Dosen Pembimbing : Prof. Dr. Suhartono, M.Kom

Lembaga : Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang

Jurusan : Teknik Informatika

Fakultas : Sains dan Teknologi

Artikel ini akan membahas serta menganalisis materi persamaan polinomial dan penggunaannya dengan menggunakan Fungsi polyroot di R Markdown pada Aplikasi R Studio. Berikut merupakan penjelasannya.

Persamaan Polinomial

Apa itu persamaan polinomial? Persamaan polinomial atau biasa disebut dengan persamaan suku banyak adalah persamaan dengan pangkat variabelnya lebih dari 2. Berbeda dengan persamaan kuadrat yang pangkat variabelnya sama dengan 2 atau persamaan linear yang variabelnya berpangkat 1. Bentuk umum persamaan polinomial :

Suatu polinomial dapat mempunyai:

1. Variabel (adalah nilai yang bisa berubah, seperti x, y, z dalam suatu persamaan; boleh mempunyai lebih dari 1 variabel)
2. Koefisien (adalah konstanta yang mendampingi variabel)
3. Konstanta (suatu nilai tetap serta tidak berubah)
4. Eksponen atau pangkat adalah pangkat dari variabel; bisa juga disebut sebagai derajat dari suatu polinomial.

Berikut ini contoh persamaan polinomial :

1. 2x^3 + 9x^2 + 5x + 7 = 0
2. 8x^4 + 2x + 8 = 0
3. 2x^5 – 7x^4 + 33x^3 – 48x^2 + 60x – 80 = 0
4. 6x^3 + 5x + 4 = 2x^2 + 7x + 7
5. 4x^3 + 10 = 2x^3 - 8

Dapat dilihat dari contoh di atas bahwa semua pangkat dari variabel x lebih dari 2 (dua) sehingga ketiga contoh di atas dapat disebut sebagai persamaan polinomial.

Selain persamaan polinomial, terdapat juga fungsi polinomial yaitu persamaan polinomial yang berbentuk fungsi. Contohnya sebagai berikut.

1. f(x) = 2x^3 – 3x^2 + x + 5
2. g(x) = 4x^3 + 10 
3. f(x) = 8x^4 + 2x + 8

Bentuk Grafik Fungsi Polinomial

grafik polinomial dari y = x^4 – 4x^2 – 5

Gambar di atas adalah contoh dari grafik fungsi polinomial.

Fungsi polyroot

Fungsi polyroot() pada paket base dapat digunakan untuk memperoleh akar dari suatu polinomial. Algoritma yang digunakan dalam fungsi tersebut adalah algoritma Jenkins dan Traub.

Untuk dapat menggunakannya kita hanya perlu memasukkan vektor koefisien dari polinomial. Pengisian elemen dalam vektor dimulai dari variabel dengan pangkat tertinggi menuju variabel dengan pangkat terendah.

Contoh Penggunaan Persamaan Polinomial Menggunakan Fungsi polyroot

1. y = x^4 – x^3
Penyelesaian Secara Manual

# Titik potong dengan sumbu x (y = 0)
x^4 – x^3 = 0
x^3(x – 1) = 0
x = 0 atau x – 1 = 0
x = 0 atau x = 1
Jadi, titik potong dengan sumbu x: (0,0), (1,0)

# Titik potong dengan sumbu y (x = 0):
Masukkan nilai x = 0 ke persamaan polinomial
y = (0)^4 – (0)^3 = 0
Jadi, titik potong dengan sumbu y: (0,0)

# Titik ekstrim (y’ = 0):
y’ = 0
4x^3 – 3x^2 = 0
x^2(4x – 3) = 0
x^2 = 0 atau 4x – 3 = 0
x = ±0 (batas rangkap) atau 4x = 3 → x = ¾
x = 0 → y = 0
x = ¾ → y = ((¾)^4) – ((¾)^3) = (81/256) – (27/64) = (81/256) – (108/256) = –27/256
Jadi, titik ekstrimnya: (0,0), (3/4,–27/256)

Dari hasil penrhitungan manual di atas didapatkan hasil bahwa titik potong pada sumbu x adalah (0,0), (1,0), titik potong pada sumbu y adalah (0,0), dan titik ekstrimnya adalah (0,0), (3/4,–27/256)

**Fungsi *polyroot** y = x^4 – x^3

polyroot(c(1,-1,0,0,0))
## [1] 1+0i

Rumus tabel

# Rumus Membuat Tabel
root_table <- function(f, a, b, N=10){
    h <- abs((a+b)/N)
    x <- seq(from=a, to=b, by=h)
    fx <- rep(0, N+1)
    for(i in 1:(N+1)){
      fx[i] <- f(x[i])
    }
    data <- data.frame(x=x, fx=fx)
    return(data)
}

Membuat Tabel

# Membuat Tabel
tabel <- root_table(f=function(x){x^4 - x^3},
                     a=0, b=1, N=10)

print(tabel)
##      x      fx
## 1  0.0  0.0000
## 2  0.1 -0.0009
## 3  0.2 -0.0064
## 4  0.3 -0.0189
## 5  0.4 -0.0384
## 6  0.5 -0.0625
## 7  0.6 -0.0864
## 8  0.7 -0.1029
## 9  0.8 -0.1024
## 10 0.9 -0.0729
## 11 1.0  0.0000

Membuat Tabel

tabel <- root_table(f=function(x){x^4 - x^3},
                     a=-1, b=0, N=10)

print(tabel)
##       x     fx
## 1  -1.0 2.0000
## 2  -0.9 1.3851
## 3  -0.8 0.9216
## 4  -0.7 0.5831
## 5  -0.6 0.3456
## 6  -0.5 0.1875
## 7  -0.4 0.0896
## 8  -0.3 0.0351
## 9  -0.2 0.0096
## 10 -0.1 0.0011
## 11  0.0 0.0000

Membuat Vektor

# Membuat Vektor
x <- c(-2:2); y <- x^4 - x^3

Membuat Grafik

plot(x, y, type="o")

Gambar grafik yang sesungguhnya :

Dari grafik di atas dapat disimpulkan bahwa grafik memiliki titik potong pada sumbu x adalah (0,0), (1,0), titik potong pada sumbu y adalah (0,0), dan titik ekstrimnya adalah (0,0), (3/4,–27/256)(bisa dilihat di tabel). Namun, pada grafik tersebut titik ekstrimnya adalah (0,0), (3/4,–27/256) tidak terlihat karena pada grafik sumbu y hanya sampai nilai 0. Pernyataan tersebut dapat dilihat pada gambar grafik dibawahnya.

Demikian, pengaplikasian persamaan polinomial dengan Fungsi polyroot pada R Markdown di aplikasi R Studio.

Daftar Pustaka