1 Ejercicio 24

Ejercicio 24 de la página 282 del libro Análisis y Diseño de Experimentos de Humberto Gutiérrez Pulido y Román de la Vara.(Pulido & Vara Salazar, 2012)

En una empresa que elabora harinas preparadas para pasteles se quiere introducir una nueva mezcla en el mercado. Interesa diseñar la mezcla de tal manera que sea robusta al hecho de que el cliente no se apegue del todo a las instrucciones en la caja. En particular, preocupan las variables de ruido, temperatura (T ) y tiempo de horneado (t). Los factores de diseño son la cantidad de harina (H), de azúcar (A) y de huevo (E ). La variable de respuesta es una evaluación subjetiva de los pasteles mediante un panel de jueces usando una escala hedónica de uno a siete. El diseño robusto empleado y los resultados obtenidos se muestran en la siguiente tabla.

Datos

  1. Especifique el diseño que se empleó.
  2. Complete la tabla considerando que la variable es del tipo mientras más grande mejor.
  3. Analice las señales/ruido de Taguchi y –10log(S2). Comente las diferencias observadas entre los dos análisis.
  4. ¿Hay algún efecto significativo en los ANOVA?
  5. Realice el análisis de la media.
  6. Determine la mejor formulación de la harina preparada para pasteles considerando la media y las señales/ruido.

1.1 Solución

a) Especifique el diseño que se empleó.
La condición fundamental para que un diseño sea de tipo robusto es que exista al menos un factor de ruido para el cual se busca hacer que el producto sea insensible a su efecto, sin pretender controlar dicho factor de ruido. Éste seguirá actuando como siempre en el proceso después del experimento, pero se busca que sus efectos sean menores. Un diseño experimental propuesto por Taguchi para determinar con diciones de operación robustas a uno o varios factores de ruido es el diseño con arreglo interno y externo. Una vez identificados los factores de control (que son en este caso las variables de diseño) y los factores de ruido (que son las variables ambientales)con los que se quiere experimentar, se construyen dos arreglos ortogonales, uno para cada tipo de factores como se muestra en lo siguiente.

Variables de ruido: -Tiempo de horneado (t) -Temperatura (T)

Factores de diseño: -Huevo (E) -Harina (H) -Azúcar (A)

Variable de respuesta: Los jueces usando una escala hedónica de uno a siete

library(printr)
datos=read.table("dataset.txt",header = TRUE)
str(datos)
## 'data.frame':    9 obs. of  8 variables:
##  $ H : int  0 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1
##  $ A : int  0 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1
##  $ E : int  0 -1 -1 -1 -1 1 1 1 1
##  $ X1: num  6.7 3.1 3.2 5.3 4.1 5.9 6.9 3 4.5
##  $ X2: num  3.4 1.1 3.8 3.7 4.5 4.2 5 3.1 3.9
##  $ X3: num  5.4 5.7 4.9 5.1 6.4 6.8 6 6.3 5.5
##  $ X4: num  4.1 6.4 4.3 6.7 5.8 6.5 5.9 6.4 5
##  $ X5: num  3.8 1.3 2.1 2.9 5.2 3.5 5.7 3 5.4
View(datos)
head(datos,n=9L)
H A E X1 X2 X3 X4 X5
0 0 0 6.7 3.4 5.4 4.1 3.8
-1 -1 -1 3.1 1.1 5.7 6.4 1.3
1 -1 -1 3.2 3.8 4.9 4.3 2.1
-1 1 -1 5.3 3.7 5.1 6.7 2.9
1 1 -1 4.1 4.5 6.4 5.8 5.2
-1 -1 1 5.9 4.2 6.8 6.5 3.5
1 -1 1 6.9 5.0 6.0 5.9 5.7
-1 1 1 3.0 3.1 6.3 6.4 3.0
1 1 1 4.5 3.9 5.5 5.0 5.4

b) Complete la tabla considerando que la variable es del tipo mientras más grande mejor.

info=as.matrix(datos[2:9,4:8])
media=function(matriz)
{
  prom=rep(NA,nrow(matriz))
  for(i in 1:nrow(matriz))
  {
    prom[i]=mean(matriz[i,])
  }
  prom[]
}
r_media=media(matriz = info)
head(r_media,n=9L)
## [1] 3.52 3.66 4.74 5.20 5.38 5.90 4.36 4.86

Con los resultados obtenidos se puede decir que mientras mas grande mejor obtenemos la septima mezcla que se esta midiendo debido a que se encuentra el valor mayor y este reacciona con un aspecto positivo, da como resultado 8.288944.

varianza=function(matriz)
{
  v=rep(NA,nrow(matriz))
  for(i in 1:nrow(matriz))
  {
    v[i]=var(matriz[i,])
  }
  v[]
}
r_varianza=varianza(matriz = info)
r_desv_est=sqrt(varianza(matriz = info))
head(r_desv_est,n=9L)
## [1] 2.4498980 1.0737784 1.4791890 0.9354143 1.4549914 0.6819091 1.8174157
## [8] 0.6655825

Con los resultados obtenidos se puede decir que en la séptima mezcla se tiene un valor de respuesta elevado y positivo que da como resultado 5.90.

signal_noise_gm=function(matriz)
{
  sn=rep(NA,nrow(matriz))
  for (i in 1:nrow(matriz))
  {
    sn[i]=-10*log((sum(1/matriz[i,]^2)),base = 10)
  }
  sn[]
}
r_signal_noise_gm=signal_noise_gm(matriz=info)
head(r_signal_noise_gm,n=9L)
## [1] -1.979455  3.103375  5.401925  6.989832  6.729594  8.288944  4.249394
## [8]  6.527084

Con los resultados obtenidos de la ecuación bajo la propiedad de varianza en la segunda mezcla, el valor encontrado para un resultado elevado y positivo es 2.4498980.

c) Analice las señales/ruido de Taguchi y –10log(S2). Comente las diferencias observadas entre los dos análisis.

signal_noise=function(matriz)
{
  sn=rep(NA,nrow(matriz))
  for (i in 1:nrow(matriz)) 
  {
    sn[i]=-10*log((var(matriz[i,])),base = 10)
  }
  sn[]
}
r_signal_noise=signal_noise(matriz=info)
head(r_signal_noise,n=9L)
## [1] -7.7829599 -0.6182931 -3.4004732  0.5799195 -3.2572086  3.3254705 -5.1890857
## [8]  3.5359627

La comparación de la señales/ruido y la de –10log(S2) se puede decir que la mezcla siete ya no es el mejor valor con comparacion al metodo anterior debido a que involugra la mezcla nueve, se puede considerar tomar como referencia los dos valores.

d) ¿Hay algún efecto significativo en los ANOVA?

modelo_sr=lm(r_signal_noise_gm~(datos[2:9,1]+datos[2:9,2]+datos[2:9,3]),data=datos)
anova_individuales=aov(modelo_sr)
summary(anova_individuales)
##               Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
## datos[2:9, 1]  1  13.80  13.802   1.612  0.273
## datos[2:9, 2]  1   6.17   6.170   0.720  0.444
## datos[2:9, 3]  1  18.85  18.848   2.201  0.212
## Residuals      4  34.26   8.564

Con la tabla anova anterior, con un nivel de confianza de 95% se puede concluir que los factores individuales no tienen un efecto significativo en la variable de respuesta razón señal ruido, se puede observar en el gráfico de Daniel, estadístico S/R.

library(FrF2)
experimento=FrF2(nruns = 8, nfactors = 3, factor.names = list(H=c(-1,1),A=c(-1,1),E=c(-1,1)),replications = 1,randomize = FALSE)
experimento_resp=add.response(design = experimento,response = r_signal_noise_gm)
graf_daniel=DanielPlot(experimento_resp, main="Gráfico de Daniel para el estadístico S/R")

efectos_principales=MEPlot(experimento_resp, main="Efectos principales para el experimento")

head(efectos_principales)
H A E
- 3.600364 4.035615 3.378919
+ 6.227309 5.792059 6.448754 
efectos_interaccion=IAPlot(experimento_resp, main="Gráfica de interacciones para el experimento")

head(efectos_interaccion)
H:A H:E A:E
-:- 2.375069 1.711235 0.5619602
+:- 5.696160 5.046603 6.1958781
-:+ 4.825660 5.489494 7.5092691
+:+ 6.758458 7.408014 5.3882390

Analisis varianza la gráfica de interacciones para el experimento denota que los factores de los datos individuales no tinen un efecto significativo, al desarrollar la interección se muestra que al menos uno de los factores debe tener significancia, se puede ver en la grafica de iteraciones que el unico factor que tiene interacción es el del Azúcar, tambien se muestra que existe significancia para el efecto Huevo (E).

modelo_sr_inter=lm(r_signal_noise_gm~(datos[2:9,2]*datos[2:9,3]),data=datos)
anova_int_ce=aov(modelo_sr_inter)
summary(anova_int_ce)
##                             Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)  
## datos[2:9, 2]                1   6.17   6.170   1.372  0.306  
## datos[2:9, 3]                1  18.85  18.848   4.191  0.110  
## datos[2:9, 2]:datos[2:9, 3]  1  30.07  30.070   6.687  0.061 .
## Residuals                    4  17.99   4.497                 
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Con el análisis estadístico se confirma que no hay interacciones significativas para maximizar el valor del estadístico señal/ruido, por lo tanto, se puede concluir que no hay suficiente evidencia que permita el establecimiento de las condiciones robustas para el proceso.

e) Realice el análisis de la media.

experimento_media=add.response(experimento,response = r_media)
graf_daniel_media=DanielPlot(experimento_media, main="Grafico de Daniel para la respueta media del proceso")

Con la gráfica anterior, se concluye que la interaccione activa para el proceso en términos de la media es Azucar y Huevo (A/E). A continuacion se realizaran las gráficas de efectos principales y de interacciones:

graf_efectos_individuales_media=MEPlot(experimento_media, main="Grafica de efectos principales para el valor nominal esperado")

head(graf_efectos_individuales_media)
H A E
- 4.500 4.615 4.280
+ 4.905 4.790 5.125 
interac_media=IAPlot(experimento_media,main="Grafica de interacciones para el valor nominal esperado")

head(interac_media)
H:A H:E A:E
-:- 4.45 4.13 3.59
+:- 4.78 4.43 4.97
-:+ 4.55 4.87 5.64
+:+ 5.03 5.38 4.61 
modelo_AE=lm(r_media~(datos[2:9,2]*datos[2:9,3]),data=datos)
anova_AE=aov(modelo_AE)
summary(anova_AE)
##                             Df Sum Sq Mean Sq F value  Pr(>F)   
## datos[2:9, 2]                1 0.0613  0.0613   0.652 0.46469   
## datos[2:9, 3]                1 1.4281  1.4281  15.200 0.01756 * 
## datos[2:9, 2]:datos[2:9, 3]  1 2.9041  2.9041  30.911 0.00512 **
## Residuals                    4 0.3758  0.0940                   
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Con nivel de confianza del 95% el factor correspondiente al huevo tiene efectos significativos sobre la media, por lo tanto, es recomendable utilizar el nivel máximo de dicho factor y la iteracción Azúcar/Huevo.

f) Determine la mejor formulación de la harina preparada para pasteles considerando la media y las señales/ruido.
La mejor receta es la del 7 debido a los resultados obtenidos en la media y sena/ruido, esto porque las cantidades son más consideradas para la realización del pastel, en la harina tiene cantidad máxima y en la parte del azúcar es una cantidad mínima y máxima en el huevo, lo que dará como resultado un buen pastel.

Bibliografia

Pulido, H. G., & Vara Salazar, R. de la. (2012). Analisis y diseño de Experimentos (3a ed.). McGraw Hill.