Ejercicio 11.

En la elaboración de envases de plástico es necesario garantizar que cierto tipo de botella en posición vertical tenga una resistencia mínima de 50 kg de fuerza. Para garantizar esto, en el pasado se realizaba una prueba del tipo pasa-no-pasa, donde se aplicaba la fuerza de 50 kg y se veía si la botella resistía o no. En la actualidad se realiza una prueba exacta, en la que mediante un equipo se aplica fuerza a la botella hasta que ésta cede, y el equipo registra la resistencia que alcanzó la botella.

  1. ¿Qué ventajas y desventajas tiene cada método de prueba?

R= El método pasa-no-pasa era fácil de realizar pero consumia tiempo y no se sabe la resistencia exacta de la botella. El método actual requiere un equipo más avanzado y una inversión económica, pero obtienes datos de las resistencias exactas que alcanzan las botellas.

  1. Para evaluar la resistencia media de los envases se toma una muestra aleatoria de n = 20 piezas. De los resultados se obtiene que m= 55.2 y S = 3. Estime con una confianza de 95%, ¿cuál es la resistencia promedio de los envases?
n=20
m<-55.2
s<-3
alfa<-0.05
at<-alfa/2
t=abs(qt(at,n-1))

L=m-t*s/sqrt(n)
L
## [1] 53.79596
U=m+t*s/sqrt(n)
U
## [1] 56.60404

R= El valor de la resistencia promedio se encuentra entre 53.79 y 56.60.

  1. Antes del estudio se suponía que u = 52. Dada la evidencia de los datos, ¿tal supuesto es correcto?

R= No, ya que la resistencia promedio actual se enceuentra entre (53.79 - 56.60) por lo que es mayor a 52 kg.

d ) Con los datos anteriores, estime con una confianza de 95%, ¿cuál es la desviación estándar poblacional (del proceso)?

varianzai<-(n-1)*(s**2)/(qchisq(at,n-1))
varianzas<-(n-1)*(s**2)/(qchisq(1-at,n-1))

Spi<-sqrt(varianzai)
Spi
## [1] 4.381715
Sps<-sqrt(varianzas)
Sps
## [1] 2.281471

R= El intervalo en el que se encuentra la desviación estándar poblacional del proceso es: 2.281471 < sd < 4.381715

Ejercicio 13.

En un problema similar al del ejercicio 11, es necesario garantizar que la resistencia mínima que tiene un envase de plástico en posición vertical sea de 20 kg. Para evaluar esto se han obtenido los siguientes datos mediante pruebas destructivas:

x<-c(28.3,26.8,26.6,26.5,28.1,24.8,27.4,26.2,29.4,28.6,24.9,25.2,30.4,27.7,27.0,26.1,28.1,26.9,28.0,27.6,25.6,29.5,27.6,27.3,26.2,27.7,27.2,25.9,26.5,28.3,26.5,29.1,23.7,29.7,26.8,29.5,28.4,26.3,28.1,28.7,27.0,25.5,26.9,27.2,27.6,25.5,28.3,27.4,28.8,25.0,25.3,27.7,25.2,28.6,27.9,28.7)
mean(x)
## [1] 27.24643
n=length(x)
n
## [1] 56
summary(x)
##    Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
##   23.70   26.27   27.35   27.25   28.30   30.40
  1. Esta variable, forzosamente tiene que evaluarse mediante muestreo y no al 100%, ¿por qué?

R= Definitivamente debe ser evaluado por muestreo aleatorio ya que realizar la prueba al 100% implica destruir todas las muestras, lo que no es consono con el experimento.

  1. Haga un análisis exploratorio de estos datos (obtenga un histograma y vea el comportamiento de los datos obtenidos).
hist(x,freq=FALSE)

  1. Estime, con una confianza de 95%, ¿cuál es la resistencia promedio de los envases?
s=sd(x)
s
## [1] 1.430444
alpha=0.05
at=alpha/2
t=abs(qt(at,n-1))
t
## [1] 2.004045
L=mean(x)-t*s/sqrt(n)
L
## [1] 26.86335
U=mean(x)+t*s/sqrt(n)
U
## [1] 27.6295

d ) Antes del estudio se suponía que u = 25. Dada la evidencia de los datos, ¿tal supuesto es correcto? R= No, ya que la resistencia promedio actual (26.86 - 27.62) es mayor a 25 kg.

  1. Con los datos anteriores estime, con una confianza de 95%, ¿cuál es la desviación estándar poblacional (del proceso)?
vari<-(n-1)*(s**2)/(qchisq(at,n-1))
vars<-(n-1)*(s**2)/(qchisq(1-at,n-1))


Spi<-sqrt(vari)
Spi
## [1] 1.75838
Sps<-sqrt(vars)
Sps
## [1] 1.20597

R= La desv. estandar poblacional esta entre (1.20 - 1.75)

Ejercicio 14.

En la elaboración de una bebida se desea garantizar que el porcentaje de CO (gas) por envase esté entre 2.5 y 3.0. Los siguientes datos son obtenidos del monitoreo del proceso:

x<-c(2.61,2.62,2.65,2.56,2.68,2.51,2.56,2.62,2.63,2.57,2.60,2.53,2.69,2.53,2.67,2.66,2.63,2.52,2.61,2.60,2.52,2.62,2.67,2.58,2.61,2.64,2.49,2.58,2.61,2.53,2.53,2.57,2.66,2.51,2.57,2.55,2.57,2.56,2.52,2.58,2.64,2.59,2.57,2.58,2.52,2.61,2.55,2.55,2.73,2.51,2.61,2.71,2.64,2.59,2.60,2.64,2.56,2.60,2.57,2.48,2.60,2.61,2.55,2.66,2.69,2.56,2.64,2.67)
mean(x)
## [1] 2.593382
n=length(x)
n
## [1] 68
  1. Haga un análisis exploratorio de estos datos (obtenga un histograma y vea el comportamiento de los datos obtenidos).
hist(x,freq=FALSE)

  1. Estime, con una confianza de 95%, ¿cuál es el CO promedio por envase?
summary(x)
##    Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
##   2.480   2.558   2.595   2.593   2.632   2.730
s=sd(x)
s
## [1] 0.05592133
alfa=0.05
at=alfa/2
t=abs(qt(at,n-1))
t
## [1] 1.996008
L=mean(x)-t*s/sqrt(n)
L
## [1] 2.579847
U=mean(x)+t*s/sqrt(n)
U
## [1] 2.606918

R=El CO promedio por envase está entre 2.579847 y 2.606918.

  1. Se supone que m debe ser igual a 2.75. Dada la evidencia, ¿se puede rechazar tal supuesto?

R= si, porque esta por arriba del promedio.

  1. Con los datos anteriores estime, con una confianza de 95%, ¿cuál es la desviación estándar del proceso?
vari<-(n-1)*(s**2)/(qchisq(at,n-1))
vars<-(n-1)*(s**2)/(qchisq(1-at,n-1))


Spi<-sqrt(vari)
Spi
## [1] 0.06729878
Sps<-sqrt(vars)
Sps
## [1] 0.04784741

R= La desv std del proceso 0.04784741 - 0.06729878.

  1. El análisis de los datos muestrales establece que el mínimo es 2.48 y el máximo es 2.73, ¿por qué el intervalo obtenido en el inciso a) tiene una menor amplitud?

R= Porque en un promedio, los extremos tienen a desaparecer. Influyen en cierta manera en el resultado, pero este será de menor amplitud.

Ejercicio 23.

En un laboratorio bajo condiciones controladas, se evaluó, para 10 hombres y 10 mujeres, la temperatura que cada persona encontró más confortable. Los resultados en grados Fahrenheit fueron los siguientes:

Mujer<-c(75,77,78,79,77,73,78,79,78,80)
Hombre<-c(74,72,77,76,76,73,75,73,74,75)
  1. ¿Cuáles son en realidad los tratamientos que se comparan en este estudio?

R= La temperatura más confortable que se perciben entre ambos sexos.

  1. ¿Las muestras son dependientes o independientes? Explique.

R= Las muestras son independientes, no existe relación de otros factores que influyan en algún dato. Ningún dato depende de alguna relación a otra variable.

  1. ¿La temperatura promedio más confortable es igual para hombres que para mujeres? Pruebe la hipótesis adecuada.

Mujer

n1<-length(Mujer)
n1
## [1] 10
media1<-mean(Mujer)
media1
## [1] 77.4
s1<-sd(Mujer)
s1
## [1] 2.065591

Hombre

n2<-length(Hombre)
n2
## [1] 10
media2<-mean(Hombre)
media2
## [1] 74.5
s2<-sd(Hombre)
s2
## [1] 1.581139

Se saca el estadístico de prueba

v<-n1+n2-2
v
## [1] 18
Sp<-sqrt((((n1-1)*s1^2)+((n2-1)*s2^2))/v)
Sp
## [1] 1.839384
t0<-(media1-media2)/((Sp)*(sqrt((1/n1)+(1/n2))))
t0
## [1] 3.525418

Hipotesis de igualdad

Alfa=0.05
tAlfa2<-qt(Alfa/2,v,lower.tail = FALSE)
tAlfa2
## [1] 2.100922

Criterio de Rechazo

abs(t0)>tAlfa2
## [1] TRUE

R= La medias no son iguales para hombres que para mujeres.

Hipotesis Media1<Media2

tAlfa2_2<-qt(Alfa,v,lower.tail=FALSE)
tAlfa2_2
## [1] 1.734064

Criterio de rechazo

t0<(-1)*(tAlfa2_2)
## [1] FALSE

R= La media correspondiente a las mujeres es menor a la media de los hombres, con un nivel de confianza del 95%

Ejercicio 28.

Se realiza un estudio para comparar dos tratamientos que se aplicarán a frijoles crudos, con el objetivo de reducir el tiempo de cocción. Un tratamiento (T1) es a base de bicarbonato de sodio; el otro, T2, es a base de cloruro de sodio o sal común. La variable de respuesta es el tiempo de cocción en minutos. Se hacen siete réplicas. Los datos se muestran en la siguiente tabla:

T1<-c(76,85,74,78,82,75,82)
T2<-c(57,67,55,64,61,63,63)

boxplot(T1,T2)

  1. Formule la hipótesis para probar la igualdad de medias de los tratamientos.

R= Para poder explicar nombrare, a la media de T1 u1 y, a la de T2 u2; la hipótesis de prueba para la igualdad de las medias de los tratamientos.

Ho:u1=u2 H1:u1 diferente de u2

u1 = mean(T1)
var1 = var(T1)
u2 = mean(T2)
var2 = var(T2)
c("u1" = u1, "var1" = var1, "u2" = u2, "var2" = var2)
##       u1     var1       u2     var2 
## 78.85714 17.47619 61.42857 17.28571

R= Se observa en los datos, que las medias muestrales son distintas, pero eso no garantiza que las medias poblacionales sean diferentes.

  1. Anote la fórmula del estadístico de prueba para probar la hipótesis. R= to= (T1-T2)/(Sp*raiz((1//n1)+(1/n2)))

que sigue una distribución T de Student con n1+n2−2; donde n1 y n2 son los tamaños de las muestras tomadas en T1 y T2, respectivamente y, Sp^2 es un estimador de la varianza muestral común, suponiendo que dichas varianzas desconocidas sean iguales, calculándose como:

  1. Pruebe la hipótesis a un nivel de significancia de 5%. Para rechazar o no la hipótesis, apóyese tanto en el criterio del valor-p como en el valor crítico de tablas. d ) Pruebe la hipótesis de igualdad de varianzas entre tratamientos.
  2. De acuerdo con el análisis hecho hasta aquí, ¿hay algún tratamiento mejor?