Objetivo

Identificar los valores de la función de probabilidad bajo la fórmula de distribución de Poisson.

Descripción

Realizar distribuciones de probabilidad conforme a la distribución de probabilidad de Poisson a partir del valor medio dado en ejercicios.

Se generan las tablas de probabilidad conforme a distribución Poisson, se identifican los valores de probabilidad cuando la variable discreta $x$ tenga algún exactamente algún valor, $\leq$ a algún valor o $\gt$ o $\geq$, entre otros.

Fundamento teórico

Otra variable aleatoria discreta que tiene numerosas aplicaciones prácticas es la variable aleatoria de Poisson. Su distribución de probabilidad da un buen modelo para datos que representa el número de sucesos de un evento especificado en una unidad determinada de tiempo o espacio [@mendenhall_introduccion_2006].

Los experimentos que dan valores numéricos de una variable aleatoria X, el número de resultados que ocurren durante un intervalo dado o en una región específica, se llaman experimentos de Poisson.[@walpole_probabilidad_2012]

Esta distribución, suele usarse para estimar el número de veces que sucede un hecho determinado (ocurrencias) en un intervalo de tiempo o de espacio. Por ejemplo,

La variable de interés va desde el número promedio de automóviles que llegan (llegadas) a un lavado de coches en una hora o
El número medio de reparaciones necesarias en 10 kms. de una autopista o,
El número promedio de fugas de agua en tubería en un lapso 3 meses.
El número de focos promedio que fallan en una cantidad de lote de 1000 focos.
El número medio de fugas en 100 kms.de tubería, entre otros [@anderson_estadistica_2008].

Fórmula

\[ f(x) = \frac{{e^{ - \mu }\cdot \mu ^x }}{{x!}} \] en donde:

$f(x)$ es la función de probabilidad para valores de $x=0,1,2,3..,n$.
$\mu$ es el valor medio esperado en cierto lapso de tiempo. Algunas veces expresado como $\lambda$
$x$ es la variable aleatoria. Es una variable aleatoria discreta $(x = 0, 1, 2, . . . )$
$e$ valor constante, es la base de los logaritmos naturales $2.71728$.

Propiedades de un evento Poisson:

La probabilidad de ocurrencia es la misma para cualquiera de dos intérvalos de la misma longitud.
La ocurrencia o no ocurrencia en cualquier intervalo es independiente de la ocurrencia o no ocurrencia en cualquier otro intervalo.

Esperanza, varianza y desviación estándard

Los valores de la esperanza (o media) y de la varianza para la distribución de Poisson son de la siguiente manera:

El valor medio o esperanza\[E(X) = \lambda \]

La varianza\[Var(X) = \sigma^{2} = \lambda\]

La desviación\[\sigma = \sqrt{Var(x)} = \sqrt{\sigma^{2}}\]

Desarrollo

Cargar librerías

library(ggplot2)

Cargar funciones

#source("../funciones/funciones.distribuciones.r")
# o
source("https://raw.githubusercontent.com/rpizarrog/Trabajos-en-R-AD2021/main/funciones/funciones.para.distribuciones.r")

Ejercicios

Se describen ejercicios en donde se encuentra la función de distribución

Llegadas a cajero automático

Suponga que desea saber el número de llegadas, en un lapso de 15 minutos, a la rampa del cajero automático de un banco.[@anderson_estadistica_2008]

Si se puede suponer que la probabilidad de llegada de los automóviles es la misma en cualesquiera de dos lapsos de la misma duración y si la llegada o no–llegada de un automóvil en cualquier lapso es independiente de la llegada o no–llegada de un automóvil en cualquier otro lapso, se puede aplicar la función de probabilidad de Poisson.

Dichas condiciones se satisfacen y en un análisis de datos pasados encuentra que el número promedio de automóviles que llegan en un lapso de 15 minutos es igual a 10;

Aquí la variable aleatoria es $x$ número de automóviles que llegan en un lapso de 15 minutos.

Probabilidad de que lleguen exactamente 5 automóviles en 15 minutos

Si la administración desea saber la probabilidad de que lleguen exactamente 5 automóviles en 15 minutos, $x=5$,y se obtiene:

Inicializando variables y valores

media <- 10
x <- 5

Utilizando la función creada conforme a la fórmula

prob <- round(f.prob.poisson(media = media, x = x),4)
paste("La probabilidad de que sean exactamente 5 automóviles es de : ", prob)

## [1] "La probabilidad de que sean exactamente 5 automóviles es de :  0.0378"

Utilizando la función dpois()

prob2 <- round(dpois(x = 5, lambda = media),4)
paste("La probabilida de que sean exactamente 5 automóviles es de : ", prob2)

## [1] "La probabilida de que sean exactamente 5 automóviles es de :  0.0378"

Tabla de probabilidad y gráfica de la probabilidad de Poisson

options(scipen=999) # Notación normal 
tabla <- data.frame(x=0:25, f.prob.x = round(dpois(x = 0:25, lambda = media),4))
tabla <- cbind(tabla, f.acum.x = ppois(q=0:25, lambda = media))
tabla

##     x f.prob.x      f.acum.x
## 1   0   0.0000 0.00004539993
## 2   1   0.0005 0.00049939923
## 3   2   0.0023 0.00276939572
## 4   3   0.0076 0.01033605068
## 5   4   0.0189 0.02925268808
## 6   5   0.0378 0.06708596288
## 7   6   0.0631 0.13014142088
## 8   7   0.0901 0.22022064660
## 9   8   0.1126 0.33281967875
## 10  9   0.1251 0.45792971447
## 11 10   0.1251 0.58303975019
## 12 11   0.1137 0.69677614630
## 13 12   0.0948 0.79155647639
## 14 13   0.0729 0.86446442262
## 15 14   0.0521 0.91654152707
## 16 15   0.0347 0.95125959670
## 17 16   0.0217 0.97295839022
## 18 17   0.0128 0.98572238640
## 19 18   0.0071 0.99281349540
## 20 19   0.0037 0.99654565802
## 21 20   0.0019 0.99841173934
## 22 21   0.0009 0.99930034949
## 23 22   0.0004 0.99970426319
## 24 23   0.0002 0.99987987785
## 25 24   0.0001 0.99995305062
## 26 25   0.0000 0.99998231973

Visualizando probabilidad de Poisson

ggplot(data = tabla, aes(x,f.prob.x) ) +
  geom_point(colour = "red") +
  geom_line(colour = 'blue')

¿Cual es la probabilidad de que X sea menor o igual a diez?

\[P(x \leq10) = P(x=0) + P(x=1) + P(x=2) + P(x=3) + ... + P(x=10)\]

i <- 10
tabla$f.acum[i + 1]

## [1] 0.5830398

paste("La probabilidad de que el valor de x sea menor o igua a 10 es: ", tabla$f.acum[i + 1])

## [1] "La probabilidad de que el valor de x sea menor o igua a 10 es:  0.583039750192985"

Usando ppois()

ppois() determina la probabilidad acumulada de una distribución Poisson.

prob <- round(ppois(q = 10, lambda = media), 4)
paste("La probabilidad de que el valor de x sea menor o igua a 10 es: ", prob)

## [1] "La probabilidad de que el valor de x sea menor o igua a 10 es:  0.583"

Media diferente

En el ejemplo anterior se usó un lapso de 15 minutos, pero también se usan otros lapsos. Suponga que desea calcular la probabilidad de una llegada en un lapso de 3 minutos.

Regla de tres:

\[ 10 = 15\] \[ ? = 3\]

Entonces, la probabilidad de $x=4$ llegadas en un lapso de 3 minutos con $μ = 2$ está dada por la siguiente nueva función de probabilidad de Poisson.

\[ \mu = 2 \]

\[ f(x) = \frac{{e^{ - \mu }\cdot \mu ^x }}{{x!}} \]

Entonces ….

media <- 2
x <- 4

prob <- round(dpois(x = 4, lambda = media),4)
paste("La probabilidad cuando x = 4 y media igual a 2 es del:", prob * 100, "%")

## [1] "La probabilidad cuando x = 4 y media igual a 2 es del: 9.02 %"

El valor de la esperanza media

Regresando a la media $\mu = 10 \text{ o }\lambda = 10$ , entonces la esperanza media es igual a: $10$

La varianza

La varianza es igual a $10$

La desviación estándar

La raiz cuadrada de $\sqrt{10}$

sqrt(media)

## [1] 1.414214

Interpretación

La probabilidad de que solo 5 automóviles lleguen en un período de 15 minutos es de 3.78% lo que significa que la probabilidad de que esto pase es muy baja. Mientras que la probabilidad de que lleguen 10 autos o menos en el mismo lapso de tiempo es del 58.3%.

Si buscamos una medida con otros datos se sabe que hay una probabilidad de que los autos lleguen en un tiempo estimado de 3 minutos. Para este caso la probabilidad de que lleguen 4 autos en 2 minutos es del 9.02%.

En el primer ejemplo el valor esperado como la varianza son de 10, que es tanto el esperado de llegada en el tiempo determinado así como la variación de este. En este caso al no haber dicha se mantiene con el mismo valor que en el esperado. La desviación estándar en este caso es de 3.16.

Instalaciones industriales

En ciertas instalaciones industriales los accidentes ocurren con muy poca frecuencia. Se sabe que la probabilidad de un accidente en cualquier día dado es $0.005$ y los accidentes son independientes entre sí [@walpole_probabilidad_2012].

¿Cuál es la probabilidad de que en cualquier periodo dado de 400 días habrá un accidente en un día?
Se multiplica la cantidad la de dias por su probabilidad para encontrar la media. Esta media será el parámetro para la distribución Poisson.

n <- 400
prob <- 0.005
media <- n * prob
media

## [1] 2

La variable aleatoria son los días desde $x=0$…hasta $x=n$

La tabla de distribución de probabilidad de Poisson

tabla <- data.frame(x=0:10, f.prob.x = round(dpois(x = 0:10, lambda = media),4))
tabla <- cbind(tabla, f.acum.x = ppois(q = 0:10, lambda = media))
tabla

##     x f.prob.x  f.acum.x
## 1   0   0.1353 0.1353353
## 2   1   0.2707 0.4060058
## 3   2   0.2707 0.6766764
## 4   3   0.1804 0.8571235
## 5   4   0.0902 0.9473470
## 6   5   0.0361 0.9834364
## 7   6   0.0120 0.9954662
## 8   7   0.0034 0.9989033
## 9   8   0.0009 0.9997626
## 10  9   0.0002 0.9999535
## 11 10   0.0000 0.9999917

Visualización de Poisson

ggplot(data = tabla, aes(x,f.prob.x) ) +
  geom_point(colour = "red") +
  geom_line(colour = 'blue')

¿Cuál es la probabilidad de que en cualquier periodo dado de 400 días habrá un accidente en un día?

$P(x=1)$

Recordar que el índice de la tabla empieza en el valor cero de tal forma que se necesita el siguiente valor $x+1$ en la tabla:

i <- 1
prob <- tabla$f.prob.x[i+1]
paste("La probabiidad del valor de x=1 es: ", prob)

## [1] "La probabiidad del valor de x=1 es:  0.2707"

paste("La probabiidad del valor de x=1 es: ", round(dpois(x = 1, lambda = media), 4))

## [1] "La probabiidad del valor de x=1 es:  0.2707"

¿Cuál es la probabilidad de que haya a lo más tres días con un accidente?

El indice en la taba comienza en cero

i <- 3
prob <- round(tabla$f.acum.x[i+1],4)
paste("La probabiidad del valor de x<=3 es: ", prob)

## [1] "La probabiidad del valor de x<=3 es:  0.8571"

paste("La probabilidad acumlada del valor de x<=3 es: ", round(ppois(q = 3, lambda = media, lower.tail = TRUE), 4))

## [1] "La probabilidad acumlada del valor de x<=3 es:  0.8571"

Interpretación

La probabilidad de que en un tiempo estimado de 400 días pueda haber uno en el que haya un accidente es del 27% mientras que la probabilidad acumulada de que haya un máximo de 3 días con accidente es del 85.71%, lo que quiere decir que tiene una probabilidad bastante alta.

Fabricante de automóviles

Un fabricante de automóviles se preocupa por una falla en el mecanismo de freno de un modelo específico. La falla puede causar en raras ocasiones una catástrofe a alta velocidad. Suponga que la distribución del número de automóviles por año que experimentará la falla es una variable aleatoria de Poisson con $\lambda = 5$ [@walpole_probabilidad_2012].

La tabla de distribución cuando media igual a 5

media <- 5
tabla <- data.frame(x=0:20, f.prob.x = round(dpois(x = 0:20, lambda = media),8))
tabla <- cbind(tabla, f.acum.x = ppois(q = 0:20, lambda = media))
tabla

##     x   f.prob.x    f.acum.x
## 1   0 0.00673795 0.006737947
## 2   1 0.03368973 0.040427682
## 3   2 0.08422434 0.124652019
## 4   3 0.14037390 0.265025915
## 5   4 0.17546737 0.440493285
## 6   5 0.17546737 0.615960655
## 7   6 0.14622281 0.762183463
## 8   7 0.10444486 0.866628326
## 9   8 0.06527804 0.931906365
## 10  9 0.03626558 0.968171943
## 11 10 0.01813279 0.986304731
## 12 11 0.00824218 0.994546908
## 13 12 0.00343424 0.997981148
## 14 13 0.00132086 0.999302010
## 15 14 0.00047174 0.999773746
## 16 15 0.00015725 0.999930992
## 17 16 0.00004914 0.999980131
## 18 17 0.00001445 0.999994584
## 19 18 0.00000401 0.999998598
## 20 19 0.00000106 0.999999655
## 21 20 0.00000026 0.999999919

Visualización de Poisson

ggplot(data = tabla, aes(x,f.prob.x) ) +
  geom_point(colour = "red") +
  geom_line(colour = 'blue')

¿Cuál es la probabilidad de que, a lo más, 3 automóviles por año sufran una catástrofe?

\[P(X \leq 3)\]

\[P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3)\]

i <- 3
prob <- tabla$f.acum.x[i+1]
paste("La probabiidad del valor de x<=3 es: ", round(prob * 100,4), "%")

## [1] "La probabiidad del valor de x<=3 es:  26.5026 %"

paste("La probabilidad del valor de x<=3 es: ", round(ppois(q = 3, lambda = media),4) * 100, "%")

## [1] "La probabilidad del valor de x<=3 es:  26.5 %"

¿Cuál es la probabilidad de que más de 1 automóvil por año experimente una catástrofe?

\[ 1 - P(X \leq 1) \] \[ 1 - (P(X=0) + P(x=1))\]

i <- 1
prob <- 1 - tabla$f.acum.x[i+1]
paste("La probabilidad del valor de x>1 es: ", round(prob * 100,4), "%")

## [1] "La probabilidad del valor de x>1 es:  95.9572 %"

prob <- ppois(q = 1, lambda = media, lower.tail = FALSE)
paste("La probabiidad del valor de x>1 es: ", round(prob * 100,4), "%")

## [1] "La probabiidad del valor de x>1 es:  95.9572 %"

Interpretación

La probabilidad de que hasta 3 vehículos por año pasen por algún accidente es de 26.5026%. En el mismo período de un año, la probabilidad de que al menos un auto sufra una catástrofe es del 95.9572%, que quiere decir que es casi una garantía de que al menos un auto sufra un accidente.

Declaracion de impuestos

Suponga que en promedio,

\[1persona en 1000\]

comete un error numérico al prepar su declaración de impuestos.

Si se selecciones

\[10,00\]

formas al azar y se examinan, encuentre la probabilidad de que 6,7 u 8 de las formas contengan un error.[(Walpole et al. 2007). Ejercicio 5.65, Pág. 165].

$$P(x=6:8)=P(x=6)+P(x=7)+P(x=8)

Valores iniciales

prob <- 1 / 1000
media <- prob * 10000

Tabla de distribución

tabla <- data.frame(x=0:20, f.prob.x = round(dpois(x = 0:20, lambda = media),8), f.acum.x = round(ppois(q = 0:20, lambda = media),8))

tabla

##     x   f.prob.x   f.acum.x
## 1   0 0.00004540 0.00004540
## 2   1 0.00045400 0.00049940
## 3   2 0.00227000 0.00276940
## 4   3 0.00756665 0.01033605
## 5   4 0.01891664 0.02925269
## 6   5 0.03783327 0.06708596
## 7   6 0.06305546 0.13014142
## 8   7 0.09007923 0.22022065
## 9   8 0.11259903 0.33281968
## 10  9 0.12511004 0.45792971
## 11 10 0.12511004 0.58303975
## 12 11 0.11373640 0.69677615
## 13 12 0.09478033 0.79155648
## 14 13 0.07290795 0.86446442
## 15 14 0.05207710 0.91654153
## 16 15 0.03471807 0.95125960
## 17 16 0.02169879 0.97295839
## 18 17 0.01276400 0.98572239
## 19 18 0.00709111 0.99281350
## 20 19 0.00373216 0.99654566
## 21 20 0.00186608 0.99841174

Usando dpois()\[P(x=6:8)=P(x=6)+P(x=7)+P(x=8)\]

Se suman las probabilidades

paste(round(dpois(x = 6, lambda = media),4), "+", round(dpois(x = 7, lambda = media),4), "+"
, round(dpois(x = 8, lambda = media),4))

## [1] "0.0631 + 0.0901 + 0.1126"

prob <- sum(dpois(x = 6:8, lambda = media))

paste("La probabilidad del valor de x de 6 a 8 es: ", round((prob * 100),4), "%")

## [1] "La probabilidad del valor de x de 6 a 8 es:  26.5734 %"

Interpretación

Por último, la probabilidad de que se cometan de 6 a 8 errores en una muestra de 10,000 declaraciones de impuestos es del 26.57%

Referencias Bibliográficas

Anderson, David R., Dennis J. Sweeney, and Thomas A. Williams. 2008. Estadística Para Administración y Economía. 10th ed. Australia • Brasil • Corea • España • Estados Unidos • Japón • México • Reino Unido • Singapur: Cengage Learning,.

Mendenhall, William, Robert J. Beaver, and Barbara M. Beaver. 2006. Introducción a La Probabilidad y Estadística. 13a Edición.

Walpole, Ronald E., Raymond H. Myers, and Sharon L. Myers. 2012. Probabilidad y Estadística Para Ingeniería y Ciencias. Novena Edición. México: Pearson.

Walpole, Ronald E., Raymond H. Myers, Sharon L. Myers, and Keying Ye. 2007. Probabilidad y Estadística Para Ingeniería y Ciencias. Octava Edición. México: Pearson Education.

Caso17. Distribución de Poisson

Angela Flores Hernandez

16/11/2021

Objetivo

Descripción

Fundamento teórico

Fórmula

Esperanza, varianza y desviación estándard

El valor medio o esperanza\[E(X) = \lambda \]

La varianza\[Var(X) = \sigma^{2} = \lambda\]

La desviación\[\sigma = \sqrt{Var(x)} = \sqrt{\sigma^{2}}\]

Desarrollo

Cargar librerías

Cargar funciones

Ejercicios

Llegadas a cajero automático

Probabilidad de que lleguen exactamente 5 automóviles en 15 minutos

Tabla de probabilidad y gráfica de la probabilidad de Poisson

Visualizando probabilidad de Poisson

¿Cual es la probabilidad de que X sea menor o igual a diez?

Usando ppois()

Media diferente

El valor de la esperanza media

La varianza

La desviación estándar

Interpretación

Instalaciones industriales

La tabla de distribución de probabilidad de Poisson

Visualización de Poisson

¿Cuál es la probabilidad de que en cualquier periodo dado de 400 días habrá un accidente en un día?

¿Cuál es la probabilidad de que haya a lo más tres días con un accidente?

Interpretación

Fabricante de automóviles

La tabla de distribución cuando media igual a 5

Visualización de Poisson

¿Cuál es la probabilidad de que, a lo más, 3 automóviles por año sufran una catástrofe?

¿Cuál es la probabilidad de que más de 1 automóvil por año experimente una catástrofe?

Interpretación

Declaracion de impuestos

$$P(x=6:8)=P(x=6)+P(x=7)+P(x=8)

Tabla de distribución

Usando dpois()\[P(x=6:8)=P(x=6)+P(x=7)+P(x=8)\]

Interpretación

Referencias Bibliográficas