Casos diários reportados no Brasil (2020)

Média móvel de casos semanais reportados no Brasil (2020)

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Regressão usando splines

Definição

Problema de regressão não paramétrica da forma

$$\begin{equation} y_i = f(x_i) + \epsilon_i , \qquad i=1,...,n, \end{equation}$$

• $x_i\in \mathbb{R}$;
• $f$ é uma função suave desconhecida em $[a,b]$;
• $f(x_i) = \mathbb{E}(y_i|x_i)$;
• $\epsilon_i$ são iid com $\mathbb{E}(\epsilon_i) = 0$.

Definição

Para estimar $f$, defina uma partição de $[a,b]$ em intervalos $[a,t_1),[t_1,t_2),...,[t_K,b]$ e um modelo de regressão spline de ordem $m=p+1$,

$$\begin{equation} f(x) = \beta_{0} + \sum_{j=1}^{p} \beta_{j}x^{j} + \sum_{k=1}^{K} \beta_{p+k}(x-t_{k})_{+}^{p}, \end{equation}$$

• $p, K \in \mathbb{Z}^{+}$,
• $\boldsymbol{\beta} = [\beta_0,...,\beta_{p+K}]'$,
• $(u)_{+}^{p} = u^{p}\mathbb{1}(u \geq 0)$,
• $t_1 <...<t_{K}$.

Método

Soma de quadrados de resíduos penalizada

$$\begin{equation} PSS_{\lambda}(\boldsymbol{\theta};\boldsymbol{y}) = \sum_{i=1}^{n}[y_i - f(x_i)]^2 + \lambda (K+1), \end{equation}$$

• $\boldsymbol{y} = [y_1,...,y_n]'$,
• $f$ é a função spline,
• $\lambda>0$ é a constante de penalização.

O estimador $\boldsymbol{\hat{\theta}}$ é obtido por $$\begin{equation} \boldsymbol{\hat{\theta}} = \arg \min_{\boldsymbol{\theta}} PSS_{\lambda}(\boldsymbol{\theta};\boldsymbol{y}). \end{equation}$$

• $\boldsymbol{\theta} = [\boldsymbol{\beta}, K, t_1,...,t_K]'$.

www.ime.usp.br/~gpeca

Inicio da pandemia em São Paulo/SP

Inicio da pandemia em São Paulo/SP

Taxa de duplicação em São Paulo/SP

Suiça

Suíça

Suíça

Splines cúbicos

Suiça

Referências

• Sousa, Alex Rodrigo dos S., Magno TF Severino, and Florencia G. Leonardi. "Model selection criteria for regression models with splines and the automatic localization of knots." arXiv preprint arXiv:2006.02649 (2020);

• Hastie, Trevor, Robert Tibshirani, and Jerome Friedman. The elements of statistical learning: data mining, inference, and prediction. Springer Science & Business Media, 2009;

• opendata.ecdc.europa.eu/covid19/;

• Brasil.io;

• www.worldometers.info/coronavirus/.