1 .Ejercicio 25

Libro: Análisis y Diseño de Experimentos-Gutierrez Pulido- Román de la Vara Salazar.

Uno de los problema en un proceso de inyección de piezas de plástico es el encogimiento. Se corre un experimento con arreglo interno y externo con el doble objetivo de minimizar el problema y lograr robustez en el proceso. Los factores de control son tiempo de ciclo (A), temperatura del molde (B), grosor de la cavidad (C), presión (D), velocidad de inyección (E), tiempo (F), y cantidad de gas (G). Los factores de ruido son % de triturado (M), contenido de humedad (N) y temperatura ambiental (O).(Pulido, De la Vara Salazar, González, Martı́nez, & Pérez, 2012) El diseño empleado y los datos del procentaje de encogimiento se muestran en la siguiente tabla:

Extracto del libro:Análisis y Diseño de Experimentos

  1. Especifique el diseño que se empleó.
  2. Analice la razón señal/ruido del tipo mientras más pequeña mejor.
  3. Dibuje los efectos y obtenga las condiciones de operación más robustas.
  4. Analice la razón señal/ruido \(10log(S^2)\) Compare los resultados con los incisos previos.
  5. ¿Cuál de las dos señales/ruido hace un mejor trabajo en este caso? Argumente.
  6. Haga el análisis para la media. Obtenga el mejor ANOVA, interprete los efectos y determine el mejor tratamiento para la media.
  7. Determine las mejores condiciones de operación del proceso considerando la señal/ruido del inciso d) y la media.
library(printr)
datos=read.table(file="dataset.txt",header = TRUE)
head(datos,n=9L)
A B C D E F G R1 R2 R3 R4
-1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 2.3 2.0 2.2 2.4
-1 -1 -1 1 1 1 1 2.4 0.4 2.8 0.2
-1 1 1 -1 -1 1 1 0.4 3.2 0.5 2.7
-1 1 1 1 1 -1 -1 2.1 1.8 1.7 2.1
1 -1 1 -1 1 -1 1 3.1 3.0 2.9 3.1
1 -1 1 1 -1 1 -1 2.0 4.3 1.1 3.0
1 1 -1 -1 1 1 -1 3.9 2.0 4.7 2.1
1 1 -1 1 -1 -1 1 2.1 1.8 1.8 1.9

1.1 .Inciso a.

Especifique el diseño que se empleó.
De acuerdo al ejercicio presentado, era conveniente implementar un diseño Taguchi debido a que se probaron todas las combinaciones de ruido para cada combinación de control presentada, obteniendo un arreglo ortogonal L8 para el caso del arreglo interno, en cambio para el caso del arreglo externo se obtuvo L4, dando como resultado un diseño resultante de 32 corridas.

1.2 .Inciso b.

Analice la razón señal/ruido del tipo mientras más pequeña mejor.

Una vez obtenidos y representados los datos, se procede a la implementación mediante los siguientes comandos, mediante los cuales se determinan los estadísticos necesarios, como lo son la razón señal ruido (S/N), misma que para el caso de estudio en este inciso, se determinó utilizar el estadístico correspondiente a mientras más pequeña mejor, por cada combinación del factor de control:

info=as.matrix(datos[1:8,8:11])
signal_noise=function(matriz)
{
  sn=rep(NA,nrow(matriz))
  for (i in 1:nrow(matriz))
  {
    sn[i]=-10*log((sum(matriz[i,]^2)),base = 10)
  }
  sn[]
}
r_signal_noise=signal_noise(matriz=info)
head(r_signal_noise, n=8L)
## [1] -12.98635 -11.39879 -12.53822 -11.74641 -15.63837 -15.14548 -16.60011
## [8] -11.61368

El vector resultante corresponde a cada una de las respuestas que se utilizan en la Optimización de Dos Pasos, por lo cual, la siguiente fase de la corrida experimental es determinar los efectos activos que influyen sobre las diferentes respuestas.

1.3 .Inciso c. 

Dibuje los efectos y obtenga las condiciones de operación más robustas.

library(FrF2)
experimento=FrF2(nruns = 8, nfactors = 7, factor.names = list(A=c(-1,1),B=c(-1,1),C=c(-1,1),D=c(-1,1),E=c(-1,1),F=c(-1,1),G=c(-1,1)), replications = 1)
experimento_resp=add.response(experimento, response = r_signal_noise)
graf_daniel=DanielPlot(experimento_resp, main="Gráfico de Daniel para el estadístico S/R")

Después de analizar la gráfica se concluyo que ninguno de los factores resulto ser activo y por tanto, se prosigue a realizar las gráficas de efectos individuales para su análisis así como la gráfica de interacciones con el objetivo de analizar de una forma mas adecuada los efectos de forma individual.

Gráfica de efectos principales

efectos_principales=MEPlot(experimento_resp, main="Efectos principales para el experimento")

head(efectos_principales)
A B C D E F G
- -12.83975 -12.94248 -12.88417 -14.20963 -14.04387 -12.13426 -13.46777
+ -14.07710 -13.97437 -14.03268 -12.70723 -12.87298 -14.78259 -13.44908

Los datos obtenidos señalan con respecto a los efectos principales de forma individual que algunos de los factores muestran significancia, los cuales se observan en el caso de los factores B,D y F por lo cual, son de importancia para el problema y debe continuar la metodología con la realización de gráficas de interacciones para su posterior análisis.

Gráfica de interacciones

efectos_interaccion=IAPlot(experimento_resp, main="Gráfica de interacciones para el experimento")

head(efectos_interaccion)
A:B A:C A:D A:E A:F A:G B:C B:D B:E B:F B:G C:D C:E C:F C:G D:E D:F D:G E:F E:G F:G
-:- -11.57260 -11.68005 -14.10690 -13.99945 -11.50624 -14.17326 -13.69239 -14.31236 -13.51858 -12.19257 -12.36638 -13.62602 -14.08830 -12.07595 -12.14232 -16.11924 -12.30001 -14.79323 -11.96851 -14.56917 -12.76229
+:- -14.31236 -14.08830 -14.31236 -14.08830 -12.76229 -12.76229 -12.07595 -14.10690 -14.56917 -12.07595 -14.56917 -14.79323 -13.99945 -12.19257 -14.79323 -11.96851 -11.96851 -12.14232 -12.30001 -12.36638 -14.17326
-:+ -14.10690 -13.99945 -11.57260 -11.68005 -14.17326 -11.50624 -12.19257 -11.57260 -12.36638 -13.69239 -13.51858 -12.14232 -11.68005 -13.69239 -13.62602 -12.30001 -16.11924 -13.62602 -16.11924 -13.51858 -11.50624
+:+ -13.84185 -14.06591 -13.84185 -14.06591 -15.39192 -15.39192 -15.87279 -13.84185 -13.37958 -15.87279 -13.37958 -13.27213 -14.06591 -15.87279 -13.27213 -13.44594 -13.44594 -13.27213 -13.44594 -13.37958 -15.39192

Ahora se realiza el anova del modelo para analizar los factores.

modelo_sr=lm(r_signal_noise~(A+B+C+D+E+F+G),data=datos)
anova_individuales=aov(modelo_sr)
summary(anova_individuales)
##             Df Sum Sq Mean Sq
## A            1 13.333  13.333
## B            1  0.891   0.891
## C            1  0.762   0.762
## D            1  7.720   7.720
## E            1  1.201   1.201
## F            1  1.709   1.709
## G            1  3.497   3.497

De acuerdo con los datos obtenidos de la anterior tabla, se llega a la conclusion que los factores individuales no presentan un efecto significativo en el caso de la variable de respuesta razon señal ruido, con un nivel de confianza del 95%. De acuerdo a lo anterior mencionado no se puede considerar la aplicación del principio de herencia para la verificación de algunas interacciones.

1.4 .Inciso d. 

Analice la razón señal/ruido \(10log(S^2)\) Compare los resultados con los incisos previos.

Se determinó utilizar el estadístico correspondiente a el valor nominal tipo II, la media y la desviación estándar, por cada combinación del factor de control:

info=as.matrix(datos[1:8,8:11])
signal_noise2=function(matriz)
{
  sn=rep(NA,nrow(matriz))
  for (i in 1:nrow(matriz)) 
  {
    sn[i]=-10*log((var(matriz[i,])),base = 10)
  }
  sn[]
}
r_signal_noise2=signal_noise(matriz=info)
head(r_signal_noise2, n=8L)
## [1] -12.98635 -11.39879 -12.53822 -11.74641 -15.63837 -15.14548 -16.60011
## [8] -11.61368
media=function(matriz)
{
  prom=rep(NA,nrow(matriz))
  for(i in 1:nrow(matriz))
  {
    prom[i]=mean(matriz[i,])
  }
  prom[]
}
r_media=media(matriz = info)
head(r_media, n=8L)
## [1] 2.225 1.450 1.700 1.925 3.025 2.600 3.175 1.900
varianza=function(matriz)
{
  v=rep(NA,nrow(matriz))
  for(i in 1:nrow(matriz))
  {
    v[i]=var(matriz[i,])
  }
  v[]
}
r_varianza=varianza(matriz = info)
r_desv_est=sqrt(varianza(matriz = info))
head(r_desv_est, n=8L)
## [1] 0.17078251 1.34039795 1.45830952 0.20615528 0.09574271 1.37355985 1.34008706
## [8] 0.14142136

Los vectores resultantes corresponden a cada una de las respuestas que se utilizan en la Optimización de Dos Pasos, por lo cual, la siguiente fase de la corrida experimental es determinar los efectos activos que influyen sobre las diferentes respuesta.

Calculo de efectos activos para cada respuesta
Respuesta razón S/N
En este caso determinaremos los efectos activos de la misma forma en que se determinan para un experimento factorial completo o factorial fraccionado, de la siguiente manera, para la respuesta del estadístico razón señal ruido:

library(FrF2)
experimento2=FrF2(nruns = 8, nfactors = 7, factor.names = list(A=c(-1,1),B=c(-1,1),C=c(-1,1),D=c(-1,1),E=c(-1,1),F=c(-1,1),G=c(-1,1)), replications = 1)
experimento_resp2=add.response(experimento2, response = r_signal_noise2)
graf_daniel2=DanielPlot(experimento_resp2, main="Gráfico de Daniel para el estadístico S/R")

En la grafica se puede observar que ningún factor resulto ser significativo y por tanto, se debe continuar con el análisis de la metodología y cerciorarse de los datos.

efectos_principales2=MEPlot(experimento_resp2, main="Efectos princiapes para el experimento")

head(efectos_principales2)
A B C D E F G
- -12.94248 -11.82428 -13.38087 -13.19416 -14.13078 -13.23664 -13.81274
+ -13.97437 -15.09258 -13.53598 -13.72270 -12.78607 -13.68022 -13.10412

El análisis revelo que los efectos principales individuales con mayor importancia son A, D, B y G. Sin embargo, en el grafico de Daniel los resultados no fueron relevantes.

efectos_interaccion2=IAPlot(experimento_resp2, main="Gráfica de interacciones para el experimento")

head(efectos_interaccion2)
A:B A:C A:D A:E A:F A:G B:C B:D B:E B:F B:G C:D C:E C:F C:G D:E D:F D:G E:F E:G F:G
-:- -11.57260 -12.19257 -14.31236 -13.69239 -12.36638 -13.51858 -11.96851 -12.07595 -12.14232 -11.68005 -11.50624 -12.76229 -14.56917 -14.79323 -13.99945 -14.08830 -12.30001 -13.62602 -14.17326 -16.11924 -14.10690
+:- -12.07595 -14.56917 -12.07595 -14.56917 -14.10690 -14.10690 -14.79323 -14.31236 -16.11924 -14.79323 -16.11924 -13.62602 -13.69239 -11.68005 -13.62602 -14.17326 -14.17326 -13.99945 -12.30001 -11.50624 -13.51858
-:+ -14.31236 -13.69239 -11.57260 -12.19257 -13.51858 -12.36638 -11.68005 -11.57260 -11.50624 -11.96851 -12.14232 -13.99945 -12.19257 -11.96851 -12.76229 -12.30001 -14.08830 -12.76229 -14.08830 -12.14232 -12.36638
+:+ -15.87279 -13.37958 -15.87279 -13.37958 -13.84185 -13.84185 -15.39192 -15.87279 -14.06591 -15.39192 -14.06591 -13.44594 -13.37958 -15.39192 -13.44594 -13.27213 -13.27213 -13.44594 -13.27213 -14.06591 -13.84185

A continuación se realiza nuevamente el anova del modelo ahora con la consideración de la señal ruido de la característica de tipo nominal II.

modelo_sr2=lm(r_signal_noise2~(A+B+C+D+E+F+G),data=datos)
anova_individuales2=aov(modelo_sr2)
summary(anova_individuales2)
##             Df Sum Sq Mean Sq
## A            1 13.333  13.333
## B            1  0.891   0.891
## C            1  0.762   0.762
## D            1  7.720   7.720
## E            1  1.201   1.201
## F            1  1.709   1.709
## G            1  3.497   3.497

Una vez analizado los resultados, se concluye que los factores individuales no presentan un efecto significativo en las variables de respuesta razón señal ruido, con un 95% de nivel de confianza.

1.5 .Inciso e.

¿Cuál de las dos señales/ruido hace un mejor trabajo en este caso? Argumente.
Después de analizar los resultados obtenidos, ninguno de los diseños presentan interacciones por parte de los factores que resulten significativas, debido a que no se obtiene información certera de las gráficas mostradas y el ANOVA no presentó significancia para ninguno de los diseños. Con lo anterior mencionado se puede decir que el diseño de la característica nominal tipo II muestra una mayor cantidad de factores como significativos pero el que se adapta mejor a la situación es el diseño de la característica entre más pequeño mejor y el de tipo nominal II podría estar considerando otros aspectos por lo cual se considera al diseño de entre más pequeño mejor para el ejercicio.

1.6 .Inciso f. 

Haga el análisis para la media. Obtenga el mejor ANOVA, interprete los efectos y determine el mejor tratamiento para la media.

Para el caso de la variable de respuesta promedio, ésta se utilizará para llevar al proceso a su valor esperado. Se eligirán los efecto activos que lleven al proceso a las condiciones, no robustas, que más se acerquen al valor esperado del proceso:

experimento_media=add.response(experimento,response = r_media)
graf_daniel_media=DanielPlot(experimento_media, main="Grafico de Daniel para la respueta media del proceso")

De acuerdo a la grafica, se puede observar que el factor G resulta significativa para el proceso en términos de la media, y con la finalidad de comprobar dicho dato se prosigue a realizar las gráficas de efectos principales y de interacciones:

graf_efectos_individuales_media=MEPlot(experimento_media, main="Grafica de efectos principales para el valor nominal esperado")

head(graf_efectos_individuales_media)
A B C D E F G
- 2.1125 2.15625 2.1375 2.58125 2.3375 1.81875 2.25625
+ 2.3875 2.34375 2.3625 1.91875 2.1625 2.68125 2.24375

Después de analizar los datos, se confirma que en en términos de la media resulta de importancia el factor G (la cantidad de gas), y por tanto, se procede a realizar la gráfica de interacciones para analizar si afecta en la interacción con alguno de los otros factores.

interac_media=IAPlot(experimento_media,main="Grafica de interacciones para el valor nominal esperado")

head(interac_media)
A:B A:C A:D A:E A:F A:G B:C B:D B:E B:F B:G C:D C:E C:F C:G D:E D:F D:G E:F E:G F:G
-:- 1.6875 1.9125 2.5375 2.3125 1.6750 2.5500 2.4750 2.6250 2.2375 1.8375 2.0750 2.4625 2.3625 1.8000 1.8125 3.1000 2.0625 2.7000 1.5750 2.4375 1.9625
+:- 2.6250 2.3625 2.6250 2.3625 1.9625 1.9625 1.8000 2.5375 2.4375 1.8000 2.4375 2.7000 2.3125 1.8375 2.7000 1.5750 1.5750 1.8125 2.0625 2.0750 2.5500
-:+ 2.5375 2.3125 1.6875 1.9125 2.5500 1.6750 1.8375 1.6875 2.0750 2.4750 2.2375 1.8125 1.9125 2.4750 2.4625 2.0625 3.1000 2.4625 3.1000 2.2375 1.6750
+:+ 2.1500 2.4125 2.1500 2.4125 2.8125 2.8125 2.8875 2.1500 2.2500 2.8875 2.2500 2.0250 2.4125 2.8875 2.0250 2.2625 2.2625 2.0250 2.2625 2.2500 2.8125

De acuerdo a los resultados, BC, BF, CF y FG son las interacciones que se pueden considerar como activas o posibles activas. Por lo cual se verificará su significancia con el mejor ANOVA:

modelo_BC=lm(r_media~(B*C),data= datos)
anova_BC=aov(modelo_BC)
summary(anova_BC)
##             Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)  
## B            1 0.0450  0.0450   0.146 0.7214  
## C            1 0.0313  0.0313   0.102 0.7657  
## B:C          1 1.4450  1.4450   4.704 0.0959 .
## Residuals    4 1.2287  0.3072                 
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
modelo_BF=lm(r_media~(B*F),data= datos)
anova_BF=aov(modelo_BF)
summary(anova_BF)
##             Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
## B            1 0.0450  0.0450   0.087  0.783
## F            1 0.0028  0.0028   0.005  0.945
## B:F          1 0.6328  0.6328   1.223  0.331
## Residuals    4 2.0694  0.5173
modelo_CF=lm(r_media~(C*F),data= datos)
anova_CF=aov(modelo_CF)
summary(anova_CF)
##             Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
## C            1 0.0313  0.0313   0.049  0.836
## F            1 0.0028  0.0028   0.004  0.950
## C:F          1 0.1653  0.1653   0.259  0.637
## Residuals    4 2.5506  0.6377
modelo_FG=lm(r_media~(F*G),data= datos)
anova_FG=aov(modelo_FG)
summary(anova_FG)
##             Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)  
## F            1 0.0028  0.0028   0.013 0.9152  
## G            1 0.4278  0.4278   1.957 0.2344  
## F:G          1 1.4450  1.4450   6.610 0.0619 .
## Residuals    4 0.8744  0.2186                 
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Después de analizar las posibles interacciones de actividad de los factores de importancia, se concluye que efectivamente son significativas. Sin embargo, presentan un nivel bajo las interacciones de los factores BC y FG. Dichas interacciones se pueden deberse a la importancia de los factores por separado y se deben considerar en la forma de interacción.

1.7 .Inciso g.

Determine las mejores condiciones de operación del proceso considerando la señal/ruido del inciso d) y la media.

En conclusión, los datos muestrales brindan evidencia de que F corresponde a el tiempo de ciclo tiene efectos significativos sobre el valor de la media, con un nivel de confianza del 95%. Por lo tanto se recomienda utilizar un nivel alto en F, por otra parte, con la razón señal ruido se concluye que ninguno de los factores considerados en el análisis es suficientemente influyente para maximizar la razón señal ruido para hacer insensible el proceso al efecto del factor de ruido, con un valor de confianza del 95%.

Bibliografía

Pulido, H. G., De la Vara Salazar, R., González, P. G., Martı́nez, C. T., & Pérez, M. del C. T. (2012). Análisis y diseño de experimentos. McGraw-Hill New York, NY, USA: