Detecção de pontos de mudança na curva de novos casos de covid-19

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# Detecção de pontos de mudança na curva de novos casos de covid-19
### Magno T F Severino
### KSS - Santander
### 17/11/2021

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# Casos diários reportados no Brasil (2020)

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# Média móvel de casos semanais reportados no Brasil (2020)

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# Média móvel de casos semanais reportados no Brasil (2020)

<img src="data:image/png;base64,#apresentacao_santander_files/figure-html/br_suave_log-1.png" width="864" style="display: block; margin: auto;" />

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# Média móvel de casos semanais reportados no Brasil (2020)
<img src="data:image/png;base64,#apresentacao_santander_files/figure-html/unnamed-chunk-1-1.png" width="864" style="display: block; margin: auto;" />

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# Média móvel de casos semanais reportados no Brasil (2020)
<img src="data:image/png;base64,#apresentacao_santander_files/figure-html/unnamed-chunk-2-1.png" width="864" style="display: block; margin: auto;" />

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# Regressão usando splines
<img src="data:image/png;base64,#figures/spline_linear.png" width="500px" style="display: block; margin: auto;" />

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# Definição
Problema de regressão não paramétrica da forma

`\begin{equation}
y_i = f(x_i) + \epsilon_i , \qquad i=1,...,n,
\end{equation}`

* `\(x_i\in \mathbb{R}\)`;
* `\(f\)` é uma função suave desconhecida em `\([a,b]\)`;
* `\(f(x_i) = \mathbb{E}(y_i|x_i)\)`;
* `\(\epsilon_i\)` são iid com `\(\mathbb{E}(\epsilon_i) = 0\)`.

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# Definição
Para estimar `\(f\)`, defina uma partição de `\([a,b]\)` em intervalos `\([a,t_1),[t_1,t_2),...,[t_K,b]\)` e um modelo de regressão spline de ordem  `\(m=p+1\)`,

`\begin{equation}
f(x) = \beta_{0} + \sum_{j=1}^{p} \beta_{j}x^{j} + \sum_{k=1}^{K} \beta_{p+k}(x-t_{k})_{+}^{p},
\end{equation}`

* `\(p, K \in \mathbb{Z}^{+}\)`, 
* `\(\boldsymbol{\beta} = [\beta_0,...,\beta_{p+K}]'\)`, 
* `\((u)_{+}^{p} = u^{p}\mathbb{1}(u \geq 0)\)`,
* `\(t_1 <...<t_{K}\)`.

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# Método

Soma de quadrados de resíduos penalizada

`\begin{equation}
PSS_{\lambda}(\boldsymbol{\theta};\boldsymbol{y}) = \sum_{i=1}^{n}[y_i - f(x_i)]^2 + \lambda (K+1),
\end{equation}`

* `\(\boldsymbol{y} = [y_1,...,y_n]'\)`, 
* `\(f\)` é a função spline, 
* `\(\lambda>0\)` é a constante de penalização.

O estimador `\(\boldsymbol{\hat{\theta}}\)` é obtido por
`\begin{equation}
\boldsymbol{\hat{\theta}} = \arg \min_{\boldsymbol{\theta}} PSS_{\lambda}(\boldsymbol{\theta};\boldsymbol{y}).
\end{equation}`

* `\(\boldsymbol{\theta} = [\boldsymbol{\beta}, K, t_1,...,t_K]'\)`.

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# [www.ime.usp.br/~gpeca](http://www.ime.usp.br/~gpeca)
<img src="data:image/png;base64,#figures/gpeca.png" width="100%" style="display: block; margin: auto;" />

## Inicio da pandemia em São Paulo/SP
<img src="data:image/png;base64,#apresentacao_santander_files/figure-html/unnamed-chunk-3-1.png" width="864" style="display: block; margin: auto;" />

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# Inicio da pandemia em São Paulo/SP
<img src="data:image/png;base64,#apresentacao_santander_files/figure-html/mg_lin-1.png" width="864" style="display: block; margin: auto;" />

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# Taxa de duplicação em São Paulo/SP

<table class="table table-striped table-hover" style="width: auto !important; margin-left: auto; margin-right: auto;">
 <thead>
  <tr>
   <th style="text-align:center;"> Período </th>
   <th style="text-align:center;"> Taxa de mortalidade acumulada </th>
   <th style="text-align:center;"> Taxa de duplicação </th>
  </tr>
 </thead>
<tbody>
  <tr>
   <td style="text-align:center;"> 15/03 - 30/03 </td>
   <td style="text-align:center;"> 8,8% </td>
   <td style="text-align:center;"> 3,6 dias </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:center;"> 31/03 - 23/04 </td>
   <td style="text-align:center;"> 8,2% </td>
   <td style="text-align:center;"> 66,8 dias </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:center;"> 24/04 - 29/04 </td>
   <td style="text-align:center;"> 8,7% </td>
   <td style="text-align:center;"> 6,3 dias </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:center;"> 30/04 - 20/05 </td>
   <td style="text-align:center;"> 8% </td>
   <td style="text-align:center;"> 38,2 dias </td>
  </tr>
</tbody>
</table>

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# Suiça

<img src="data:image/png;base64,#apresentacao_santander_files/figure-html/unnamed-chunk-4-1.png" width="864" style="display: block; margin: auto;" />
---
# Suíça
<img src="data:image/png;base64,#apresentacao_santander_files/figure-html/swiss_suave-1.png" width="864" style="display: block; margin: auto;" />

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# Suíça
<img src="data:image/png;base64,#apresentacao_santander_files/figure-html/swiss_lin-1.png" width="864" style="display: block; margin: auto;" />

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# Splines cúbicos
<img src="data:image/png;base64,#figures/spline_cub.png" width="500px" style="display: block; margin: auto;" />

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# Suiça

---
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background-position: 95% 3%

# Como aplicar esse método em outuros contextos?

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# Referências
* Sousa, Alex Rodrigo dos S., Magno TF Severino, and Florencia G. Leonardi. "<i>Model selection criteria for regression models with splines and the automatic localization of knots.</i>" arXiv preprint arXiv:2006.02649 (2020);

* Hastie, Trevor, Robert Tibshirani, and Jerome Friedman. The elements of statistical learning: data mining, inference, and prediction. Springer Science & Business Media, 2009;

* [opendata.ecdc.europa.eu/covid19/](opendata.ecdc.europa.eu/covid19/);

* [Brasil.io](opendata.ecdc.europa.eu/covid19/);

* [www.worldometers.info/coronavirus/](https://www.worldometers.info/coronavirus/).

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# Obrigado!

<a href="mailto:magno@ime.usp.br">.RUred[<i class="fa fa-envelope fa-fw"></i>] .black[magno@ime.usp.br]

###### Agradecimento à CAPES, ao CNPq e à FAPESP por financiamento parcial deste trabalho.