Studi Kasus; Metode Kuadrat Terkecil dan Aliran Massa Dalam Reaktor

Scatterplot matriks sangat bagus untuk mengecek korelasi antar variabel dalam dataset tersebut. Berikut adalah sintaks untuk membuatnya:

Kita ingin membuat sebuah model linier untuk memprediksi Volume kayu berdasarkan variabel Girth dan Heiht atau volume sebagia fungsi dari variabel Girth dan Heiht. Kita dapat menuliskan relasi antara variabel volume sebagai fungsi dari variabel Girth dan Heiht menggunakan Persamaan (6.40).

Volume=βgirthGirth+βheightHeight+β0(6.40)(6.40)Volume=βgirthGirth+βheightHeight+β0

dimana β0β0 merupakan intersep persamaan regresi linier dan nilai ββ lainnya merupakan koefisien dari variabel Girth dan Heiht. Variabel Volume disebut sebagai variabel respon, sedangkan variabel Girth dan Heiht disebut sebagai variabel prediktor.

Metode kuadrat terkecil berusaha memperoleh seluruh koefisien variabel dan intersep dari persamaan regresi linier. Berdasarkan yang telah penulis jelaskan garis regresi terbaik adalah garis yang memiliki nilai kuadrat terkecil jarak antara titik observasi dan garis regresi. Dasar dari metode kuadrat terkecil merupakan persamaan yang relatif sederhana yang ditunjukkan pada Persamaan (6.41).

ATA=ATb(6.41)(6.41)ATA=ATb

dimana bb merupakan vektor dari variabel respon (Volume) dan matrik AA merupakan matriks variabel prediktor (variabel Girth dan Heiht).

Untuk menginputkan intercept kedalam persamaan linier kita perlu menmabhakan satu kolom di awal matriks AA yang berisi nilai 1. Berikut adalah sintaks yang digunakan untuk membentuk matriks AA:

# membentuk matriks A
pred <- cbind(intercept=1, Girth=trees$Girth, Height=trees$Height)
head(A)

##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]   27    6   -1
## [2,]    6   15    2
## [3,]    1    1   54

Langkah selanjutnya adalah membentuk matriks b . Berikut adalah sintaks yang digunakan:

resp<- trees$Volume
head(resp)

## [1] 10.3 10.3 10.2 16.4 18.8 19.7

Untuk memperoleh koefisien β , kita dapat mencarinya dengan cara menyelesaikan Persamaan (6.41). Berikut adalah sintaks yang digunakan:

A <- t(pred) %*% pred
b <- t(pred) %*% resp

Ab <- cbind(A,b)
(x <- gauss_jordan(Ab))

##           intercept Girth Height         
## intercept         1     0      0 -57.9877
## Girth             0     1      0   4.7082
## Height            0     0      1   0.3393

# metode LU
lu_solve(A,b)

## $P
##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]    1    0    0
## [2,]    0    1    0
## [3,]    0    0    1
## 
## $L
##       [,1]  [,2] [,3]
## [1,]  1.00 0.000    0
## [2,] 13.25 1.000    0
## [3,] 76.00 1.054    1
## 
## $U
##           intercept Girth Height
## intercept        31 410.7 2356.0
## Girth             0 295.4  311.5
## Height            0   0.0  889.6
## 
## $result
##          [,1]
## [1,] -57.9877
## [2,]   4.7082
## [3,]   0.3393

# fungsi solve()
solve(A,b)

##               [,1]
## intercept -57.9877
## Girth       4.7082
## Height      0.3393

R juga menyediakan fungsi untuk membentuk model regresi linier. Fungsi yang digunakan adalah lm(). Berikut sintaks yang digunakan untuk membentuk model linier menggunakan fungsi lm():

lm(Volume~Girth+Height, data=trees)

## 
## Call:
## lm(formula = Volume ~ Girth + Height, data = trees)
## 
## Coefficients:
## (Intercept)        Girth       Height  
##    -57.9877       4.7082       0.3393

6.6.2 Aliran Massa Dalam Reaktor

Pada sub-chapter ini penulis akan memberikan penerapan aljabar linier untuk menghitung konsentrasi suatu zat atau parameter lingkungan dalam reaktor yang saling terhubung. Pada contoh kasus kali ini diasumsikan terdapat lima buah reaktor yang saling terhubung satu sama lain sesuai Gambar 6.2. Debit air ( m3detik ) dan konsentrasi zat pencemar ( mgm3 ) disajikan pula diagram alir tersebut. Diasumsikan kelima buah reaktor tersebut dalam kondisi steady dan volume reaktor diasumsikan sama. Kesetimbangan massa persatuan waktu dalam kondisi steady disajikan pada Persamaan (6.43).

Kita akan menyelesaikannya dengan menggunakan metode elminasi Gauss-Jordan, dekomposisi LU, iterasi Jacobi, dan iterasi Gauss-Seidel. Untuk dapat menyelesaikannya menggunakan metode-metode tersebut pada R, kita perlu membentuk matriksnya terlebih dahulu:

(A <- matrix(c(6,-3,0,0,-3,
              0,3,-1,-1,-1,
              -1,0,9,-8,0,
              0,0,0,11,0,
              0,0,0,-2,4),nrow=5))

##      [,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
## [1,]    6    0   -1    0    0
## [2,]   -3    3    0    0    0
## [3,]    0   -1    9    0    0
## [4,]    0   -1   -8   11   -2
## [5,]   -3   -1    0    0    4

(b <- c(50,0,160,0,0))

## [1]  50   0 160   0   0

gauss_jordan(cbind(A,b))

##                    b
## [1,] 1 0 0 0 0 11.51
## [2,] 0 1 0 0 0 11.51
## [3,] 0 0 1 0 0 19.06
## [4,] 0 0 0 1 0 17.00
## [5,] 0 0 0 0 1 11.51

lu_solve(A,b)

## $P
##      [,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
## [1,]    1    0    0    0    0
## [2,]    0    1    0    0    0
## [3,]    0    0    1    0    0
## [4,]    0    0    0    1    0
## [5,]    0    0    0    0    1
## 
## $L
##      [,1]    [,2]     [,3] [,4] [,5]
## [1,]  1.0  0.0000  0.00000    0    0
## [2,] -0.5  1.0000  0.00000    0    0
## [3,]  0.0 -0.3333  1.00000    0    0
## [4,]  0.0 -0.3333 -0.92453    1    0
## [5,] -0.5 -0.3333 -0.07547    0    1
## 
## $U
##      [,1] [,2]       [,3] [,4] [,5]
## [1,]    6    0 -1.000e+00    0    0
## [2,]    0    3 -5.000e-01    0    0
## [3,]    0    0  8.833e+00    0    0
## [4,]    0    0  0.000e+00   11   -2
## [5,]    0    0  1.110e-16    0    4
## 
## $result
## [1] 11.51 11.51 19.06 17.00 11.5

gauss_seidel(A,b, maxiter=200)

## $X
##       [,1]
## [1,] 11.51
## [2,] 11.51
## [3,] 19.06
## [4,] 17.00
## [5,] 11.51
## 
## $iter
## [1] 7

$Referensi$

• https://bookdown.org/moh_rosidi2610/Metode_Numerik/linearaljabar.html#studikasus

• https://bookdown.org/moh_rosidi2610/Metode_Numerik/linearaljabar.html#leastsquare

• https://bookdown.org/moh_rosidi2610/Metode_Numerik/linearaljabar.html#reaktorkimia