Objetivo

Realizar operaciones de conjunto y con el resultado estimar e interpretar probabilidades.

Descripción

Se cargan las librerías necesarias para ejecutar funciones
Generar conjuntos de datos
Construir todo el espacio muestral llamado S.muestra
Realizar operaciones de conjuntos
Estimar probabilidades con los conjuntos.
Interpretar probabilidades

Marco teórico

Operación Union U.

El conjunto de todos los elementos que pertenecen a A o a B, o tanto a A como a B, se llama la unión de A y B y se escribe A ∪ B.

En la unión si hay elementos repetidos sólo se deja uno de ellos.

Operación intersección ∩

El conjunto de todos los elementos que pertenecen simultáneamente a A y B se llama la intersección de A y B y se escribe A ∩ B.

Operación diferencia -

El conjunto que consiste en todos los elementos de A que no pertenecen a B se llama la diferencia de A y B y se escribe A – B.

Operación complemento [C ó ´]

Son todos los conjuntos con los elementos que no están en A y se escribe A’ ó C A. Son todos los elementos que faltan y que no están en A para complementar todo el espacio muestral.

Desarrollo

Cargar librerías

# install.packages("dplyr")
library(dplyr)

Crear uno vectores en R con los conjuntos de datos de nombres de personas que participan en actividades deportivas y culturales.

Los vectores en R, representan los conjuntos, luego, se hacen operaciones sobre los mismos, finalmente se determina probabilidades que representan probabilidades de acuerdo a los resultados de las operaciones con los conjuntos.

B Basquetbol
F Futbol
K Karate
D Danza

B <- c("Hugo", "Paty", "Paco", "Luis")
F <- c("Guadalupe", "Luis", "Javier", "Marco", "Aurelio")
K <- c("Marco", "Mary", "Lucy")
D <- c("Lucy", "Mary")

Mostrar los vectores a manera de conjuntos

## [1] "Hugo" "Paty" "Paco" "Luis"

## [1] "Guadalupe" "Luis"      "Javier"    "Marco"     "Aurelio"

## [1] "Marco" "Mary"  "Lucy"

## [1] "Lucy" "Mary"

Construir el espacio muestral

Con todos los elementos de todos los conjuntos determinar el espacio muestral. Con la función unique() se eliminan los repetidos y con la función c() de concatenar se integran todos los nombres a un solo conjunto de datos.

S.muestral <- unique(c(B, F, K, D))
S.muestral

##  [1] "Hugo"      "Paty"      "Paco"      "Luis"      "Guadalupe" "Javier"   
##  [7] "Marco"     "Aurelio"   "Mary"      "Lucy"

N <- length(S.muestral)
N

## [1] 10

Unión entre conjuntos

La unión entre conjuntos se representa por la literal U.

Union Basquetbol y Karate

BUK <- union(B, K)
BUK

## [1] "Hugo"  "Paty"  "Paco"  "Luis"  "Marco" "Mary"  "Lucy"

BUK es a unión de los conjuntos Basquetbol con Karate y n es la cantidad de eventos de ese conjunto resultante.

n <- length(BUK)
n

## [1] 7

Determinando la probabilidad de BUK.

P.BUK <- n/N
paste("Existen ", n,  " elementos de BUK, ", " lo que representa la probabilidad de ", round(n/N * 100, 2), "%")

## [1] "Existen  7  elementos de BUK,   lo que representa la probabilidad de  70 %"

Karate union con Danza

KUD es la unión de Karate con Danza y n es la cantidad de eventos de ese conjunto

KUD <- union(K, D)
n <- length(KUD)
n

## [1] 3

Determinando la probabilidad

P.KUD <- n/N
paste("Existen ", n,  " elementos de KUD, ", " lo que representa la probabilidad de ", round(n/N * 100, 2), "%")

## [1] "Existen  3  elementos de KUD,   lo que representa la probabilidad de  30 %"

Intersección entre conjuntos

La intersección entre conjuntos representa por el símbolo matemático ∩ y con la letra I de instersección.

Intersección de Basquetbol con Futbol

¿Cuáles y cuántas personas juegan Basquetbol y Futbol y que probabilidad representan?

BIF <- intersect(B, F)
BIF

## [1] "Luis"

n <- length(BIF)
n

## [1] 1

Determinando la probabilidad del conjunto BIF

paste ("Hay ", n, " personas que juegan Basquetbl y Futbol, de un total de ", N, " lo que representa el ", round(n/N * 100, 2), "%")

## [1] "Hay  1  personas que juegan Basquetbl y Futbol, de un total de  10  lo que representa el  10 %"

Intersección de Karate con Danza

¿Cuáles y cuántas personas practican Krate y Danza y que probabilidad representan?

KID <- intersect(K, D)
KID

## [1] "Mary" "Lucy"

n <- length(KID)
n

## [1] 2

Determinando la probabilidad del conjunto KID

paste ("Hay ", n, " personas que juegan Karate y Danza, de un total de ", N, " lo que representa el ", round(n/N * 100, 2), "%")

## [1] "Hay  2  personas que juegan Karate y Danza, de un total de  10  lo que representa el  20 %"

Diferencia entre conjuntos

La operación de diferencia se representa matemáticamente con el símbolo de - y en código de R se usarán la frase símbolo ‘dif’ como parte de la variable.

Basquetbol menos Futbol

BdifF <- setdiff(B, F)
BdifF

## [1] "Hugo" "Paty" "Paco"

n <- length(BdifF)
n

## [1] 3

Determinando la probabilidad del conjunto BdifF

paste ("Hay ", n, " personas están en Basquetbol y que no están en Futbol de un total de ", N, " lo que representa el ", round(n/N * 100, 2), "%")

## [1] "Hay  3  personas están en Basquetbol y que no están en Futbol de un total de  10  lo que representa el  30 %"

Basquetbol menos Karate

BdifK <- setdiff(B, K)
BdifK

## [1] "Hugo" "Paty" "Paco" "Luis"

n <- length(BdifK)
n

## [1] 4

Determinando la probabilidad del conjunto BdifK

paste ("Hay ", n, " personas están en Basquetbol y que no están en Karate de un total de ", N, " lo que representa el ", round(n/N * 100, 2), "%")

## [1] "Hay  4  personas están en Basquetbol y que no están en Karate de un total de  10  lo que representa el  40 %"

Complemento entre conjuntos

Significa determinar los elementos que no están en un conjunto para complementar otro conjunto o de todo el espacio muestral.

En R se rerpesentará con la letra C

Completo de Basquetbol

Todos los que no están en Basquetbol CB. Para encontrar el complemento se reutiliza la función setdiff() que en realidad encuentra aquellos que no están en otro subconjunto.

CB <- setdiff(S.muestral, B)
CB

## [1] "Guadalupe" "Javier"    "Marco"     "Aurelio"   "Mary"      "Lucy"

n <- length(CB)
n

## [1] 6

paste ("El complemento de Basquetbol tiene", n , " elementos que representan ", round(n/N * 100, 2), "%")

## [1] "El complemento de Basquetbol tiene 6  elementos que representan  60 %"

La probabilidad de complemento de un conjunto es restar su probabilidad a 1:

\[ Complemento.Basquetbol = 1 - P(Basquetbol) \]

paste("Matemáticamente de acuerdo a fórmula de complemento es lo mismo que 1-P(Basquetbol)", 1 - length(B) / N, " representando el ", (1 - length(B) / N) * 100, "%")

## [1] "Matemáticamente de acuerdo a fórmula de complemento es lo mismo que 1-P(Basquetbol) 0.6  representando el  60 %"

Interpretación

Las operaciones de conjuntos permiten determinar los elementos entre ciertos conjuntos, ya sea en común o su unión. En este caso, se ha utilizado los elementos del conjunto para determinar las personas que estan practicando algunos deportes a la vez o solamente uno de ellos. Posteriormente se usa esta información para calcular la probabilidad de seleccionar a una persona al azar que practique los deportes en cuestión.

¿Qué representa cada operación de las vistas en el caso?

La unión de connjuntos implica considerar a todos los elementos de los dos conjuntos involucrados, removiendo aquellos elementos repetido entre los conjuntos, es decir que están en ambos conjuntos a la vez.

La intersección es una operación de conjuntos que genera como resultado a todos aquellos elementos que s encuentran en ambos conjuntos de manera simultanea o repetidos.

La operación de diferencia de conjuntos implica generar como resultado a aquellos elementos que se encuentran en uno de los conjuntos, pero no en el otro. Su notación indica el orden establecido previamente. A/B implicaria todos los elementos del conjunto A y que no se encuentren en B

El complemento de un conjunto contiene a todos los elementos que no pertenecen al conjunto de interés pero si al universo.

¿Para qué usar operaciones de conjuntos en términos de probabilidad?

Se utilizan para identificar el número de eventos de un experimento de interés, para posteriormente lograr determinar la probabilidad de ocurrencia del mismo. Usualmente es seguido de un analisis que implica el uso de la expresión \(\frac{n}{N}\)

Qué es mas probable:

3.1. ¿Que exista una persona que participe en Karate o Futbol (union) o que exista una persona de la diferencia entre Futbol menos Danza?.

Se tiene que determinar ambas probabilidades y aquella que sea mayor es la respuesta.

n <- length(union(K, F)) 
PKUF <- n/N
PKUF

## [1] 0.7

n <- length(setdiff(F, D))
PFdifD<- n/N
PFdifD

## [1] 0.5

paste("Es mas probable que haya una persona que participe en Karate o Futbol que una persona que participe en Futbol y no esté en Danza. ")

## [1] "Es mas probable que haya una persona que participe en Karate o Futbol que una persona que participe en Futbol y no esté en Danza. "

3.2. ¿Que existe una persona en el complemento de Danza o que exista una persona en la unión de Danza y Karate?

n <- length(setdiff(S.muestral, D))
CD <- n/N
CD

## [1] 0.8

n <- length(union(D,K))
DK <- n/N
DK

## [1] 0.3

paste("Es mas probable que exista una persona en el complemento de danza que una persona que practique danza o karate (union)")

## [1] "Es mas probable que exista una persona en el complemento de danza que una persona que practique danza o karate (union)"

3.3. ¿Existe probabilidad de que hay personas que practiquen Basquetbol y Karate?, de cuánto?

n <- length(intersect(B,K))
BK<- n/N
BK

## [1] 0

paste("No existe probabilidad de una persona que practique basquetbol y karate, es decir, no hay personas con esas caracteristicas en el espacio muestral.")

## [1] "No existe probabilidad de una persona que practique basquetbol y karate, es decir, no hay personas con esas caracteristicas en el espacio muestral."

Bibliografia

Mendenhall, William, Robert J. Beaver, and Barbara M. Beaver. 2010. Introducción a La Probabilidad y Estadística. 13th ed. Cengage Learning Editores, S.A. de C.V.,.

Walpole, Ronald E., Raymond H. Myers, and Sharon L. Myers. 2012. Probabilidad y Estadística Para Ingeniería y Ciencias. Novena Edición. México: Pearson.

Caso13_Operaciones de conjuntos

Edgar Carrillo Yee

16/11/2021