Objetivo

Realizar cálculo de probabilidades implementanto Teorema de Bayes

Descripción

Caso: personas que trabajan en sectores y sean mujeres y hombres

Las personas de cualquier género trabajan en algún sector, en función del género determinado de manera inicial se trata de encontrar la probabilidad del sector en donde laboran.

Al elegir aleatoriamente a una persona se conoce el género, Hombre o Mujer y se solicita encontrar la probabilidad de que pertenezca a algún sector.

Desarrollo

Librerías utilizadas

library(knitr)

Las probabilidades

Se trata de encontrar las probabilidades condicionales usando el Teorema de Bayes para personas que trabajan en algún sector (‘Servicios’, ‘Salud’ u ‘Otros’) y sean o que estén en función de algún género (‘Hombre’ o ‘Mujer’).

Evento sectores

  • Existen tres sectores en donde trabajan las personas

  • Hay una probabilidad de que en el sector servicios trabaje \(40\% (0.40)\) de las personas

  • Hay una probabilidad de que en el sector salud trabaje \(35\% (0.35)\) de las personas

  • Hay una probabilidad de que en el sector otros trabaje \(25\% (0.25)\) de las personas

  • La suma debe dar \(100\%\) o \(1\)

  • Las variables en R

    • Prob.Servi \(= 0.40\)
    • Prob.Salud \(= 0.35\)
    • Prob.Otros \(= 0.25\)
Prob.Servi <- 0.40
Prob.Salud <- 0.35
Prob.Otros <- 0.25
cat("Las probabilidades por cada servicio")
## Las probabilidades por cada servicio
Prob.Servi; Prob.Salud; Prob.Otros 
## [1] 0.4
## [1] 0.35
## [1] 0.25

Eventos Mujeres y Hombres

Se dan las probabilidades de que sea de algún género en función del servicio.

Sector Servicios

  • En el sector Servicios la probabilidad de que sea Mujer es del \(0.30\)

  • En el sector Servicios la probabilidad de que sea Hombre es del \(0.70\)

    • PServ.Mujer
    • PServ.Hombre
PServ.Mujer <- 0.30
    PServ.Hombre <- 0.70

Sector Salud

  • En el sector Salud la probabilidad de que sea Mujer es del \(0.60\)

  • En el sector Salud la probabilidad de que sea Hombre es del \(0.40\)

    • PSalud.Mujer \(= 0.60\)
    • PSalud.Hombre \(= 0.40\)
PSalud.Mujer <- 0.60
    PSalud.Hombre <- 0.40
    PSalud.Mujer; PSalud.Hombre
## [1] 0.6
## [1] 0.4

Sector Otros

  • En el sector Otros la probabilidad de que sea Mujer es del \(0.45\)

  • En el sector Otros la probabilidad de que sea Hombre es del \(0.55\)

    • POtros.Mujer = 0.45
    • POtros.Hombre = 0.55
  POtros.Mujer <- 0.45
    POtros.Hombre <- 0.55
    POtros.Mujer; POtros.Hombre
## [1] 0.45
## [1] 0.55

Arbol de Probabilidades

# include_graphics("../imagenes/arbol de decision personas hombre mujeres.jpg")

Cálculo de probabilidades

Se muestran las probabilidades condicionales del género en función del sector.

#include_graphics("../imagenes/arbol de decision personas hombre mujeres con calculo de probabilidades condicionales - 1.jpg")

Con línea verde se indica el primer cálculo multiplicando las probabilidades conforme y de acuerdo a la fórmula de la Ley Multiplicación para el cálculo de probabilidad condicional para eventos independientes.

include_graphics("../imagenes/eventos.jpg")

Ley de Multiplicación

La Ley de la Multiplicación es útil para calcular la probabilidad de la intersección de dos eventos.

La ley de la multiplicación se basa en la definición de probabilidad condicional.

Se multiplican las probabilidades, y en este caso tendiendo las probabilidades identificadas en el árbol se determinan fácilmente.

Probabilidad de que sea Hombre o Mujer en función de Servicios

  • ProbServ.I.Mujer <- Prob.Servi * PServ.Mujer
  • ProbServ.I.Hombre <- Prob.Servi * PServ.Hombre
ProbServ.I.Mujer <- Prob.Servi * PServ.Mujer
ProbServ.I.Hombre <- Prob.Servi * PServ.Hombre
ProbServ.I.Mujer ; ProbServ.I.Hombre
## [1] 0.12
## [1] 0.28

Probabilidad de que sea Hombre o Mujer en función de Salud

  • ProbSalud.I.Mujer <- Prob.Salud * PSalud.Mujer
  • ProbSalud.I.Hombre <- Prob.Salud * PSalud.Hombre
ProbSalud.I.Mujer <- Prob.Salud * PSalud.Mujer
ProbSalud.I.Hombre <- Prob.Salud * PSalud.Hombre
ProbSalud.I.Mujer ; ProbSalud.I.Hombre
## [1] 0.21
## [1] 0.14

Probabilidad de que sea Hombre o Mujer en función de Otros

  • \(ProbOtros.I.Mujer = Prob.Otros * POtros.Mujer\)
  • \(ProbOtros.I.Hombre = Prob.Otros * POtros.Hombre\)
ProbOtros.I.Mujer <- Prob.Otros * POtros.Mujer
ProbOtros.I.Hombre <- Prob.Otros * POtros.Hombre
ProbOtros.I.Mujer ; ProbOtros.I.Hombre
## [1] 0.1125
## [1] 0.1375

Ejercicios probabilidad

Ya se encontró en el apartado anterior las probabilidades condicionales de que una persona siendo de algún sector sea posteriormente hombre o mujer y eso se determinó conforme a la Ley Multiplicativa para eventos Independientes.

Ahora se elige aleatoriamente a una persona se conoce el género, Hombre o Mujer y se solicita encontrar la probabilidad de que pertenezca a algún sector.

Se pide encontrar las probabilidades siguientes:

    1. Prob(Salud | Hombre): Persona que sea del sector Salud y que sea hombre
    1. Prob(Salud | Mujer): Persona que sea del sector Salud y que sea Mujer
    1. Prob(Servicios | Hombre): Persona que sea del sector Servicios y que sea Mujer
    1. Prob(Servicios | Mujer): Persona que sea del sector Servicios y que sea Mujer
  • Notar que en el árbol siguiente el orden de la probabilidad es invertido en relación a la imagen del árbol anterior, por lo que es necesario usar la Fórmula de Bayes.

# include_graphics("../imagenes/arbolprob2.jpg")

Con el siguiente árbol se identifica con línea verde la probabilidad a encontrar la respuesta a la pregunta uno: 1. Prob(Salud | Hombre): Persona que sea del sector Salud y que sea hombre

Con línea roja en el árbol se identifica las distintas probabilidades de que sea de cualquier sector dado que sea Hombre

include_graphics("../imagenes/arbolprob3.jpg")

Calculando la probabilidad por Teorema de Bayes

# include_graphics("../imagenes/Formula Bayes limpia.jpg")

\[p(A_i|B) = \frac{p(A_i) \cdot p(B|A_i)}{\sum_{i=1}^np(A_i) \cdotp(B|A_i)}\] \[\therefore\]

\[\frac{ProbSalud.I.Hombre}{(ProbServ.I.Hombre + ProbSalud.I.Hombre + ProbOtros.I.Hombre)}\]

Prob(Salud | Hombre): Persona que sea del sector Salud y que sea hombre

Se muestra la Fórmula de Bayes y se sustituyen valores para dar respuesta a la preguna uno: 1. Prob(Salud | Hombre): Persona que sea del sector Salud y que sea hombre

Ya se tiene el numerador con la probabilidad condicional de que sea Hombre dado que sea del sector Salud: ProbSalud.I.Hombre. Camino verde en el árbol.

Ahora se suman las probabilidades en donde aparezca Hombre dado cualquier sector y se tiene el denominador. Todas los contornos rojos en el árbol.

La probabilidad de que una persona sea del sector Salud dado que se Hombre es:

TBResult <- ProbSalud.I.Hombre / (ProbServ.I.Hombre + ProbSalud.I.Hombre + ProbOtros.I.Hombre)
TBResult
## [1] 0.2511211
cat ("1. Prob(Salud | Hombre): Persona que sea del sector Salud y que sea hombre es: ", TBResult)
## 1. Prob(Salud | Hombre): Persona que sea del sector Salud y que sea hombre es:  0.2511211

Se concluye que en el experimento de elegir a una persona al azar y que ya se conoce que ‘Hombre’, entonces se determina mediante el Teorema y la Fórmula de Bayes la probababilidad de que una persona sea del sector ‘Salud’ dado que sea apriori ‘Hombre’

La probabilidad es de 0.2511 o sea del 25.11% que significa que si se elige a una persona y es ‘Hombre’ hay una probabilidad del 25.11% de que sea del sector ‘Salud’

Prob(Salud | Mujer): Persona que sea del sector Salud y que sea Mujer

Describir de manera concluyente a cada pregunta de probabilidad

Aplicando la regla de Bayes \[prob = \frac{p(Salud) \cdot p(SaludMujeres)}{p(Servicios) \cdot p(ServiciosMujeres) + p(Salud) \cdot p(SaludMujeres) + p(Otros) \cdot p(OtrosMujeres)}\]

prob <- (Prob.Salud * PSalud.Mujer) / (sum(Prob.Servi * PServ.Mujer, Prob.Salud * PSalud.Mujer, Prob.Otros * POtros.Mujer))
paste ("La probabilidad de que una persona sea del sector Salud dado que sea Mujer es:", round(prob * 100, 2), "%")
## [1] "La probabilidad de que una persona sea del sector Salud dado que sea Mujer es: 47.46 %"

Se concluye que en el experimento de elegir a una persona al azar y que ya se conoce que ‘Mujer’, entonces se determina mediante el Teorema y la Fórmula de Bayes la probababilidad de que una persona sea del sector ‘Salud’ dado que sea apriori ‘Mujer’

La probabilidad es de 0.4746 o sea del 47.461% que significa que si se elige a una persona y es ‘Mujer’ hay una probabilidad del 47.46% de que sea del sector ‘Salud’

Prob(Servicios | Hombre): Persona que sea del sector Servicios y que sea Hombre

Describir de manera concluyente a cada pregunta de probabilidad

Aplicando la regla de Bayes \[prob = \frac{p(Servicios) \cdot p(ServiciosHombre)}{p(Servicios) \cdot p(ServiciosHombre) + p(Salud) \cdot p(SaludHombre) + p(Otros) \cdot p(OtrosHombre)}\]

prob <- (Prob.Servi * PServ.Hombre) / (sum(Prob.Servi * PServ.Hombre, Prob.Salud * PSalud.Hombre, Prob.Otros * POtros.Hombre))
paste ("La probabilidad de que una persona sea del sector Servicios dado que sea Hombre es:", round(prob * 100, 2), "%")
## [1] "La probabilidad de que una persona sea del sector Servicios dado que sea Hombre es: 50.22 %"

Se concluye que en el experimento de elegir a una persona al azar y que ya se conoce que ‘Hombre’, entonces se determina mediante el Teorema y la Fórmula de Bayes la probababilidad de que una persona sea del sector ‘Servicios’ dado que sea apriori ‘Hombre’

La probabilidad es de 0.5022 o sea del 50.22% que significa que si se elige a una persona y es ‘Hombre’ hay una probabilidad del 50.22% de que sea del sector ‘Servicios’

Prob(Servicios | Mujer): Persona que sea del sector Servicios y que sea Mujer

Describir de manera concluyente a cada pregunta de probabilidad

Aplicando la regla de Bayes \[prob = \frac{p(Servicios) \cdot p(ServiciosMujer)}{p(Servicios) \cdot p(ServiciosMujer) + p(Salud) \cdot p(SaludMujer) + p(Otros) \cdot p(OtrosMujer)}\]

prob <- (Prob.Servi * PServ.Mujer) / (sum(Prob.Servi * PServ.Mujer, Prob.Salud * PSalud.Mujer, Prob.Otros * POtros.Mujer))
paste ("La probabilidad de que una persona sea del sector Servicios dado que sea Mujer es:", round(prob * 100, 2), "%")
## [1] "La probabilidad de que una persona sea del sector Servicios dado que sea Mujer es: 27.12 %"

Se concluye que en el experimento de elegir a una persona al azar y que ya se conoce que ‘Mujer’, entonces se determina mediante el Teorema y la Fórmula de Bayes la probababilidad de que una persona sea del sector ‘Servicios’ dado que sea apriori ‘Mujer’

La probabilidad es de 0.2712 o sea del 27.12% que significa que si se elige a una persona y es ‘Mujer’ hay una probabilidad del 27.12% de que sea del sector ‘Servicios’

Interpretación

El teorema de Bayes nos ha permitido identificar la probabilidad de que una persona provenga de uno de los tres tipos de áreas: salud, servicios u otros; dado que sea hombre o mujer. Basicamente el teorema de Bayes nos permite identificar probabilidad condicional de forma mas amplia al agregar mas eventos a nuestro experimento y una serie de ramificaciones para cada uno de ellos. Es un teorema que tiene mucha utilidad en todo tipo de ámbitos donde existen cálculos de probabiolidad con bifuraciones y que se deben establecer previamente una serie de condiciones; en este caso, el género de la persona y posteriormente el área de trabajo.

Tambien es posible calcular probabilidades mas sencillas como: ¿cual es la probabilidad que una persona provenga del sector saludo de servicios?, aunque su principal utilidad radica en lo anteriormente descrito.

Con este tipo d aproximaciones, es posible afirmar que al conocer la caracteristica principal de un evento (en este caso sea hombre o mujer), se puede determinar una caracteristica secundaria o evento (en este problema el origen de trabajo). Esto es particularmente util para situaciones como áreas detrabajo, eventos de votación o análisis de piezas mecánicas en una fábrica, entre otros ejemplos.

Bibliografía

Mendenhall, William, Robert J. Beaver, and Barbara M. Beaver. 2010. Introducción a La Probabilidad y Estadística. 13th ed. Cengage Learning Editores, S.A. de C.V.,.

Walpole, Ronald E., Raymond H. Myers, and Sharon L. Myers. 2012. Probabilidad y Estadística Para Ingeniería y Ciencias. Novena Edición. México: Pearson.