Caso15_Eventos Independientes y Dependientes
Edgar Carrillo Yee
16/11/2021
Objetivo
Determina probabilidades para eventos dependientes e independientes
Descripción
Se cargan librerías necesarias Se definen los conceptos eventos dependientes e independientes Se desarrollan ejecicios para eventos dependientes e independientes.
Marco teórico
A menudo resulta más práctico calcular la probabilidad de algún evento a partir de las probabilidades conocidas de otros eventos. Esto puede ser cierto si el evento en cuestión se puede representar como la unión de otros dos eventos o como el complemento de algún evento [@walpole2012].
Si A y B son dos conjuntos con eventos similares, entonces se puede aplicar regla aditiva de probabilidad y establecer la siguiente fórmula.
\[ P(A\cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B) \]
Los eventos mutuamente exclusivos son cosas que no pueden ocurrir al mismo tiempo. Por ejemplo, no se puede correr hacia adelante y hacia atrás simultáneamente. [@datascience2019].
Las acciones “correr hacia adelante” y “correr en reversa” son mutuamente excluyentes.
Lanzar una moneda también puede ser de este tipo de evento. No se puede lanzar una moneda y obtener águila o sello al mismo tiempo. Así que “obtener sello” y “obtener águila” son eventos mutuamente exclusivos.
Si NO SON excluyentes, es decir si NO existen elementos en común entonces la regla aditiva sería:
\[ P(A\cup B) = P(A) + P(B) \]
Las dos imágenes identifican ambos casos.
Si A y B son mutuamente excluyentes, A ∩ B = 0 y entonces P(A ∩ B) = P(ϕ) = 0. [@walpole2012].
Desarrollo
Ejercicio 1
Al final del semestre John se va a graduar en la facultad de ingeniería industrial de una universidad. Después de tener entrevistas en dos empresas en donde quiere trabajar, determina que la probabilidad que tiene de lograr una oferta de empleo en la empresa A es 0.8, y que la probabilidad de obtenerla en la empresa B es 0.6. Si, por otro lado, considera que la probabilidad de recibir ofertas de ambas empresas es 0.5,
¿Qué probabilidad tiene de obtener al menos una oferta de esas dos empresas? [@walpole2012]. La respuesta a la pregunta se refiere a la unión de los dos eventos.
¿Son eventos EXCLUYENTES O INCLUYENTES?, Incluyentes, porque hay una probabilidad de que sucedan al mismo tiempo. Entonces:
\[ P(A) = 0.8 \\ P(B) = 0.6 \\ P(A\cap B) = 0.5 \\ \therefore \\ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B) = 0.8 + 0.6 - 0.5 = 0.9 \]
Ejercicio 2
¿Cuál es la probabilidad de obtener un total de 7 u 11 cuando se lanza un par de dados? [@walpole2012].
La respuesta es nuevamente la unión de ambos eventos.
Sea A el evento de que resulte 7 y B el evento de que salga 11. Ahora bien, para 6 de los 36 puntos muestrales ocurre un total de 7 y sólo para 2 de ellos ocurre un total de 11.
Como todos los puntos muestrales tienen la misma probabilidad, se tiene P(A) = 1/6 y P(B) = 1/18.
Los eventos A y B son MUTUAMENTE EXCLUYENTES, ya que un total de 7 y uno de 11 no pueden ocurrir en el mismo lanzamiento.
\[ P(A) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6} \\ P(B) = \frac{2}{36} = \frac{1}{18} \\ \therefore \\ P(A\cup B) = P(A) + P(B) = \frac{1}{6} + \frac{1}{18} = \frac{2}{9} = 0.22 = 22% \]
Ejercicio 3
Eventos independientes
Dos eventos son independientes si el resultado del segundo evento no es afectado por el resultado del primer evento. Si A y B son eventos independientes, la probabilidad de que ambos eventos ocurran es el producto de las probabilidades de los eventos individuales. [@hotmath].
\[ P(A \text {y}B) = P(A)\cdot P(B) \]
Una caja contiene 4 canicas rojas, 3 canicas verdes y 2 canicas azules. Una canica es eliminada de la caja y luego reemplazada. Otra canica se saca de la caja.
¿Cuál es la probabilidad de que la primera canica sea azul y la segunda canica sea verde?
rojas <- 4
verdes <- 3
azules <- 2
S.muestral <- sum(rojas, verdes, azules)
S.muestral## [1] 9P.roja <- rojas / S.muestral
P.verde <- verdes / S.muestral
P.azul <- azules /S.muestral
P.roja; P.verde; P.azul## [1] 0.4444444## [1] 0.3333333## [1] 0.2222222\[ Prob = \frac{n}{N} \ \therefore \ Prob = \frac{canicas}{S.muestral} \]
Ya que la primera canica es reemplazada, el tamaño del espacio muestral (9) no cambia de la primera sacada a la segunda así los eventos son independientes.
\[ P(Azul) = \frac{3}{9} = 0.3333 \ P(Verde) = \frac{2}{9} = 0.2222 \ \therefore\ P(Azul \text{ y } Verde) = 0.3333 \times 0.2222 = 0.0740 \]
P.verde.y.azul <- P.verde * P.azul
P.verde.y.azul## [1] 0.07407407Eventos dependientes
Dos eventos son dependientes si el resultado del primer evento afecta el resultado del segundo evento así que la probabilidad es cambiada. En el ejemplo anterior, si la primera canica no es reemplazada, el espacio muestral para el segundo evento cambia y así los eventos son dependientes. [@hotmath].
La probabilidad de que ambos eventos ocurran es el producto de las probabilidades de los eventos individuales:
Una caja contiene 4 canicas rojas, 3 canicas verdes y 2 canicas azules. Una canica es eliminada de la caja y no es reemplazada. Otra canica se saca de la caja.
¿Cuál es la probabilidad de que la primera canica sea azul y la segunda canica sea verde?
Ya que la primera canica no es reemplazada, el tamaño del espacio muestral para la primera canica (9) es cambiado para la segunda canica (8) así los eventos son dependientes.
$$ P(Azul) = = 0.3333 \ P(Verde) = = 0.2500 \ \ P(Azul Verde) = 0.3333 = 0.0833
$$
P.verde <- 3/9
P.azul <- 2/8
P.verde.y.azul <- P.verde * P.azul
P.verde.y.azul## [1] 0.08333333Ejercicio 4. Quiniela deportiva
La probabilidad de que gane un equipo de fútbol en un partido no tiene que ver con la probabilidad de que gane otro equipo de fútbol. Son eventos independientes.
América tiene una probabilidad de ganarle a Atlas del 0.33 Cruz Azul tiene una probabilidad de ganarle a Guadalajara de 0.33 Santos tiene una probabilidad de ganarle a Monterrey de 0.33
¿Cuál es la probabilidad de que gane América y Cruz Azul y Santos?
Se multiplican las probabilidades porque son eventos independientes en donde el resultado de un partido no afecta al resultado del otro partido.
P.America <- 0.3333
P.CruzAul <- 0.3333
P.Santos <- 0.3333
P.America.CruzAzul.Santos <- P.America * P.CruzAul* P.Santos
P.America.CruzAzul.Santos## [1] 0.03702593paste("La pobabilidd de que ganen los tres equipos es de ", round(P.America.CruzAzul.Santos * 100,2 ), "%")## [1] "La pobabilidd de que ganen los tres equipos es de 3.7 %"Ejercicio 5
Carlos tiene un mazo de 15 cartas numeradas del 1 al 15. Saca una carta al azar, ve el número, y la revuelve de nuevo en el mazo.[@content.nroc.org].
¿Cuál es la probabilidad de que NO le salga una carta menor o igual a 5 en el primer intento, pero que SI le salga una carta menor o igual a 5 en el segundo intento?
Se trata de eventos independiente porque la carta se devuelve.
S.muestra <- 1:15
S.muestra## [1] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15N <- length(S.muestra)
n.menos.igual.cinco <- length(1:5)
n.menos.igual.cinco## [1] 5prob.menos.igual.cinco <- n.menos.igual.cinco / N
prob.mas.cinco <- 1 - prob.menos.igual.cinco
prob.menos.igual.cinco; prob.mas.cinco## [1] 0.3333333## [1] 0.6666667Probabilidad de menor o igual a cinco y probabilidad de mas de cinco \[ P(A \cap B) = P(A) \times P(B) \text{ para eventos independentes} \]
La intersección de ambos conjuntos:
prob.menos.igual.cinco * prob.mas.cinco## [1] 0.2222222Interpretación
Los eventos dependientes e independientes nos permiten determinar la relacion que existe entre eventos. Esto es fundamental debido a que es necesario identificar la relación entre eventos para posteriormente reconocer la aproximación a seguir para resolver un problema de probabilidad. Dado que los eventos independientes no están relacionados o dicho de otra forma no tienen influencia sobre el otro, su forma de solución implica la utilización del producto para calcular la ocurrencia de ambos eventos usando el razonamiento de que ocurra el evento A Y el evento B.
Sin embargo, cuando hablamos de dos eventos dependientes, implica que la ocurrencia de uno tiene un efecto directamente sobre el otro. De forma tal, que para calcular la probabilidad del evento A y el evento B de forma consecutiva, se requiere ajustar la probabilidad del evento B a las condiciones que ha alterado el evento A. Por ejemplo si se extrae una pelota sin reemplazo en el evento A, el evento B tendrá un valor menos en el espacio muestral. Esto es el principio de la probabilidad con dependencia.
Así mismo se puede tener el caso de eventos mutuamente excluyentes, o que nunca pueden ocurrir al mismo tiempo. De forma que si se desea calcular su probabilidad solo se deben sumar sus probabilidades individuales. Sin embargo, cuando no son excluyentes, a lo anterior se debe restar la intersección (esto para evitar considerar dos veces estos valores que comparten).
Bibliografía
Data Science, Team. 2019. “DATA SCIENCE. Evento Mutuamente Excluyente.” https://datascience.eu/es/matematica-y-estadistica/evento-mutuamente-excluyente-definicion-ejemplos-sindicatos/. HotMath. n.d. “HotMath.” https://www.varsitytutors.com/hotmath/hotmath_help/spanish/topics/conditional-probability. Walpole, Ronald E., Raymond H. Myers, and Sharon L. Myers. 2012. Probabilidad y Estadística Para Ingeniería y Ciencias. Novena Edición. México: Pearson.