1 EJERCICIO 24.

Ejercicio 24 de la página 282 del libro Análisis y Diseño de Experimentos de Humberto Gutiérrez Pulido y Román de la Vara.(Pulido & Vara Salazar, 2012)

En una empresa que elabora harinas preparadas para pasteles se quiere introducir una nueva mezcla en el mercado. Interesa diseñar la mezcla de tal manera que sea robusta al hecho de que el cliente no se apegue del todo a las instrucciones en la caja. En particular, preocupan las variables de ruido, temperatura (T ) y tiempo de horneado (t). Los factores de diseño son la cantidad de harina (H), de azúcar (A) y de huevo (E ). La variable de respuesta es una evaluación subjetiva de los pasteles mediante un panel de jueces usando una escala hedónica de uno a siete. El diseño robusto empleado y los resultados obtenidos se muestran en la siguiente tabla.

  1. Especifique el diseño que se empleó.
  2. Complete la tabla considerando que la variable es del tipo mientras más grande mejor.
  3. Analice las señales/ruido de Taguchi y –10log(S2). Comente las diferencias observadas entre los dos análisis.
  4. ¿Hay algún efecto significativo en los ANOVA?
  5. Realice el análisis de la media.
  6. Determine la mejor formulación de la harina preparada para pasteles considerando la media y las señales/ruido.

1.1 Solución

a) Especifique el diseño que se empleó.

Factores de diseño: -Harina (H) -Azúcar (A) -Huevo (E)

Variables de ruido: -Temperatura (T) -tiempo de horneado (t)

Variable de respuesta: Escala hedónica de 1 a 7

library(printr)
## Warning: package 'printr' was built under R version 4.0.5
datos=read.table("dataset.txt",header = TRUE)
str(datos)
## 'data.frame':    9 obs. of  8 variables:
##  $ H : int  0 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1
##  $ A : int  0 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1
##  $ E : int  0 -1 -1 -1 -1 1 1 1 1
##  $ X1: num  6.7 3.1 3.2 5.3 4.1 5.9 6.9 3 4.5
##  $ X2: num  3.4 1.1 3.8 3.7 4.5 4.2 5 3.1 3.9
##  $ X3: num  5.4 5.7 4.9 5.1 6.4 6.8 6 6.3 5.5
##  $ X4: num  4.1 6.4 4.3 6.7 5.8 6.5 5.9 6.4 5
##  $ X5: num  3.8 1.3 2.1 2.9 5.2 3.5 5.7 3 5.4
View(datos)
head(datos,n=9L)
H A E X1 X2 X3 X4 X5
0 0 0 6.7 3.4 5.4 4.1 3.8
-1 -1 -1 3.1 1.1 5.7 6.4 1.3
1 -1 -1 3.2 3.8 4.9 4.3 2.1
-1 1 -1 5.3 3.7 5.1 6.7 2.9
1 1 -1 4.1 4.5 6.4 5.8 5.2
-1 -1 1 5.9 4.2 6.8 6.5 3.5
1 -1 1 6.9 5.0 6.0 5.9 5.7
-1 1 1 3.0 3.1 6.3 6.4 3.0
1 1 1 4.5 3.9 5.5 5.0 5.4

b) Complete la tabla considerando que la variable es del tipo mientras más grande mejor.

info=as.matrix(datos[2:9,4:8])
media=function(matriz)
{
  prom=rep(NA,nrow(matriz))
  for(i in 1:nrow(matriz))
  {
    prom[i]=mean(matriz[i,])
  }
  prom[]
}
r_media=media(matriz = info)
head(r_media,n=9L)
## [1] 3.52 3.66 4.74 5.20 5.38 5.90 4.36 4.86

Respecto al diseño experimental y la formulación bajo la carateristica de que mientras mas grande es mejor, se obtiene que en la mezcla 7 se encuentra el valor mayor que reacciona con un aspecto positivo dando un resultado de 8.288944.

varianza=function(matriz)
{
  v=rep(NA,nrow(matriz))
  for(i in 1:nrow(matriz))
  {
    v[i]=var(matriz[i,])
  }
  v[]
}
r_varianza=varianza(matriz = info)
r_desv_est=sqrt(varianza(matriz = info))
head(r_desv_est,n=9L)
## [1] 2.4498980 1.0737784 1.4791890 0.9354143 1.4549914 0.6819091 1.8174157
## [8] 0.6655825

Respecto a la información obtenida y la formulación bajo la característica media, se muestra que en la mezcla 7 medida se encuentra un valor de respuesta con aspecto elevado y positivo, el cual tiene un resultado de 5.90.

signal_noise_gm=function(matriz)
{
  sn=rep(NA,nrow(matriz))
  for (i in 1:nrow(matriz))
  {
    sn[i]=-10*log((sum(1/matriz[i,]^2)),base = 10)
  }
  sn[]
}
r_signal_noise_gm=signal_noise_gm(matriz=info)
head(r_signal_noise_gm,n=9L)
## [1] -1.979455  3.103375  5.401925  6.989832  6.729594  8.288944  4.249394
## [8]  6.527084

Respecto a la información experimental y la ecuación bajo la propiedad de varianza, la segunda mezcla que se esta midiendo, se encuentra el valor para un resultado positivo y elevado de 2.4498980.

c) Analice las señales/ruido de Taguchi y –10log(S2). Comente las diferencias observadas entre los dos análisis.

signal_noise=function(matriz)
{
  sn=rep(NA,nrow(matriz))
  for (i in 1:nrow(matriz)) 
  {
    sn[i]=-10*log((var(matriz[i,])),base = 10)
  }
  sn[]
}
r_signal_noise=signal_noise(matriz=info)
head(r_signal_noise,n=9L)
## [1] -7.7829599 -0.6182931 -3.4004732  0.5799195 -3.2572086  3.3254705 -5.1890857
## [8]  3.5359627

Los resultados que se tiene es la comparación de la señal/ruido y la de –10log(S2), se puede observar el cambio del resultado que se había obtenido en la mezcla 7 ya no es el valor mas arcetado con la comparación del metodo realizado anteriormente ya que en este esta ivolucrada la mezcla numero 9, por lo tanto coincide en que ambos valores se tomen como referencia.

d) ¿Hay algún efecto significativo en los ANOVA?

modelo_sr=lm(r_signal_noise_gm~(datos[2:9,1]+datos[2:9,2]+datos[2:9,3]),data=datos)
anova_individuales=aov(modelo_sr)
summary(anova_individuales)
##               Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
## datos[2:9, 1]  1  13.80  13.802   1.612  0.273
## datos[2:9, 2]  1   6.17   6.170   0.720  0.444
## datos[2:9, 3]  1  18.85  18.848   2.201  0.212
## Residuals      4  34.26   8.564

Los resultados finales que se obtuvieron de la tabla ANOVA se puede concluir con un nivel de confianza del 95% que los factores individuales no tienen un efecto significativo en la variable de respuesta razón señal ruido, esto puede observarse claramente en el gráfico de Daniel para el estadístico S/R.

library(FrF2)
## Warning: package 'FrF2' was built under R version 4.0.5
experimento=FrF2(nruns = 8, nfactors = 3, factor.names = list(H=c(-1,1),A=c(-1,1),E=c(-1,1)),replications = 1,randomize = FALSE)
experimento_resp=add.response(design = experimento,response = r_signal_noise_gm)
graf_daniel=DanielPlot(experimento_resp, main="Gráfico Daniel para el estadístico S/R")

efectos_principales=MEPlot(experimento_resp, main="Efectos principales para el experimento")

head(efectos_principales)
H A E
- 3.600364 4.035615 3.378919
+ 6.227309 5.792059 6.448754 
efectos_interaccion=IAPlot(experimento_resp, main="Gráfica de interacciones para el experimento")

head(efectos_interaccion)
H:A H:E A:E
-:- 2.375069 1.711235 0.5619602
+:- 5.696160 5.046603 6.1958781
-:+ 4.825660 5.489494 7.5092691
+:+ 6.758458 7.408014 5.3882390

Una vez realizado y obteniendo el analisis de varianza y los demás graficos se puede concluir que los datos individuales no tienen un comportamiento de efecto significativo pero cuando tienen una interacción se puede observar que uno de ellos cuenta con un grado de significancia lo cual el unico que se observa es el azucar que es mostrado en la grafica de interacciones para el experimento al igual que tambien puede tener interaccion con la parte del huevo.

modelo_sr_inter=lm(r_signal_noise_gm~(datos[2:9,2]*datos[2:9,3]),data=datos)
anova_int_ce=aov(modelo_sr_inter)
summary(anova_int_ce)
##                             Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)  
## datos[2:9, 2]                1   6.17   6.170   1.372  0.306  
## datos[2:9, 3]                1  18.85  18.848   4.191  0.110  
## datos[2:9, 2]:datos[2:9, 3]  1  30.07  30.070   6.687  0.061 .
## Residuals                    4  17.99   4.497                 
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Tomando como base los resultados obtenidos anteriormente del análisis estadístico se comprueba que no hubo interacciones significativas entre los factores para maximizar el valor del estadístico señal/ruido, en consecuencia se conluye que no existe suficiente evidencia en la muestra que pueda permitir el establecimiento de las condiciones robustas para el proceso.

e) Realice el análisis de la media.

experimento_media=add.response(experimento,response = r_media)
graf_daniel_media=DanielPlot(experimento_media, main="Grafico de Daniel para la respueta media del proceso")

Del grafico obtenido anteriormente analizandolo se puede llegar a la conclusión que las interacciones activas para el proceso en términos de la media es A:E, y para que se compruebe su significancia, se lleva acabo la realización del Grafico de Efectos Principales y de Interacciones:

graf_efectos_individuales_media=MEPlot(experimento_media, main="Grafico de efectos principales para el valor nominal esperado")

head(graf_efectos_individuales_media)
H A E
- 4.500 4.615 4.280
+ 4.905 4.790 5.125 
interac_media=IAPlot(experimento_media,main="Grafico de interacciones para el valor nominal esperado")

head(interac_media)
H:A H:E A:E
-:- 4.45 4.13 3.59
+:- 4.78 4.43 4.97
-:+ 4.55 4.87 5.64
+:+ 5.03 5.38 4.61 
modelo_AE=lm(r_media~(datos[2:9,2]*datos[2:9,3]),data=datos)
anova_AE=aov(modelo_AE)
summary(anova_AE)
##                             Df Sum Sq Mean Sq F value  Pr(>F)   
## datos[2:9, 2]                1 0.0613  0.0613   0.652 0.46469   
## datos[2:9, 3]                1 1.4281  1.4281  15.200 0.01756 * 
## datos[2:9, 2]:datos[2:9, 3]  1 2.9041  2.9041  30.911 0.00512 **
## Residuals                    4 0.3758  0.0940                   
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

En base a la tabla ANOVA realizada se puede concluir con un nivel de confianza del 95% que el factor E, que correspondiente al huevo (E), respectivamente, tiene un efecto significativo sobre el valor de la media, por lo que se recomienda usar los niveles máximos permitidos para este factor. Al igual que la interacción A:E.

f) Determine la mejor formulación de la harina preparada para pasteles considerando la media y las señales/ruido.

En base a los datos obtenidos con anterioridad de la media y la razón señal/ruidos que se obtuvieron en el inciso b, se puede decir que el reglón a seleccionar de la tabla de datos para la formulación de la mezcla es el reglón 7, quedando de la siguiente manera a la nueva mezcla se le puede agregar el máximo de harina (H) permitido, el minimo de azúcar (A) y el máximo de huevo (E) permitidos y así cumplir con los requerimientos en la pretaración de la mezcla, asegurandose de esta foma que el cliente no se apegue del todo a las instrucciones de la caja.

Bibliografia

Pulido, H. G., & Vara Salazar, R. de la. (2012). Analisis y diseño de Experimentos (3.ª ed.). McGraw Hill.