Teknik Interpolasi dan Ekstrapolasi Menggunakan RStudio

Lembaga : Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang

Jurusan : Teknik Informatika

Fakultas : Sains dan Teknologi

0.1 Pengenalan Interpolasi Secara Umum

Pada dunia nyata, data sering kali tidak tersaji secara lengkap. Seringkali terdapat nilai data yang hilang (missing value). Terdapat banyak penyebab dari kondisi tersebut, baik akibat kesalahan manusianya maupun keterbatasan kemampuan alat ukur.

Kondisi lain yang muncul dari data yang kita miliki adalah adanya outlier atau nilai yang berbeda jauh dengan mayoritas data yang kita miliki. Nilai tersebut akan menentukan hasil analisis atau uji statistik yang kita lakukan, terlebih lagi jika uji statistik yang kita lakukan menggunakan metode parametrik.

Terdapat banyak cara untuk menangani kondisi-kondisi tersebut. Sejumlah peneliti memilih untuk menghapus data tersebut. Hal ini dapat dilakukan jika jumlah data yang kita miliki cukup besar. Bagaimana jika data yang kita miliki sedikit dan pengukuran ulang cukup mahal atau cukup sulit dilakukan?. Salah satu cara yang dapat dilakukan adalah dengan melakukan interpolasi terhadap data.

Interpolasi dan ekstrapolasi adalah proses “menebak” nilai data dengan memperhatikan data lain yang kita miliki. Interpolasi merupakan teknik untuk mencari nilai suatu variabel yang hilang pada rentang data yang diketahui, sedangkan ektrapolasi merupakan teknik menemukan nilai suatu variabel diluar rentang data yang telah diketahui. Data lain yang kita miliki seringkali memiliki sejumlah pola. Pola yang terbentuk dapat berupa polinomial atau mengelompok. Tiap pola akan memiliki metode pendekatan yang berbeda-beda. Terdapat kemungkinan tak terbatas dari pola data tersebut. Penilaian profesional atau ahli diperlukan untuk menentukan metode mana yang sesuai berdasarkan riwayat penelitian atau pekerjaan yang pernah dilakukan sebelumnya.

0.2 Interpolasi Polinomial Pada RStudio

Interpolasi polinomial merupakan teknik interpolasi dengan mengasumsikan pola data yang kita miliki mengikuti pola polinomial baik berderajat satu (linier) maupun berderajat tinggi. Interpolasi dengan metode ini dilakukan dengan terlebih dahulu membentuk persamaan polinomial. Persamaan polinomial yang terbentuk selanjutnya digunakan untuk melakukan interpolasi dari nilai yang diketahui atau ekstrapolasi (prediksi) dari nilai diluar rentang data yang diketahui.

Pada Chapter 8.1 pembahasan akan dibagi menjadi 3 bagian. Bagian pertama kita akan mengulang kembali teknik evaluasi polinomial, sedangkan dua bagian selanjutnya akan membahas teknik interpolasi linier dan polinomial orde tinggi dengan menjadikan pembahasan bagian pertama sebagai dasar pada dua bagian berikutnya.

0.2.1 Mengevaluasi Polinomial Pada RStudio

Pada Chapter ini pembaca akan mempelajari teknik untuk melakukan substitusi nilai xx pada persamaan polinomial untuk memperoleh nilai yy. Terdapat berbagai pendekatan dalam melakukan proses tersebut, mulai dari metode naive maupun metode Horner. Kedua metode akan menghasilkan hasil yang sama namun dengan proses komputasi yang berbeda. Metode naive cenderung lambat dalam proses komputasi karena jumlah proses yang dilakukan dalam sekali proses lebih banyak dari pada metode Horner.

Untuk memahami metode-metode evaluasi polinomial yang telah disebutkan tersebut, secara umum persamaan polinomial disajikan pada Persamaan (8.1).

f(x)=anxn+an−1xn−1+⋯+a1x+a0(8.1)(8.1)f(x)=anxn+an−1xn−1+⋯+a1x+a0

dimana aa merupakan koefisien polinomial, xx merupakan variabel, dan nn merupakan indeks dan pangkat polinomial.

Pada metode naive kita melakukan evaluasi polinomial sama dengan cara kita melakukan evaluasi polinomial saat kita SMA. Nilai xx akan disubstitusikan pada masing-masing elemen persamaan polinomial. Masing-masing elemen polinomial selanjutnya dijumkahkan untuk menghitung yy.

Pada R kita dapat menuliskan sebuah fungsi untuk melakukan evaluasi polinomial menggunakan metode naive tersebut. Pada fungsi tersebut, koefisien polinomial akan disimpan kedalam sebuah vektor dengan urutan pengisian mulai dari koefisien dengan pangkat xx terendah ke tertinggi.

naive_poly <- function(x, coeff){
  n <- length(x)
  y <- rep(0, n)
  
  for(i in 1:length(coeff)){
    y <- y + coeff[i]*(x^(i-1))
  }
  
  return(y)
}

Contoh 8.1 Hitung nilai yy pada persamaan f(x)=x4+3x3−15x2−19x+30f(x)=x4+3x3−15x2−19x+30, jika diketahui nilai xx adalah -1, 0, dan 1!

Jawab:

Untuk dapat menghitung nilai yy menggunakan fungsi naive_poly() pada persamaan tersebut dengan nilai xx yang diketahui, kita perlu merubah koefisien persamaan tersebut dan nilai xx yang diketahui menjadi vektor:

x <- c(-1,0,1)
coeff <- c(30,-19,-15,3,1)

Masukkan vektor-vektor yang telah terbentuk tersebut kedalam fungsi naive_poly().

naive_poly(x, coeff)

## [1] 32 30  0

Berdasarkan hasil perhitungan diperoleh nilai yy masing-masing sebesar 32, 30, dan 0. Pembaca dapat mengeceknya sendiri hasil perhitungan tersebut menggunakan cara manual.

Kita dapat meningkatkan efisiensi proses perhitungan pada fungsi naive_poly() tersebut. Sebagai contoh, setiap kali kita melakukan loop untuk menghitung nilai yy pada polinomial, kita dapat memperoleh eksponensial dari xx. Namun untuk setiap koefisien aiai, nilai eksponensial yang terkait xixi merupakan seri produk.

xi=i∏j=0x(8.2)(8.2)xi=∏j=0ix

Untuk xixi, terdapat sebanyak ii koefisien xx dikalikan bersamaan. Namun, untuk setiap xi−1xi−1 terdapat lebih sedikit 1 perkalian dibanding koefisien xx dengan pangkat yang lebih besar dan seterusnya.

Berdasarkan ilustrasi tersebut, kita dapat membentuk fungsi better_poly() sebagai perbaikan dari fungsi naive_poly(). Berikut adalah sintaks yang digunakan:

better_poly <- function(x, coeff){
  n <- length(x)
  y <- rep(0, n)
  cached_x <- 1
  
  for(i in 1:length(coeff)){
    y <- y + coeff[i]*cached_x
    cached_x <- cached_x * x
  }
  return(y)
}

Contoh 8.2 Hitung nilai yy pada persamaan yang disajikan pada Contoh 8.1 menggunakan nilai xx yang telah diketahui pada soal tersebut menggunakan fungsi better_poly()?

Jawab:

better_poly(x, coeff)

## [1] 32 30  0

Sejauh ini kita telah membentuk 2 fungsi yaitu naive_poly() dan better_poly(). Kedua fungsi tersebut memiliki perbedaan proses menghitung yang mempengaruhi efisiensinya masing-masing. Sebagai contoh jika diberikan polinomial berderajat 10, fungsi naive_poly() akan mengejakan perkalian dalam proses loop sebanyak 55 kali, sedangkan fungsi better_poly() akan melakukannya sebanyak 20 kali (2n2n perkalian).

Metode lain yang lebih efisien dalam melakukan evaluasi polinomial adalah metode Horner. Metode ini oleh William Horner pada abad ke-18. Dalam metode Horner, bentuk polinomial pada Persamaan (8.1) akan ditransformasi menjadi Persamaan (8.3).

f(x)=anxn+an−1xn−1+⋯+a1x+a0=a0+a1x+⋯+an−1xn−1+anxn=a0+x(a1+⋯+an−1xn−2+anxn−1)=a0+x(a1+⋯+x(an−1+x(an))⋯)(8.3)(8.3)f(x)=anxn+an−1xn−1+⋯+a1x+a0=a0+a1x+⋯+an−1xn−1+anxn=a0+x(a1+⋯+an−1xn−2+anxn−1)=a0+x(a1+⋯+x(an−1+x(an))⋯)

Berdasarkan Persamaan (8.3), jika kita melakukan perhitungan pada persamaan polinomial berderajat 10, kita dapat mereduksi perhitungan menjadi 10 perkalian dan 10 penjumlahan. Jumlah tersebut sangat kecil dibandingkan kedua metode sebelumnya dan dapat dikatakan lebih efisien dibandingkan metode lainnya.

FUngsi horner_poly() merupakan fungsi yang dibentuk bedasarkan Persamaan (8.3). Sintaks fungsi tersebut adalah sebagai berikut:

horner_poly <- function(x, coeff){
  n <- length(x)
  y <- rep(0, n)
  
  for(i in length(coeff):1){
    y <- coeff[i] + x * y
  }
  return(y)
}

Contoh 8.3 Kerjakan kembali Contoh 8.2 fungsi horner_poly()?

Jawab:

horner_poly(x, coeff)

## [1] 32 30  0

0.2.2 Interpolasi Linier

Misalkan kita memiliki 3 buah data dengan dua buah variabel kita misalkan variabel xx dan variabel yy. Pada salah satu data terdapat data yang hilang pada. Agar ketiga data tersebut tetap dapat digunakan dalam iterasi diperlukan interpolasi untuk “menebak” nilai dari data yang hilang.

Berdasarkan pengukuran yang sebelumnya pernah dilakukan diketahui bahwa pola data yang terbentuk variabel xx dan yy divisualisasikan menggunakan scatterplot adalah pola linier. Berdasarkan hal tersebut interpolasi dilakukan dengan menggunakan metode linier.

Interpolasi linier dilakukan dengan terlebih dahulu membentuk fungsi linier. Dengan kata lain kita perlu mencari nilai slope mm dan intercept bb. Nilai mm dihitung sebagai rasio selisih jarak dua titik pada sumbu yy dan sumbu xx yang dapat dituliskan melalui Persamaan (8.4).

m=y2−y1x2−x1(8.4)(8.4)m=y2−y1x2−x1

Nilai intercept (titik potong pada sumbu yy) dihitung menggunakan Persamaan (8.5).

b=y2−mx2(8.5)(8.5)b=y2−mx2

---

Algoritma Interpolasi Linier

1. Tentukan dua buah titik (x,y)(x,y) sebagai dasar pembentukan persaman linier.

2. Hitung mm menggunakan Persamaan (8.4)

3. Hitung bb menggunakan Persamaan (8.5)

4. Definiskan fungsi linier berdasarkan nilai mm dan bb

5. Hitung yy dengan cara substitusi nilai xx pada persamaan linier untuk melakukan interpolasi atau ekstrapolasi nilai yy yang ingin dicari.

---

Algoritma poin 1 sampai 4 tersebut, kita dapat membentuk fungsi pembentuk persamaan linier dari 2 titik yang diketahui. Fungsi tersebut disajikan pada sintaks berikut:

linear_inter <- function(x, y){
  m <- (y[2]-y[1]) / (x[2]-x[1])
  b <- y[2] - m*x[2]
  
  return(c(b, m))
}

Contoh 8.4 Diketahui koordinat 2 buah titik yaitu (0,-1) dan (2,3). Jika diketahui titik ketiga memiliki koordinat sumbu xx sebesar 1. Lakukan interpolasi untuk menentukan koordinat sumbu yy titik ketiga tersebut!

Jawab:

Berdasarkan data-data yang terdapat pada soal terserbut, kita dapat menghitung nilai mm dan bb. Nilai mm dapat dihitung sebagai berikut:

m=−1−30−2=2m=−1−30−2=2

Dengan menggunakan nilai mm tersebut kita dapat menghitung nilai bb.

b=3−2∗3=−1b=3−2∗3=−1

Berdasarkan hasil perhitungan diperoleh persamaan linier yang terbentuk adalah sebagai berikut:

y=2x−1y=2x−1

Berdasarkan persamaan linier tersebut nilai yy dapat dihitung.

y=2∗1−1=1y=2∗1−1=1

Kita dapat pula membentuk persamaan linier menggunakan fungsi linear_inter(). Berikut adalah sintaks yang digunakan:

x <- c(0,2)
y <- c(-1,3)

(coeff <- linear_inter(x,y))

## [1] -1  2

Setelah diperoleh koefisien persamaan linier berdasarkan dua titik tersebut, kita akan menggunakan fungsi horner_poly() untuk memperoleh nilai yy. Berikut adalah sintaks yang digunakan:

horner_poly(1, coeff)

## [1] 1

Hasil interpolasi yang diperoleh dapat dikatakan sesuai dengan lokasi kedua titik data yang ditunjukkan pada Gambar 8.1. Berdasarkan hal tersebut, kita dapat yakin bahwa hasil interpolasi yang telah kita lakukan telah sesuai.

Interpolasi linier dua titik (Sumber:Howard, 2017).

Gambar 8.1: Interpolasi linier dua titik (Sumber:Howard, 2017).

Metode interpolasi linier dapat dibilang merupakan metode interpolasi yang sangat sederhana. Disamping kemudahannya, metode ini memiliki potensi error numerik jika jarak antara kedua titik cukup berdekatan terlebih lagi jika selisih penyebut (x2−x1x2−x1) sangat kecil sehingga akan menghasilkan nilai yy yang sangat besar.

Disamping adanya potensi error numerik tersebut, metode ini menjadi dasar bagi metode interpolasi lain yang lebih kompleks. Metode selanjutnya merupakan pengembangan dari metode interpolasi ini.

0.2.3 Interpolasi Polinomial Orde Tinggi

Dengan menggunakan dua titik, kita dapat membentuk garis lurus (linier) yang tepat pada dua titik tersebut. Masalah timbul jika selisih nilai xx kedua titik tersebut sangat kecil atau kedua titik tersebut memiliki nilai xx yang sama. Hal ini akan menyebabkan slope yang dihasilkan menjadi tidak terhingga atau garis yang terbentuk adalah garis vertikal tegak lurus.

Bagaimana jika terdapat tiga buah titik? apakah kita masih bisa menggunakan interpolasi linie?. Ya, asalkan ketiga titik tersebut membentuk pola linier atau terletak pada satu garis yang sama. Pada kenyatannya kondisi tersebut jarang terjadi, sehingga pendekatan menggunakan polinomial orde lebih tinggi diperlukan. Persamaan kuadratik (polinomial orde dua) dapat digunakan untuk membentuk persamaan polinomial pada ketiga titik tersebut, sehingga iterasi dapat dilakukan. Untuk 4 buah titik data, polinomial orde tiga dapat digunakan untuk melakukan interpolasi. Secara umum berdasarkan penjelasan tersebut, untuk nn titik data interpolasi dapat dilakukan menggunakan persamaan polinomial orde n−1n−1.

Diberikan set data berpasangan yang telah diurutkan (xi,yi)(xi,yi), fungsi interpolasi harus memenuhi persyaratan berikut:

p(xi)=yi(8.6)(8.6)p(xi)=yi

Untuk setiap ii. Sebagai tambahan, fungsi interpolasi berupa fungsi polinomial dengan bentuk umum sebagai berikut:

yi=βnxni+βn−1xn−1i+⋯+β1xi+β0(8.7)(8.7)yi=βnxin+βn−1xin−1+⋯+β1xi+β0

Persamaan (8.7) dapat dituliskan kedalam bentuk matriks yang ditampilkan pada Persamaan (8.8).

⎡⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣xn1xn−11⋯x11xn2xn−12⋯x21⋮⋮⋮⋱⋮xnnxn−1n⋯xn1⎤⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦⎡⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣βnβn−1⋮β0⎤⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦=⎡⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣y1y2⋮yn⎤⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦(8.8)(8.8)[x1nx1n−1⋯x11x2nx2n−1⋯x21⋮⋮⋮⋱⋮xnnxnn−1⋯xn1][βnβn−1⋮β0]=[y1y2⋮yn]

Persamaan matrik tersebut dapat dituliskan sebagai Xβ=yXβ=y. Untuk menyelesaikan persamaan tersebut (memperoleh nilai ββ), pembaca dapat membaca kembali Chapter 6. Matriks XX disebut sebagai matriks Vandemonde dan matriks tersebut mengandung sejumlah nilai xx dengan pangkat sampai dengan nn.

---

Algoritma Interpolasi Polinomial Orde Tinggi

1. Tentukan set titik berpasangan (x,y)(x,y) yang telah diurutkan.

2. Bentuk matriks Vandermonde sesuai dengan Persamaan (8.8).

3. Definiskan persamaan matriks Xβ=yXβ=y

4. Selesaikan persamaan matriks pada poin 3 untuk memperoleh nilai ββ

5. Definisikan persamaan polinomial berdasarkan koefisien ββ yang diperoleh

6. Lakukan substitusi xx persamaan polinomial pada poin 5 untuk memperoleh nilai yy

---

Berdasarkan algoritma poin 1 sampai 5, kita dapat membentuk suatu fungsi untuk membentuk persamaan polinomial berdasarkan Persamaan (8.8). Berikut adalah sintaks fungsi tersebut:

poly_inter <- function(x, y){
  if(length(x) != length(y))
    stop("Lenght of x and y vectors must be the same")
  
  n <- length(x)-1
  vandermonde <- rep(1, length(x))
  for(i in 1:n){
    xi <- x^i
    vandermonde <- cbind(vandermonde, xi)
  }
  beta <- solve(vandermonde, y)
  
  names(beta) <- NULL
  return(beta)
}

Contoh 8.5 Diketahui koordinat 3 buah titik yaitu (-1,-2), (1,2) dan (0,1). Jika diketahui titik keempat memiliki koordinat sumbu xx sebesar -2. Lakukan interpolasi untuk menentukan koordinat sumbu yy titik keempat tersebut!

Jawab:

Untuk menyelesaiakn contoh soal tersebut, kita perlu terlebih dahulu membentuk matriks sesuai dengan Persamaan (8.8). Berdasarkan soal tersebut, terdapat tiga buah titik data yang diketahui, sehingga polinomial yang hendak dibentuk selanjutnya adalah polinomial berderajat 2.Setelah matriks tersebut terbentuk, pembaca dapat menyelesaikannya menggunakan berbagai metode yang telah penulis jelaskan pada Chapter 6 untuk memperoleh nilai β.

Untuk menyelesaikan contoh soal tersebut pada R, kiat perlu membentuk matriks xx dan yy terlebih dahulu.

x <- c(-1, 1, 0)
y <- c(-2, 2, -1)

Koefisien persamaan polinomial dihitung menggunakan fungsi poly_inter().

(coeff <- poly_inter(x, y))

## [1] -1  2  1

Berdasarkan hasil perhitungan, diperoleh nilai ββ. Nilai tersebut selanjutnya digunakan untuk membentuk persamaan polinomial. Berikut merupakan persamaan polinomial yang terbentuk:

f(x)=1x2+2x−1f(x)=1x2+2x−1

Fungsi horner_poly() selanjutnya digunakan untuk mengevaluasi polinomial tersebut. Berikut adalah hasil substitusi x pada persamaan tersebut:

horner_poly(-2, coeff)

## [1] -1

Hasil yang diperoleh terlihat cukup sesuai jika kita perhatikan visualisasi ketiga titik tersebut pada Gambar 8.2.

Interpolasi kuadratik tiga titik (Sumber:Howard, 2017).

Gambar 8.2: Interpolasi kuadratik tiga titik (Sumber:Howard, 2017).

Contoh 8.6 Dengan menggunakan data pada Contoh 8.4, lakukan proses perhitungan untuk membentuk persamaan polinomial menggunakan fungsi poly_inter()

Jawab:

Berdasarkan data pada Contoh 8.4, polinomial yang terbentuk merupakan polinomial derajat 1 (linier). Berikut adalah nilai koefisien yang dihasilkan dari perhitungan menggunakan fungsi poly_inter().

x <- c(2, 0)
y <- c(3, -1)
poly_inter(x, y)

## [1] -1  2

Meskipun proses perhitungan menggunakan fungsi poly_inter() lebih rumit dibandingkan dengan fungsi linear_poly(), hasil perhitungan keduanya menggunakan data pada Contoh 8.4 menghasilkan hasil yang sama.

0.3 Pengenalan Interpolasi Piecewise

Interpolasi dengan polinomial sering memberikan hasil yang tidak dapat diterima. Interpolasi polinomial yang dihasilkan dari sejumlah besar data titik biasanya berderajat tinggi. Polinomial berderajat tinggi pada umumnya bersifat osilatif (grafiknya naik turun secara cepat). Akibatnya, perubahan data pada interval kecil dapat menyebabkan fluktuasi besar pada keseluruhan interval. Karena alasan ini, biasanya interpolasi hanya menggunakan polinomial berderajat rendah.

Interpolasi piecewise menawarkan alternatif lain. Pada interpolasi piecewise, pada titik yang berbeda sepanjang kurva, nilai fungsi lebih mungkin lebih baik didekati menggunakan dua atau lebih interpolasi. Pada metode ini kita akan membuat fungsi interpolasi ditiap antara dua titik observasi.

Pada sub-Chapter ini akan dijelaskan 2 buah metode interpolasi piecewise, yaitu: interpolasi linier piecewise dan interpolasi kubik spline. Interpolasi pertama dilakukan menggunakan persamaan linier, sehingga kurva yang terbentuk bukan merupakan kurva kontinu. Interpolasi selanjutnya dilakukan menggunakan persamaan polinomial berderajat tinggi sehingga kurva yang dihasilkan lebih halus (tidak ada sudut siku pada setiap titik).

0.3.1 Interpolasi Linier Piecewise

Interpolasi linier piecewise merupakan interpolasi yang menggunakan pendekatan interpolasi linier. Fungsi linier akan dibentuk pada setiap dua titik observasi. Untuk lebih memahaminya perhatikan kembali Gambar 8.2. Pada gambar tersebut sebelumnya kita telah membentuk persamaan kudratik untuk menghubungkan titik-titik tersebut. Dibanding menggunakan persamaan polinomial seperti kuadratik tersebut, interpolasi piecewise akan menghubungkan tiap dua titik observasi tersebut dengan garis lurus.

---

Algoritma Interpolasi Linier Piecewise

1. Tentukan set titik berpasangan (x,y)(x,y) yang telah diurutkan berdasarkan nilai sumbu xx.

2. Hitung mm pada setiap dua titik berdekatan menggunakan Persamaan (8.4)

3. Hitung bb pada setiap dua titik berdekatan menggunakan Persamaan (8.5)

4. Definiskan fungsi linier berdasarkan nilai mm dan bb

5. Hitung yy dengan cara substitusi nilai xx pada persamaan linier untuk melakukan interpolasi nilai yy yang ingin dicari.

6. Untuk melakukan ekstrapolasi dengan titik observasi diluar rentang titik diketahui, gunakan persamaan linier yang berada pada bagian ujung terdekat dengan nilai xx yang hendak dicari nilai yy-nya.

---

Berdasarkan algoritma tersebut, kita dapat menyusun fungsi pada R untuk membentuk persamaan linier piecewise. Berikut adalah sintaks yang digunakan:

pwise_linterp <- function(x, y){
  n <- length(x)-1
  
  y <- y[order(x)]
  x <- x[order(x)]
  
  m_vec <- b_vec <- c()
  
  for(i in 1:n){
    m <- (y[i+1]-y[i]) / (x[i+1]-x[i])
    b <- y[i+1] - m*x[i+1]
    m_vec <- c(m_vec, m)
    b_vec <- c(b_vec, b)
  }
  
  return(list(b = b_vec, m = m_vec))
}

Contoh 8.7 Tentukan persamaan-persamaan linier yang dihasilkan dari titik observasi yang ditampilkan pada Contoh 8.5?

Jawab:

Untuk menentukan persamaan-persamaan linier yang menghubungkan setiap titik, kita akan menggunakan fungsi pwise_linterp() yang telah kita buat. Berikut adalah sintaks yang digunakan:

x <- c(-1, 1, 0, -2)
y <- c(-2, 2, -1, -1)

pwise_linterp(x, y)

## $b
## [1] -3 -1 -1
## 
## $m
## [1] -1  1  3

Jika persamaan-persamaan yang terbentuk tersebut divisualisasikan akan terlihat seperti pada Gambar 8.3.

Interpolasi linier piecewise empat titik (Sumber:Howard, 2017).

Gambar 8.3: Interpolasi linier piecewise empat titik (Sumber:Howard, 2017).

R juga menyediakan fungsi untuk melakukan interpolasi linier piecewise. Fungsi approxfun() dapat digunakan untuk melakukan interpolasi tersebut. Fungsi approxfun() hanya memerlukan dua input yaitu vektor xx dan vektor xx. Untuk lebih memahaminya, kita akan menggunakan kembali data yang disajikan pada Contoh 8.5 untuk membuat fungsi linier piecewise. Berikut adalah sintaks yang digunakan:

f <- approxfun(x, y)

# tentukan nilai y jika x= 0
f(0)

## [1] -1

# tentukan nilai y jika x = 0.5
f(0.5)

## [1] 0.5

0.3.2 Interpolasi Spline Kubik

Jika menggunakan interpolasi polinomial berderajat satu (sebuah garis) lebih dari beberapa interval merupakan peningkatan dari satu baris interpolasi, dan jika menggunakan polinomial berderajat tinggi juga merupakan peningkatan dari satu garis interpolasi tunggal, maka dapat disimpulkan bahwa penggunaan polinomial berderajat tinggi pada selang beberapa interval juga akan menjadi peningkatan dalam proses interpolasi. Dalam beberapa kasus, hal tersebut benar, tetapi kita masih menghadapi sudut tajam di mana masing-masing kurva interpolasi tergabung (interpolasi linier piecewise). Sudut tajam ini mencegah diferensiasi dan pada prakteknya tidak dapat digunakan untuk memodelkan beberapa fungsi di dunia nyata, seperti roller coaster span.

Interpolasi spline kubik memecahkan masalah ini. Interpolasi ini akan memberikan kurva tergabung yang halus. Hal tersebut juga membuat spline terintegrasi. Karena setiap bagian individu diwakili oleh kurva kubik (polinomial derajat 3), maka masing-masing bagian individu juga dapat dianalisis sebagai kurva kubik. Dengan asumsi ada nn titik data untuk interpolasi, kita akan mendefinisikan SiSi sebagai fungsi polinomial kubik yang mewakili kurva pada domain [xi;xi+1][xi;xi+1]. Kemudian untuk nn titik observasi, ada n−1n−1 interpolasi polinomial kubik.

Bentuk umum seri polinomial dituliskan pada Persamaan (8.9).

Si=di(x−xi)3+ci(x−xi)2+bi(x−xi)+ai(8.9)(8.9)Si=di(x−xi)3+ci(x−xi)2+bi(x−xi)+ai

Ini mengarah ke 4 nilai yang tidak diketahui tidak diketahui, yaitu: aiai, bibi, cici, dan didi pada setiap Persamaan (8.9). Oleh karena itu, ada 4(n−1)=4n−44(n−1)=4n−4 nilai yang tidak diketahui. Karena kita ingin spline membentuk garis kontinu dan dapat didiferensiasi, ada satu set persamaan yang menentukan spline kubik:

Si(xi)=yi,          i=1,……,n−1(8.10)(8.10)Si(xi)=yi,          i=1,……,n−1

Si(xi+1)=yi+1,          i=1,……,n−1(8.11)(8.11)Si(xi+1)=yi+1,          i=1,……,n−1

S′i(xi+1)=S′i+1(xi),          i=1,……,n−2(8.12)(8.12)Si′(xi+1)=Si+1′(xi),          i=1,……,n−2

S′′i(xi+1)=S′′i+1(xi),          i=1,……,n−2(8.13)(8.13)Si″(xi+1)=Si+1″(xi),          i=1,……,n−2

Persamaan (8.10) dan (8.11) sudah cukup jelas. Persyaratan ini memastikan bahwa jika kita mengevaluasi spline di salah satu node internal, hasil yang akan kita peroleh merupakan jawaban yang telah ditentukan, yaitu spline yang dievaluasi pada xixi untuk beberapa ii adalah yiyi, dan setiap komponen spline bergabung dengan rapi. Persamaan (8.12) memastikan bahwa kita memiliki turunan pertama yang berkelanjutan di setiap simpul internal. Ini mencegah terbentuknya sudut tajam pada tiap node. Persamaan (8.13) memastikan turunan kedua juga kontinu, dimana kondisi ini menguntungkan karena itu berarti turunan pertama itu sendiri dapat didiferensiasi juga.

Kondisi ini menyebabkan ada 4n−64n−6 kondisi yang harus kita penuhi. Jika 4n−44n−4 kita yang tidak diketahui dipecahkan sebagai sebuah matriks, dan akhirnya matriks tersebut akan terpecahkan, matriks akan menjadi kurang ditentukan. Kita dapat menyelesaikan kondisi tersebut dengan memasukkan dua ketentuan tambahan. Dengan splines kubik, secara normal adalah menentukan akhir di kedua ujung untuk mencapai dua kondisi tambahan. Untuk contoh ini, dua kondisi yang akan kita tambahkan adalah S′′i(xi)=0Si″(xi)=0 dan S′′i(xn)=0Si″(xn)=0. Kedua kondisi ini memastikan bahwa pada titik akhir, turunan pertamanya linier dan oleh karena itu fungsi spline berlanjut ke arah yang sudah berjalan. Interpolasi spline kubik ini disebut juga sebagai “natural spline”.

Awalnya, kita dapat melihat bahwa setiap polinomial kubik SiSi digeser ke kanan oleh unit xixi atau bergeser ke kiri jika xixi negatif. Pada xixi nilai fungsi adalah aiai yang berarti ai=yiai=yi untuk setiap nilai ii. Menyelesaikan sisa koefisien yang ada akan lebih kompleks, tetapi sekarang 3n3n tidak diketahui dengan 3n3n kondisi. Derivasi penuh tersedia dari berbagai sumber, tetapi secara garis besar dari Persamaan (8.12) kita mendapatkan S′i(xi+1)=S′i+1Si′(xi+1)=Si+1′, kemudian S′i+1−S′i(x)=0Si+1′−Si′(x)=0, dan kita dapat mensubstitusi Persamaan (8.9) ke dalam kedua komponen, pemecahan untuk didi dalam hal ini xixi, yiyi, dan cici. Proses yang sama dapat direplikasi dengan Persamaan (8.13) dan bibi. Hasilnya adalah matriks tridiagonal, seperti yang ada pada Chapter 6.3.3, yang dapat dipecahkan untuk menemukan koefisien. Terdapat sebuah matriks, A, sedemikian rupa sehingga,

AC=V(8.14)(8.14)AC=V

dimana AA merupakan matriks tridiagonal. Pada matriks tridiagonal ini (u1,u2,…,un−1)(u1,u2,…,un−1) merupakan vektor UU, dan vektor MM, LL, dan VV ditentukan dengan cara serupa. Matriks ini sedemikian rupa,

ui=li=xi+1−xi(8.15)(8.15)ui=li=xi+1−xi

kecuali pada u0=lnu0=ln. Lebih jauh, diagonal utama DD ditentukan menggunakan Persamaan (8.16).

mi=2(xi+1−xi+xi−xi−1)(8.16)(8.16)mi=2(xi+1−xi+xi−xi−1)

kecuali pada d0=dn=1d0=dn=1. Akhirnya vektor VV ditentukan dengan Persamaan (8.17).

vi=3(yi+1−yixi+1−xi−yi−yi−1xi−xi−1)(8.17)(8.17)vi=3(yi+1−yixi+1−xi−yi−yi−1xi−xi−1)

kecuali pada v0=vn=0v0=vn=0. Sehingga,

⎡⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣m1u1000l1m2u2000l2⋱⋱000⋱⋱un−1000ln−1mn⎤⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦C=⎡⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣v1v2⋮⋮vn⎤⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦(8.18)(8.18)[m1u1000l1m2u2000l2⋱⋱000⋱⋱un−1000ln−1mn]C=[v1v2⋮⋮vn]

Penyelesaian Persamaan (8.18) akan menghasilkan vektor koefisien cc, sehingga koefisien bb dapat dihitung menggunakan Persamaan (8.19).

bi=yi+1−yixi+1−xi−xi+1−xi3(2ci+ci+1)(8.19)(8.19)bi=yi+1−yixi+1−xi−xi+1−xi3(2ci+ci+1)

Dengan menggunakan vektor CC yang sudah diketahui, koefisien dd dapat dihitung menggunakan Persamaan (8.20).

di=ci+1−ci3(xi+1−xi)(8.20)(8.20)di=ci+1−ci3(xi+1−xi)

---

Algoritma Interpolasi Spline Kubik

1. Tentukan set titik berpasangan (x,y)(x,y).

2. Tentukan koefisien aiai menggunakan Persamaan (8.10), dimana ai=yiai=yi.

3. Hitung elemen diagonal bawah (lili) dan elemen diagonal atas (uiui) matriks tridiagonal menggunakan Persamaan (8.15), dimana u0=ln=0u0=ln=0.

4. Hitung elemen diagonal utama (mimi) menggunakan Persamaan (8.16), dimana d0=dn=1d0=dn=1.

5. Hitung elemen vektor VV menggunakan Persamaan (8.17), dimana v0=vn=0v0=vn=0.

6. Susunlah elemen lili, uiui, dan mimi menjadi matriks tridiagonal AA.

7. Deifinisikan persamaan linier seperti pada Persamaan (8.14)

8. Selesaikan sistem persamaan linier pada Persamaan (8.14) sehingga diperoleh vektor CC yang merupakan kumpulan koefisien cc.

9. Hitung koefisien bibi menggunakan Persamaan (8.19)

10. Hitung koefisien didi menggunakan Persamaan (8.20).

11. Bentuk seri persamaan polinomial menggunakan elemen koefisien aa, bb, cc, dan dd yang telah dihitung.

12. Untuk melakukan ekstrapolasi dengan titik observasi diluar rentang titik diketahui, gunakan persamaan polinomial yang berada pada bagian ujung terdekat dengan nilai xx yang hendak dicari nilai yy-nya.

---

Berdasarkan algoritma tersebut, kita dapat menyusun suatu fungsi pada R untuk mencari seri persamaan polinomial derajat tiga. Fungsi tersebut adalah sebagai berikut:

cubic_spline <- function(x, y){
  n <- length(x)
  d_vec <- b_vec <- a_vec <- rep(0, n-1)
  vec <- rep(0, n)
  delta_x <- delta_y <- rep(0, n-1)
  
  ## Menghitung nilai selisih dan vektor A
  for(i in 1:(n-1)){
    a_vec[i] <- y[i]
    delta_x[i] <- x[i+1] - x[i]
    delta_y[i] <- y[i+1] - y[i]
  }
  
  ## Menyusun matriks tridiagona
  Au <- c(0, delta_x[2:(n-1)])
  Am <- c(1, 2*(delta_x[1:(n-2)]+delta_x[2:(n-1)]), 1)
  Al <- c(delta_x[1:(n-2)], 0)
  
  vec[0] <- vec[n] <- 0
  for(i in 2:(n-1))
    vec[i] <- 3 * (delta_y[i]/delta_x[i] - 
                   delta_y[i-1]/delta_x[i-1])
  
  ## penyelesaian tridiagonal matriks
  nm <- length(Am)
  Al <- c(NA , Al)
  
  ### forward sweep
  Au[1] <- Au[1] / Am[1]
  vec[1] <- vec[1] / Am[1]
  for(i in 2:(n - 1)){
      Au[i] <- Au[i] / (Am[i] - Al[i] * Au[i - 1])
      vec[i] <- (vec[i] - Al[i] * vec[i - 1]) /
                (Am[i] - Al[i] * Au[i - 1])
  }
  vec[n] <- (vec[n] - Al[n] * vec[n - 1])/
            (Am[n] - Al[n] * Au[n - 1])
  
  ### backward sweep
  c_vec <- rep.int (0, n)
  c_vec[n] <- vec[n]
  for(i in (n - 1) :1)
      c_vec[i] <- vec[i] - Au[i] * c_vec[i + 1]
  
 ## Hitung vektor B dan D dari vektor C
 for(i in 1:(n-1)){
   b_vec[i] <- (delta_y[i]/delta_x[i])-
               (delta_x[i]/3)*(2*c_vec[i]+c_vec[i+1])
   d_vec[i] <- (c_vec[i+1]-c_vec[i]) / (3*delta_x[i])
 }
  
 return(list(a = a_vec, b = b_vec, c = c_vec[-n], d = d_vec))
}

Contoh 8.8 Tentukan persamaan-persamaan spline kubik yang dihasilkan dari titik observasi yang ditampilkan pada Contoh 8.5?

Jawab:

Untuk menentukan persamaan-persamaan linier yang menghubungkan setiap titik, kita akan menggunakan fungsi cubic_spline() yang telah kita buat. Berikut adalah sintaks yang digunakan:

x <- c(-2, -1, 0, 1)
y <- c(-1, -2, -1, 2)

cubic_spline(x, y)

## $a
## [1] -1 -2 -1
## 
## $b
## [1] -1.4 -0.2  2.2
## 
## $c
## [1] 0.0 1.2 1.2
## 
## $d
## [1]  0.4  0.0 -0.4

Sebagai contoh untuk domain [0,1][0,1], persamaan spline kubiknya adalah −0,4x3+1,2x2+2,2x−1−0,4x3+1,2x2+2,2x−1. Jika persamaan-persamaan yang terbentuk tersebut divisualisasikan akan terlihat seperti pada Gambar 8.4.

Interpolasi spline kubik empat titik (Sumber:Howard, 2017).

Gambar 8.4: Interpolasi spline kubik empat titik (Sumber:Howard, 2017).

Pada R juga terdapat fungsi splinefun() untuk melakukan interpolasi spline. Format fungsi tersebut adalah sebagai berikut:

splinefun(x, y = NULL,
          method = c("fmm", "periodic", "natural", "monoH.FC", "hyman"),
          ties = mean)

Catatan:

• x,y : vektor titik yang akan dilakukan interpolasi

• method : spesifikasi jenis spline yang digunakan. Nilai yang mungkin antara lain: "fmm", "natural", "periodic", "monoH.FC" dan "hyman".

• ties : metode untuk menangani nilai imbang pada titik yang akan diinterpolasi.

Untuk melakukan interpolasi spline kubik, metode yang digunakan adalah "natural". Berikut adalah contoh interpolasi menggunakan kembali data pada Contoh 8.5:

spline <- splinefun(x, y, method="natural")

# uji dengan nilai x yang sama
spline(x)

## [1] -1 -2 -1  2

FUngsi splinefun() menghasilkan nilai yang sama persis dengan proses interpolasi yang telah kita lakukan.

———————– REFERENSI ———————–

https://bookdown.org/moh_rosidi2610/Metode_Numerik/interpolation.html\#pwinter https://rpubs.com/aephidayatuloh/eksplorasidata1