Diseño Factorial 2^3
Ing. Jesús Goméz Monzón
15/9/2021
1 Diseño Factorial \(2^3\)
1.1 Ejercicio
- En una empresa lechera se han tenido problemas con la viscosidad de cierta bebida de chocolate. Se cree que con tres ingredientes que se agregan en pequeñas cantidades se puede resolver este problema, por lo que es necesario explorar la situación; para ello se corre un experimento \(2^3\) con dos réplicas. A continuación se aprecian los resultados obtenidos:
| Ingrediente A | Ingrediente B | Ingrediente C | Viscosidad |
|---|---|---|---|
| -1 | -1 | -1 | 13.3 |
| +1 | -1 | -1 | 14.7 |
| -1 | +1 | -1 | 14.6 |
| +1 | +1 | -1 | 14.3 |
| -1 | -1 | +1 | 16.9 |
| +1 | -1 | +1 | 15.5 |
| -1 | +1 | +1 | 17.4 |
| +1 | +1 | +1 | 18.9 |
| -1 | -1 | -1 | 13.9 |
| +1 | -1 | -1 | 14.4 |
| -1 | +1 | -1 | 14.9 |
| +1 | +1 | -1 | 14.1 |
| -1 | -1 | +1 | 17.2 |
| +1 | -1 | +1 | 15.1 |
| -1 | +1 | +1 | 17.1 |
| +1 | +1 | +1 | 19.2 |
- Estime todos los posibles efectos y diga cuáles son significativos.
- Realice un análisis de varianza de estos datos y obtenga conclusiones generales.
- Interprete a detalle los efectos significativos.
- ¿Hay un tratamiento ganador para minimizar?
- Verique residuos, ¿qué considera destacado?
1.2 Solución
a) Estime todos los posibles efectos y diga cuáles son significativos.
library(printr)datos=read.table("dataset.txt",header = TRUE)
View(datos)
str(datos)## 'data.frame': 16 obs. of 4 variables:
## $ Ingrediente_A: int -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 ...
## $ Ingrediente_B: int -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 ...
## $ Ingrediente_C: int -1 -1 -1 -1 1 1 1 1 -1 -1 ...
## $ Viscosidad : num 13.3 14.7 14.6 14.3 16.9 15.5 17.4 18.9 13.9 14.4 ...attach(datos)
f_inga=factor(`Ingrediente_A`)
f_ingb=factor(`Ingrediente_B`)
f_ingc=factor(`Ingrediente_C`)head(datos, n= 16L)| Ingrediente_A | Ingrediente_B | Ingrediente_C | Viscosidad |
|---|---|---|---|
| -1 | -1 | -1 | 13.3 |
| 1 | -1 | -1 | 14.7 |
| -1 | 1 | -1 | 14.6 |
| 1 | 1 | -1 | 14.3 |
| -1 | -1 | 1 | 16.9 |
| 1 | -1 | 1 | 15.5 |
| -1 | 1 | 1 | 17.4 |
| 1 | 1 | 1 | 18.9 |
| -1 | -1 | -1 | 13.9 |
| 1 | -1 | -1 | 14.4 |
| -1 | 1 | -1 | 14.9 |
| 1 | 1 | -1 | 14.1 |
| -1 | -1 | 1 | 17.2 |
| 1 | -1 | 1 | 15.1 |
| -1 | 1 | 1 | 17.1 |
| 1 | 1 | 1 | 19.2 |
Para determinar los efectos, utilizamos el siguiente código:
modelo=lm(Viscosidad~(f_inga+f_ingb+f_ingc+f_inga*f_ingb+f_inga*f_ingc+f_ingb*f_ingc+f_inga*f_ingb*f_ingc))
summary(modelo)##
## Call:
## lm(formula = Viscosidad ~ (f_inga + f_ingb + f_ingc + f_inga *
## f_ingb + f_inga * f_ingc + f_ingb * f_ingc + f_inga * f_ingb *
## f_ingc))
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -0.30 -0.15 0.00 0.15 0.30
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) 13.6000 0.1777 76.551 9.45e-13 ***
## f_inga1 0.9500 0.2512 3.781 0.00538 **
## f_ingb1 1.1500 0.2512 4.577 0.00181 **
## f_ingc1 3.4500 0.2512 13.732 7.63e-07 ***
## f_inga1:f_ingb1 -1.5000 0.3553 -4.222 0.00291 **
## f_inga1:f_ingc1 -2.7000 0.3553 -7.599 6.31e-05 ***
## f_ingb1:f_ingc1 -0.9500 0.3553 -2.674 0.02820 *
## f_inga1:f_ingb1:f_ingc1 5.0500 0.5025 10.050 8.18e-06 ***
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 0.2512 on 8 degrees of freedom
## Multiple R-squared: 0.9898, Adjusted R-squared: 0.9809
## F-statistic: 110.8 on 7 and 8 DF, p-value: 2.493e-07library(FrF2)
experimento=FrF2(nruns = 8,nfactors = 3,factor.names = list(f_inga=c(-1,1),f_ingb=c(-1,1),f_ingc=c(-1,1)),replications = 2,randomize = FALSE)
experimento_resp=add.response(design = experimento,response = Viscosidad)
grafica_efectos_principales=MEPlot(experimento_resp, main="Gráfica de efectos principales para viscosidad.")
grafica_interaciones=IAPlot(experimento_resp, main= "Gráfica de matriz de interacción para viscosidad")
head(grafica_efectos_principales)| f_inga | f_ingb | f_ingc | |
|---|---|---|---|
| - | 15.6625 | 15.1250 | 14.2750 |
| + | 15.7750 | 16.3125 | 17.1625 |
head(grafica_interaciones)| f_inga:f_ingb | f_inga:f_ingc | f_ingb:f_ingc | |
|---|---|---|---|
| -:- | 15.325 | 14.175 | 14.075 |
| +:- | 14.925 | 14.375 | 14.475 |
| -:+ | 16.000 | 17.150 | 16.175 |
| +:+ | 16.625 | 17.175 | 18.150 |
Mediante la evidencia experimental se puede expresar lo siguiente: Existe suficiente evidencia para concluir que los datos que presentan una significación en los factores es el Ingrediente C.
b) Realice un análisis de varianza de estos datos y obtenga conclusiones generales.
anova=aov(modelo)
summary(anova)## Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
## f_inga 1 0.05 0.05 0.802 0.396647
## f_ingb 1 5.64 5.64 89.356 1.29e-05 ***
## f_ingc 1 33.35 33.35 528.327 1.36e-08 ***
## f_inga:f_ingb 1 1.05 1.05 16.644 0.003536 **
## f_inga:f_ingc 1 0.03 0.03 0.485 0.505830
## f_ingb:f_ingc 1 2.48 2.48 39.297 0.000241 ***
## f_inga:f_ingb:f_ingc 1 6.38 6.38 101.000 8.18e-06 ***
## Residuals 8 0.50 0.06
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1Con base a los valores calculados mediante el analisis de la varianza para comparar cada uno de los datos se tiene que el \(valor_p\) para el efecto del Ingrediente A no es significativo, considerando un nivel de significancia de α = 0.05, \(valor_p\)>α, por lo tanto, se acepta la hipótesis nula y se concluye que consdiderando la viscosidad producida por el efecto del tratamiento considerado para la elaboración de la leche con chocolate que es el Ingrediente A.
Para el factor ingrediente B se puede concluir que existe una diferencia significativa entre los ingredientes, dado que \(valor_p\)<α, por lo tanto, se rechaza la hipótesis nula para el ingrediente B.
Para el ingrediente C, se puede concluir que existe una diferencia significativa, por lo tanto, interfiere con la viscosidad de la producción de leche con chocolate, dado que \(valor_p\)<α.
En las interaciones, se concluye que existen diferencias significativas entre las diferentes interacciones generadas dado que \(valor_p\)<α, lo tanto, si existen interacciones fuertes como para provocar cambios significativos en la viscosidad generada en la producción de leche con chocolate.
c) Interprete a detalle los efectos significativos
Al analizar los datos calculados a detalle se considera que existe suficiente evidencia para decir que el Ingrediente A e Ingrediente C no son significativos, con un nivel de 95% de confianza, por lo tanto, se concluye que no genera alteraciones de ningún tipo.
d) ¿Hay un tratamiento ganador para minimizar? Mediante la evidencia experimental con el 95% de nivel de confianza, se puede concluir que el tratamiento que presenta mayor efecto para minimizar es el Ingrediente c.
e) Verique residuos, ¿qué considera destacado?
Prueba de Adecuación
normalidad=shapiro.test(resid(modelo))
print(normalidad)##
## Shapiro-Wilk normality test
##
## data: resid(modelo)
## W = 0.87343, p-value = 0.0307#Gráfica de probabilidad normal
qqnorm(resid(modelo), main= "Gráfica de Probabilidad para los Residuales del Modelo", xlab="Cuantiles Teoricos", ylab = "Cuantiles de muestra")
qqline(resid(modelo))
Con base en el gráfico anterior, podemos concluir que los puntos en el gráfico no muestran un comportamiento lineal, por lo que se concluye que no muestran un comportamiento normal. No corresponde al supuesto de normalidad.
La Prueba de Bartlett tiene las siguientes hipótesis:
homocedasticidad=bartlett.test(resid(modelo),f_inga,f_ingb,f_ingc,data=experimento_resp)
print(homocedasticidad)##
## Bartlett test of homogeneity of variances
##
## data: resid(modelo) and f_inga
## Bartlett's K-squared = 0.41308, df = 1, p-value = 0.5204Existe suficiente evidencia para comprobar qué el valor de Alfa es menor qué al valor obtenido mediante la prueba de homogeneidad de las varianzas ya que el valor presente es igual a 0.5204, con un nivel de confianza del 95%, por lo tanto, se acepta la hipótesis nula y se rechaza la alternativa.