Dosen Pengampu : Prof. Dr. Suhartono, M.Kom

Lembaga : Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang

Jurusan : Teknik Informatika

Pengertian Persamaan Linear dan Nonlinear

Persamaan linear adalah persamaan aljabar yang setiap sukunya mengandung konstanta atau hasil kali konstanta dengan variabel tunggal. Persamaan non-linier dapat diartikan sebagai persamaan yang tidak mengandung syarat seperti persamaan linier, sehingga persamaan non-linier dapat merupakan:

  1. Persamaan yang memiliki pangkat selain satu (misal: x2 x2)

  2. Persamaan yang mempunyai produk dua variabel (misal: xy)

Dalam penyelesaian persamaan non-linier diperlukan akar-akar persamaan non-linier, dimana akar sebuah persamaan non-linier f(x)=0 merupakan nilai x yang menyebabkan nilai f(x) sama dengan nol. Dalam hal ini dapat disimpulkan bahwa akar-akar penyelesaian persamaan non-linier merupakan titik potong antara kurva f(x) dengan sumbu x.

Pengertian Metode Tabel

Untuk menyelesaikan persamaan nonlinier menggunakan metode tabel, bagi persamaan menjadi beberapa rentang, dimana untuk x = [a,b] dibagi sebanyak N bagian pada masing-masing bagian dan nilai f(x) dihitung pada setiap bagian.

Jika f(xk) = 0 atau bernilai mendekati nol (a k b), maka a ≤ k ≤ b dikatakan sebagai solusi dari persamaan f (x). Jika tidak ditemukan, cari kebalikan nilai tanda f(xk) dan f(xk+1). Jika tidak ditemukan, maka persamaan tersebut tidak memiliki akar pada daerah [a, b]. Jika akar persamaan tidak ditemukan, maka ada dua cara untuk menentukan akar persamaan, yaitu :

  1. Akar kuadrat dari persamaan tergantung pada nilai mana yang lebih dekat. Jika f(xk) ≤ f(xk+1) maka akarnya adalah xk. Jika f(xk+1) ≤ f(xk)maka akarnya adalah x~k + 1~.

  2. Perlu mencari lagi di kisaran x = [xk, xk +1].

Algoritma Metode Tabel

  1. Definisikan fungsi f(x)

  2. Tentukan rentang untukx yang berupa batas bawah a dan batas atas b.

  3. Tentukan jumlah pembagi NN

  4. Hitung step pembagi : h = (b+a) / N

  1. Untuk i=0 s/d N, hitung :

    xi=a+i.h

    yi=f(xi)

  2. Untuk i =  0 s/d N, dimana :

    Bila f(x)= 0, maka akarnya xk

    Bila f(a) f(b) < 0, maka:

    • f(xk) ≤ f(xk+1), maka akarnya xk

    • Bila tidak xk+1 adalah penyelesaian atau dapat dikatakan penyelesaian berada diantara xk dan xk+1

Kita dapat membuat suatu fungsi pada R untuk melakukan proses iterasi pada metode Tabel. Fungsi root_table() akan melakukan iterasi berdasarkan step algoritma 1 sampai 5. Berikut adalah sintaks yang digunakan :

root_table <- function(f, a, b, N=20){
    h <- abs((a+b)/N)
    x <- seq(from=a, to=b, by=h)
    fx <- rep(0, N+1)
    for(i in 1:(N+1)){
      fx[i] <- f(x[i])
    }
    data <- data.frame(x=x, fx=fx)
    return(data)
}

Contoh : Carilah akar persamaan dari f(x)= xe-1+1 pada rentang x=[−1,0]

tabel <- root_table(f=function(x){x*exp(-x)+1},
                     a=-1, b=0, N=10)
print(tabel)
##       x          fx
## 1  -1.0 -1.71828183
## 2  -0.9 -1.21364280
## 3  -0.8 -0.78043274
## 4  -0.7 -0.40962690
## 5  -0.6 -0.09327128
## 6  -0.5  0.17563936
## 7  -0.4  0.40327012
## 8  -0.3  0.59504236
## 9  -0.2  0.75571945
## 10 -0.1  0.88948291
## 11  0.0  1.00000000

Refrensi

https://bookdown.org/moh_rosidi2610/Metode_Numerik/rootfinding.html