Diseño robusto
Ing. Anahy Hernández Trinidad
4/11/2021
1 Diseño robusto
1.1 Ejercicio
24.- En una empresa que elabora harinas preparadas para pasteles se quiere introducir una nueva mezcla en el mercado. Interesa diseñar la mezcla de tal manera que sea robusta al hecho de que el cliente no se pegue del todo a las instrucciones en la caja. En particular, preocupan las variables de ruido temperatura (T) y tiempo de horneado (t). Los factores de diseño son la cantidad de harina (H), de azúcar (A) y de huevo (E). La variable de respuesta es una evaluación subjetiva de los pasteles mediante un panel de jueces usando una escala hedónica de uno a siete. El diseño robusto empleado y los resultados obtenidos se muestran en la siguiente tabla. (Pulido, De la Vara Salazar, González, Martı́nez, & Pérez, 2012)
Extracto del libro Análisis y Diseño de Experimentos-Humberto Gutierrez Pulido-Román de la Vara Salazar
a) Especifíque el diseño que se empleó.
b) Complete la tabla considerando que la variable es del tipo mientras más grande mejor.
c) Analice las señales/ruido de Taguchi y -10log(\(S^2\)). Comente las diferencias observadas entre los dos análisis.
d) ¿Hay algún efecto significativo en los ANOVA?
e) Realice el análisis de la media.
f) Determine la mejor formulación de la harina preparada para pasteles considerando la media y las señales/ruido.
1.2 Solución del ejercicio
Los datos del experimento se presentan en la siguiente tabla:
library(printr)
datos=read.table(file = "dataset.txt",header = TRUE)
head(datos,n=9L)| H | A | E | X1 | X2 | X3 | X4 | X5 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 6.7 | 3.4 | 5.4 | 4.1 | 3.8 |
| -1 | -1 | -1 | 3.1 | 1.1 | 5.7 | 6.4 | 1.3 |
| 1 | -1 | -1 | 3.2 | 3.8 | 4.9 | 4.3 | 2.1 |
| -1 | 1 | -1 | 5.3 | 3.7 | 5.1 | 6.7 | 2.9 |
| 1 | 1 | -1 | 4.1 | 4.5 | 6.4 | 5.8 | 5.2 |
| -1 | -1 | 1 | 5.9 | 4.2 | 6.8 | 6.5 | 3.5 |
| 1 | -1 | 1 | 6.9 | 5.0 | 6.0 | 5.9 | 5.7 |
| -1 | 1 | 1 | 3.0 | 3.1 | 6.3 | 6.4 | 3.0 |
| 1 | 1 | 1 | 4.5 | 3.9 | 5.5 | 5.0 | 5.4 |
View(datos)
str(datos)## 'data.frame': 9 obs. of 8 variables:
## $ H : int 0 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1
## $ A : int 0 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1
## $ E : int 0 -1 -1 -1 -1 1 1 1 1
## $ X1: num 6.7 3.1 3.2 5.3 4.1 5.9 6.9 3 4.5
## $ X2: num 3.4 1.1 3.8 3.7 4.5 4.2 5 3.1 3.9
## $ X3: num 5.4 5.7 4.9 5.1 6.4 6.8 6 6.3 5.5
## $ X4: num 4.1 6.4 4.3 6.7 5.8 6.5 5.9 6.4 5
## $ X5: num 3.8 1.3 2.1 2.9 5.2 3.5 5.7 3 5.4a) Especifíque el diseño que se empleó.
R: En el diseño que se empleó, existen condiciones fundamentales para que un diseño sea de tipo robusto, y una de ellas es que exista al menos un factor de ruido, por lo que principalmente se busca hacer que el proceso sea insensible a su efecto, sin querer controlar dicho factor de ruido. Y este continuará actuando como siempre en el proceso después del experimento, pero lo que siempre se buscará es que sus efectos sean menores. Por lo que un diseño experimental propuesto por Taguchi para determinar las condiciones de operación robustas a uno o varios factores de ruido es el diseño con arreglo interno y externo.
Entrando en este tipo de caso, que es el que se aplica a este ejercicio, dice que en el análsis del diseño con arreglo interno y externo Taguchi es el que hace una propuesta de estadístico de desempeño o robustez, el cual llama cociente o razón señal/ruido (signal to noise ratio), que se calcula en cada combinación de los factores controlables y analiza como cualquier variable de respuesta. Así mismo menciona que la combinación más robusta de los niveles de los factores controlables es aquella que maximiza el estadístico razón señal/ruido. Que dadas las caracteristicas del ejercicio, se utiliza en este caso el “valor nominal es mejor (tipo II)” y el “mientras más grande mejor”.
b) Complete la tabla considerando que la variable es del tipo mientras más grande mejor.
Una vez que se hayan identificado los datos, se procede a complementar la tabla mediante la siguiente secuencia de comandos, en la cual se determinan los estadísticos necesarios, como lo son la razón señal ruido (S/N), misma que para el caso de estudio, se determinó utilizar el estadístico correspondiente a el valor nominal tipo II, la media y la desviación estándar, por cada combinación del factor de control:
#-----------Cálculo para la media y desviación estándar----------#
#----------Media----------#
info=as.matrix(datos[2:9,4:8])
media=function(matriz)
{
prom=rep(NA,nrow(matriz))
for(i in 1:nrow(matriz))
{
prom[i]=mean(matriz[i,])
}
prom[]
}
r_media=media(matriz = info)
head(r_media,n=9L)## [1] 3.52 3.66 4.74 5.20 5.38 5.90 4.36 4.86#---------Varianza--------#
varianza=function(matriz)
{
v=rep(NA,nrow(matriz))
for(i in 1:nrow(matriz))
{
v[i]=var(matriz[i,])
}
v[]
}
r_varianza=varianza(matriz = info)
r_desv_est=sqrt(varianza(matriz = info))
head(r_desv_est,n=9L)## [1] 2.4498980 1.0737784 1.4791890 0.9354143 1.4549914 0.6819091 1.8174157
## [8] 0.6655825#----------Mientras más grande mejor----------#
signal_noise_gm=function(matriz)
{
sn=rep(NA,nrow(matriz))
for (i in 1:nrow(matriz))
{
sn[i]=-10*log((sum(1/matriz[i,]^2)),base = 10)
}
sn[]
}
r_signal_noise_gm=signal_noise_gm(matriz=info)
head(r_signal_noise_gm,n=9L)## [1] -1.979455 3.103375 5.401925 6.989832 6.729594 8.288944 4.249394
## [8] 6.527084R: En base a los resultados obtenidos por los comandos para sacar la media, desviación estándar y la relación señal/ruido, se puede observar que solo arroja 8 datos y esto debido a que se omiten los valores 0 de la primera fila. Por lo que la fila a tomar con más S/N es la númera 7 quedando con la harina (H) con una cantidad máxima, una cantidad mínima de azúcar (A) y una cantidad máxima de huevo (E).
La estructura es la siguiente:
| Renglón | Media | Desviación estándar | S/N |
|---|---|---|---|
| 1 | |||
| 2 | 3.52 | 2.4498980 | -1.979455 |
| 3 | 3.66 | 1.0737784 | 3.103375 |
| 4 | 4.74 | 1.4791890 | 5.401925 |
| 5 | 5.20 | 0.9354143 | 6.989832 |
| 6 | 5.38 | 1.4549914 | 6.729594 |
| 7 | 5.90 | 0.6819091 | 8.288944 |
| 8 | 4.36 | 1.8174157 | 4.249394 |
| 9 | 4.86 | 0.6655825 | 6.527084 |
c) Analice las señales/ruido de Taguchi y -10log(\(S^2\)). Comente las diferencias observadas entre los dos análisis.
#--------10log(S^2)--------#
signal_noise=function(matriz)
{
sn=rep(NA,nrow(matriz))
for (i in 1:nrow(matriz))
{
sn[i]=-10*log((var(matriz[i,])),base = 10)
}
sn[]
}
r_signal_noise=signal_noise(matriz=info)
head(r_signal_noise,n=9L)## [1] -7.7829599 -0.6182931 -3.4004732 0.5799195 -3.2572086 3.3254705 -5.1890857
## [8] 3.5359627R: Como se observa en cada uno de los estadísticos, existe una gran diferencia, ya que en el primero, el del inciso “b” la fórmula “más grande mejor” S/N = \(−10log(sum1/y^2)\) tiene como meta maximizar, y el tipo II S/N = \(−10log(S^2)\) no, por lo que se puede decir que en este primera S/N en el primer igrediente (harina) la cantidad para ambas son iguales en cuanto a las proporciones a agregar, en el segundo ingrediente ya no, debido a que se minimiza la cantidad de azúcar en la primera fórmula y en la segunda no, asi como la cantidad de huevo, en el primero se maximiza y en el segundo no. Por lo que los resultados de ambas fórmulas son son altas y vaiantes.
d) ¿Hay algún efecto significativo en los ANOVA?
modelo_sr=lm(r_signal_noise_gm~(datos[2:9,1]+datos[2:9,2]+datos[2:9,3]),data=datos)
anova_individuales=aov(modelo_sr)
summary(anova_individuales)## Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
## datos[2:9, 1] 1 13.80 13.802 1.612 0.273
## datos[2:9, 2] 1 6.17 6.170 0.720 0.444
## datos[2:9, 3] 1 18.85 18.848 2.201 0.212
## Residuals 4 34.26 8.564R: Con los resultados arrojados por la tabla ANOVA, y contando con un nivel del 95% de confianza, en la que se evaluan tres factores se puede decir que no tienen un efecto significativo con respecto a la variable de respuesta razón senal/ruido.
library(FrF2)
experimento=FrF2(nruns = 8, nfactors = 3, factor.names = list(H=c(-1,1),A=c(-1,1),E=c(-1,1)),replications = 1,randomize = FALSE)
experimento_resp=add.response(design = experimento,response = r_signal_noise_gm)
graf_daniel=DanielPlot(experimento_resp, main="Gráfico de Daniel para el estadístico S/R")
efectos_principales=MEPlot(experimento_resp, main="Efectos principales para el experimento")
head(efectos_principales)| H | A | E | |
|---|---|---|---|
| - | 3.600364 | 4.035615 | 3.378919 |
| + | 6.227309 | 5.792059 | 6.448754 |
efectos_interaccion=IAPlot(experimento_resp, main="Gráfica de interacciones para el experimento")
head(efectos_interaccion)| H:A | H:E | A:E | |
|---|---|---|---|
| -:- | 2.375069 | 1.711235 | 0.5619602 |
| +:- | 5.696160 | 5.046603 | 6.1958781 |
| -:+ | 4.825660 | 5.489494 | 7.5092691 |
| +:+ | 6.758458 | 7.408014 | 5.3882390 |
R: En la tabla de ANOVA en los factores a pesar de que no mostró efectos significativos en la variable de respuesta, hay un punto único en el que factor con un grado de significancia, el cuál es el factor azúcar (A), por lo que se analizó la interacción con el factor huevo (E), ya que en la gráfica de interacciones presenta una interacción aparentemente significativa ambos factores.
modelo_sr_inter=lm(r_signal_noise_gm~(datos[2:9,2]*datos[2:9,3]),data=datos)
anova_int_ce=aov(modelo_sr_inter)
summary(anova_int_ce)## Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
## datos[2:9, 2] 1 6.17 6.170 1.372 0.306
## datos[2:9, 3] 1 18.85 18.848 4.191 0.110
## datos[2:9, 2]:datos[2:9, 3] 1 30.07 30.070 6.687 0.061 .
## Residuals 4 17.99 4.497
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1R: El análisis estadístico que se realizó mediante la tabla ANOVA, este en efecto, confirma que no existen interacciones significativas entre los factores para que estos puedan maximizar el valor del estadístico señal/ruido, por lo que se concluye que no existe evidencia suficiente para que la muestra permita establecer las condiciones robustas de la operación del proceso.
e) Realice el análisis de la media.
experimento_media=add.response(experimento,response = r_media)
graf_daniel_media=DanielPlot(experimento_media, main="Gráfico de Daniel para la respueta media del proceso")
R: En base a la gráfica anterior, se puede decir que las interacciones activas, o en este caso la interacción activa para el proceso en términos de la media es el A:E, y para establecer su significancia se realizan las gráficas de efectos principales y de interacciones.
graf_efectos_individuales_media=MEPlot(experimento_media, main="Gráfica de efectos principales para el valor nominal esperado")
head(graf_efectos_individuales_media)| H | A | E | |
|---|---|---|---|
| - | 4.500 | 4.615 | 4.280 |
| + | 4.905 | 4.790 | 5.125 |
interac_media=IAPlot(experimento_media,main="Gráfica de interacciones para el valor nominal esperado")
head(interac_media)| H:A | H:E | A:E | |
|---|---|---|---|
| -:- | 4.45 | 4.13 | 3.59 |
| +:- | 4.78 | 4.43 | 4.97 |
| -:+ | 4.55 | 4.87 | 5.64 |
| +:+ | 5.03 | 5.38 | 4.61 |
R: Se puede observar que en ambas gráficas se puede concluir que la interacción activa es A:E, ya que el resultado se puede observar con la tabla ANOVA para confirmar dicha interacción.
modelo_AE=lm(r_media~(datos[2:9,2]*datos[2:9,3]),data= datos)
anova_AE=aov(modelo_AE)
summary(anova_AE)## Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
## datos[2:9, 2] 1 0.0613 0.0613 0.652 0.46469
## datos[2:9, 3] 1 1.4281 1.4281 15.200 0.01756 *
## datos[2:9, 2]:datos[2:9, 3] 1 2.9041 2.9041 30.911 0.00512 **
## Residuals 4 0.3758 0.0940
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1R: Con los resultados arrojados por la tabla ANOVA, y contando con un nivel del 95% de confianza, se puede obervar que el factor de huevo (E) tiene un efecto significativo en el valor de la media, y con esto se recomienda usar niveles que se consideren máximos pero permitidos para ese factor al igual que la interacción de A:E.
f) Determine la mejor formulación de la harina preparada para pasteles considerando la media y las señales/ruido.
R: En base a los resultados obtenidos por la media y las señales/ruido del inciso b, se puede decir que el renglón a tomar de la tabla de datos para crear la mejor receta en la preparación de harina para pateles es el renglón número 7, ya que las cantidades de los ingredientes son las más adecuadas para que cuenten con la característica de que sea robusta y de esta forma el cliente no se pegue del todo a las instrucciones en la caja.
Estas proporciones son que la harina (H) lleva una cantidad máxima, una cantidad mínima de azúcar (A) y una cantidad máxima de huevo (E) para cumplir con ciertos requisitos en la preparación y crear la nueva mezcla.