Nomor 1

Diketahui pdf (probability density function) dari distribusi Kumaraswamy adalah sebagai berikut. \[f(x|a,b) = abx^{a-1}(1-x^{(a)})^{b-1}\] dimana \(\small{x \epsilon(0,1)}\). Jika diketahui \(\small{a = 5}\) dan \(\small{b = 3}\).

1. Hitunglah \(\small{E(X)}\) dengan menggunakan metode Trapezoida untuk \(\small{n = 4}\), Simpson untuk \(\small{n = 4}\), dan four-point Gauss Quadrature tanpa menggunakan software apapun.

2. Jika diketahui nilai eksak dari distribusi Kumaraswamy \[E(X) = \frac{b\Gamma(1+\frac{1}{a})\Gamma(b)}{\Gamma(1+\frac{1}{a}+b)}\] metode mana yang paling mendekati untuk menghitung nilai \(\small{E(X)}\) dengan toleransi 0.0001? Gunakan R!

Nomor 2

Diketahui pdf (probability density function) dari distribusi Eksponensial adalah sebagai berikut \[f(x|a,b) = \alpha e^{- \alpha x}\] dimana \(\small{x\epsilon (0,\infty)}\).

Jika diketahui \(\small{\alpha = 2}\). Hitunglah CDF dari distribusi eksponensial tersebut untuk \(\small{x = 4}\), dengan menggunakan metode Trapezoida, Simpson, Gauss Quadrature, dan Monte Carlo dengan R. Metode mana yang paling baik? Silahkan tentukan nilai toleransi, n, dan m sendiri.

Metode Trapezoidal

Diketahui : \(\small{n = 4}\)

Panjang setiap sub interval adalah sebagai berikut.

\[h = \frac{b-a}{n} = \frac{1-0}{4} = \frac{1}{4} = 0.25\]

Dikarenakan \(\small{n = 4}\) sehingga bentuk metode trapezoidal adalah \[T_{4} = \frac{h}{2}[r(x_{0}) + 2r(x_{1}) + 2r(x_{2}) + 2r(x_{3}) + r(x_{4})]\]

Karena akan dicari \(\small{E(X) = \int_{0}^{1} xf(x)dx = \int_{0}^{1} r(x) dx}\) dengan \(\small{r(x) = xf(x)}\), maka selanjutnya, nilai fungsi \(\small{r(x)}\) pada setiap \(\small{x_{i}}\) dihitung.

\[r(x|a,b) = 15x^5(1-x^5)^2\]

\[r(x_{0}) = r(0) = 15 \times 0^5 (1-0^5)^2 = 0\] \[r(x_{1}) = r(0.25) = 15 \times 0.25^5 (1-0.25^5)^2 = 0.01461984\] \[r(x_{2}) = r(0.5) = 15 \times 0.5^5 (1-0.5^5)^2 = 0.4399109\] \[r(x_{3}) = r(0.75) = 15 \times 0.75^5 (1-0.75^5)^2 = 2.070617\] \[r(x_{4}) = r(1) = 15 \times 1^5 (1-1^5)^2 = 0\]

Dengan nilai \(\small{h = 0.25}\), diperoleh \[T_{4} = \frac{0.25}{2}[0 + 2\times0.01453422 + 2\times 0.4399109 + 2\times 2.070617 + 0] = 0.6312655\]

Jadi, \[E(X) = \int_{0}^{1} xf(x)dx = 15x^5(1-x^5)^2 dx \approx T_{4} = 0.6312655\]

Metode Simpson

Diketahui : \(\small{n = 4}\)

Panjang setiap sub interval adalah sebagai berikut.

\[h = \frac{b-a}{n} = \frac{1-0}{4} = \frac{1}{4} = 0.25\]

Dikarenakan \(\small{n = 4}\) sehingga bentuk metode trapezoidal adalah \[S_{4} = \frac{h}{3}[r(x_{0}) + 4r(x_{1}) + 2r(x_{2}) + 4r(x_{3}) + r(x_{4})]\]

Substitusikan nilai \(\small{r(x)}\) pada setiap \(\small{x_{i}}\) yang sudah dihitung sebelumnya pada Metode Trapezoidal ke dalam \(\small{S_{4}}\). \[S_{4} = \frac{0.25}{3}[0 + 4\times0.01453422 + 2\times 0.4399109 + 4\times 2.070617 + 0] = 0.7683689\]

Jadi, \[E(X) = \int_{0}^{1} xf(x)dx = 15x^5(1-x^5)^2 dx \approx S_{4} = 0.7683689\]

Metode Four-point Gaussian Quadrature

Diketahui \[r(x) = xf(x) = 15x^5(1-x^5)^2\]

Dikarenakan pada soal yang diminta adalah menggunakan metode four-point gaussian quadratur maka nilai \(\small{n = 4}\).Tabel gaussian quadratur nilai-nilai koefisien dan titik gauss ditunjukkan di bawah ini.

library(pracma)
gq4n <- gaussLegendre(n = 4, a = -1, b = 1)
i <- c(1:4)
Koef.Ci <- gq4n[[2]]
Titik.Gauss.xi <- gq4n[[1]]
data.frame(i, Koef.Ci, Titik.Gauss.xi)

Langkah 1

Pertama-tama perlu dilakukan transformasi sehingga domain integral menjadi \(\small{[-1,1]}\) sebelum menggunakan nilai-nilai koefisien dan titik gauss.

\[x = \frac{1}{2}[t(b-a)+a+b]\] \[x = \frac{1}{2}[t(1-0)+0+1]\] \[x = \frac{1}{2}[t+1] = \frac{t+1}{2}\] dengan \[dx = \frac{1}{2}(b-a)dt\] \[dx = \frac{1}{2} (1-0) dt = \frac{1}{2}dt\] sehingga diperoleh bentuk integralnya sebagai berikut. \[\int_{0}^{1} 15x^5(1-x^5)^2 dx = \int_{-1}^{1} \frac{15}{2}\bigg(\frac{t+1}{2}\bigg)^5\bigg(1-\bigg(\frac{t+1}{2}\bigg)^5\bigg)^2dt\]

Langkah 2

Berikutnya akan digunakan nilai-nilai koefisien dan titik gauss saat \(\small{n = 4}\). \[\int_{-1}^{1} \frac{15}{2}\bigg(\frac{t+1}{2}\bigg)^5\bigg(1-\bigg(\frac{t+1}{2}\bigg)^5\bigg)^2dt\approx I\] \[I = C_{1}f(t_{1}) + C_{2}f(t_{2}) + C_{3}f(t_{3}) + C_{4}f(t_{4})\] Fungsi \(\small{f(x)}\) dihitung untuk setiap \(\small{x_{i}}\). \[f(-0.8611363) = \frac{15}{2}\bigg(\frac{-0.8611363+1}{2}\bigg)^5\bigg(1-\bigg(\frac{-0.8611363+1}{2}\bigg)^5\bigg)^2dt = 0.0000121019\] \[f(-0.3399810) = \frac{15}{2}\bigg(\frac{-0.3399810+1}{2}\bigg)^5\bigg(1-\bigg(\frac{-0.3399810+1}{2}\bigg)^5\bigg)^2dt = 0.02912642\] \[f(0.3399810) = \frac{15}{2}\bigg(\frac{0.3399810+1}{2}\bigg)^5\bigg(1-\bigg(\frac{0.3399810+1}{2}\bigg)^5\bigg)^2dt = 0.7575892\] \[f(0.8611363) = \frac{15}{2}\bigg(\frac{0.8611363+1}{2}\bigg)^5\bigg(1-\bigg(\frac{0.8611363+1}{2}\bigg)^5\bigg)^2dt = 0.4779089\] sehingga diperoleh \(\small{I}\) sebagai berikut. \[I = 0.3478548f(-0.8611363) + 0.6521452f(-0.3399810) + 0.6521452f(0.3399810) + 0.3478548f(0.8611363)\] \[I = 0.3478548\times 0.0000121019 + 0.6521452\times 0.02912642 + 0.6521452\times 0.7575892 + 0.3478548\times 0.4779089\] \[I = 0.6792999\] Jadi, \[E(X) = \int_{0}^{1} 15x^5(1-x^5)^2 dx \approx I = 0.6792999\]

Fungsi

# Metode Trapezoidal
trapezoid <- function(ftn, a, b, n, tol) {
    hasil <- data.frame(JumIter = NULL, Dugaan = NULL, Error = NULL)
    e <- 1
    eksak <- (integrate(ftn, a, b))$value

    while (e > tol) {
        h = (b - a)/n
        x.vec = seq(a, b, by = h)
        f.vec = sapply(x.vec, ftn)
        M = h * (f.vec[1]/2 + sum(f.vec[2:n]) + f.vec[n + 1]/2)
        e = abs(M - eksak)
        hasil = rbind(hasil, data.frame(JumIter = n - 4, Dugaan = M, Error = e))
        n = n + 1
    }
    return(hasil)
}

# Metode Simpson
simpson <- function(ftn, a, b, n, tol) {
    hasil <- data.frame(JumIter = NULL, Dugaan = NULL, Error = NULL)
    e = 1
    eksak = (integrate(ftn, a, b))$value

    while (e > tol) {
        newn <- max(c(2 * (n%/%2), 4))
        h <- (b - a)/newn

        x.vec1 <- seq(a + h, b - h, by = 2 * h)  # ganjil
        x.vec2 <- seq(a + 2 * h, b - 2 * h, by = 2 * h)  # genap(

        f.vec1 <- sapply(x.vec1, ftn)
        f.vec2 <- sapply(x.vec2, ftn)

        s <- h/3 * (ftn(a) + ftn(b) + 4 * sum(f.vec1) + 2 * sum(f.vec2))
        e = abs(s - eksak)
        hasil = rbind(hasil, data.frame(JumIter = n - 4, Dugaan = s, Error = e))
        n = n + 1
    }
    return(hasil)
}

# Metode Gaussian (Adaptive) Quadrature
gauss <- function(ftn, a, b, n, tol) {
    hasil <- data.frame(JumIter = NULL, Dugaan = NULL, Error = NULL)
    e = 1
    eksak = (integrate(ftn, a, b))$value

    while (e > tol) {
        g = gaussLegendre(n, a, b)  # Legendre of order 4
        xi = g$x  # Nodes
        wi = g$w  # Weights
        I <- sum(wi * ftn(xi))
        e = abs(I - eksak)
        hasil = rbind(hasil, data.frame(JumIter = n - 4, Dugaan = I, Error = e))
        n = n + 1
    }
    return(hasil)
}

pdf_kumaraswamy <- function(x) 15 * x^5 * (1 - x^5)^2
a = 0
b = 1
n = 4

dugaan.trapezoid = trapezoid(pdf_kumaraswamy, a, b, n, 1e-06)
dugaan.simpson = simpson(pdf_kumaraswamy, a, b, n, 1e-06)
dugaan.gauss = gauss(pdf_kumaraswamy, a, b, n, 1e-06)

dugaan = rbind(tail(dugaan.trapezoid, n = 1), tail(dugaan.simpson, n = 1), tail(dugaan.gauss,
    n = 1))
dugaan$Metode = c("Trapezoidal", "Simpson", "Gauss Quadrature")
library(dplyr)
dugaan %>%
    arrange(Error)

Jadi, dengan toleransi sebesar \(\small{10^{-6}}\), metode terbaik adalah metode Gauss Quadrature dengan hasil sebesar \(\small{0.7102266}\) dan error sebesar \(\small{0.0000006367467}\) yang diperoleh dari \(\small{3}\) iterasi.