < x \leq b\}\)
  é um intervalo semi-aberto: aberto à esquerda e fechado à direita, também representado por \((a,b]\);

Os intervalos ilimitados podem ser semi-retas ou retas. Assim, para qualquer número \(a \in \mathbb{R}\):

• \(]-\infty,a[= \{x\in \mathbb{R} \mid x < a\}\),
  verifique que como o limite inferior é igual a “menos infinito”, o intervalo tem que ser aberto à esquerda, pois “infinito” não é um número;
• \(]-\infty,a]= \{x\in \mathbb{R} \mid x \leq a\}\);
• \(]a,+\infty[= \{x\in \mathbb{R} \mid x > a\}\),
  , ou equivalentemente \(]a,\infty[\), em que não é necessário colocar o sinal de “+”;
• \([a,+\infty[= \{x\in \mathbb{R} \mid x \geq a\}\);
• \(]-\infty,+\infty[= \mathbb{R}\).

Exemplo com aplicação no geogebra

Acesse o site https://www.geogebra.org/m/du4kmvbx

Escreva os intervalos na linguagem de conjuntos e represente na reta real:

• 1. \([6,10]\);
• 2. \(]-6,0[\);
• 3. \(]-\infty,3[\);
• 4. \(]-\infty,1]\);
• 5. \(]-1,5]\);
• 6. \([0,+\infty[\);
• 7. \([-6,2[\);
• 8. \(]-5,\sqrt{3}]\);
• 1. \(]-\infty,+\infty[\).

Respostas:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

i)

O intervalo da letra h) não foi possível de implementar no Geogebra. Em linguagem de conjuntos temos seguinte resultado: \[ ]-5,\sqrt{3}]= \{x\in \mathbb{R} \mid -5 < x \leq \sqrt{3}\} \] (intervalo aberto no -5 e fechado no \(\sqrt{3}\))

Representação no R:

require(ggplot2)

## Carregando pacotes exigidos: ggplot2

grafico=ggplot() +
  theme(axis.text.y=element_blank(), 
        axis.ticks.y=element_blank(),
        axis.title.y=element_blank(),
        axis.title.x=element_blank()) +
    geom_segment(mapping=aes(x=-5, y=0, xend=sqrt(3), yend=0),size=1.2,color="orange") +
geom_point( aes( x=-5, y=0 ),shape=1, size=3,color="orange")+
geom_point( aes( x=sqrt(3), y=0 ), size=3,color="orange") +
  geom_text( aes( x=-5, y=0 ),label="-5",size=5,vjust = 1.5)+
  geom_text( aes( x=sqrt(3), y=0),label=expression(sqrt(3)),size=5,vjust = 1.5) 
grafico