UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANA SETOR DE CIENCIAS SOCIAIS APLICADAS
Departamento de Economia
Primeira Lista de Exercícios – Econometria (SE- 308)
Prof. Dr. Mauricio Bittencourt



Recomendação: utilize nos testes, sempre que não for especificado, o nível de confiança de 99%.

1 . Exercício 03


Dada a tabela abaixo com estatísticas referentes ao produto \((Y)\), trabalho \((L)\) e capital \((K)\) para o período compreendido entre 1900-1914, para um país hipotético:

## Dados:


Tabela 03
Ano Y L K
1900 11411 2782 123253
1901 13373 2784 124742
1902 13632 2789 127763
1903 14586 2876 131039
1904 15268 2875 133927
1905 18847 2902 136767
1906 22043 2978 141538
1907 23576 3053 148950
1908 25552 3117 156214
1909 28628 3196 167283
1910 32064 3290 179364
1911 35877 3316 190646
1912 40854 3348 208341
1913 49368 3373 224248
1914 56808 3499 242215

1.1 Item (a)

Estime as seguintes equações:

1.1.1 Subitem (a).2 : modelo B

\(\ln Y_t = \alpha_1 +\alpha_2 \ln X_{2t} +\alpha_3 \ln X_{3t} +\mu_{t}\)

1.1.1.1 Estimando o modelo B por matrizes:

Matriz de dados retificada (dividido por 1.000)
Y X2 X3
2,435 1,023 4,814
2,593 1,024 4,826
2,612 1,026 4,850
2,680 1,056 4,875
2,726 1,056 4,897
2,936 1,066 4,918
3,093 1,091 4,953
3,160 1,116 5,004
3,241 1,137 5,051
3,354 1,162 5,120
3,468 1,191 5,189
3,580 1,199 5,250
3,710 1,208 5,339
3,899 1,216 5,413
4,040 1,252 5,490
Matriz de n, p, k
Observacoes.n Parametros.p Variaveis.k
15 3 2
Matriz com os dados centrados na média
Y X2 X3 y x2 x3 x2x3 y.quad x2.quad x3.quad Y.x2 Y.x3
2,435 1,023 4,814 -0,7339 -0,0986 -0,2518 0,0248 0,5386 0,0097 0,0634 -0,2400 -0,6130
2,593 1,024 4,826 -0,5753 -0,0975 -0,2398 0,0234 0,3309 0,0095 0,0575 -0,2528 -0,6218
2,612 1,026 4,850 -0,5561 -0,0959 -0,2159 0,0207 0,3092 0,0092 0,0466 -0,2505 -0,5639
2,680 1,056 4,875 -0,4884 -0,0652 -0,1905 0,0124 0,2385 0,0043 0,0363 -0,1748 -0,5106
2,726 1,056 4,897 -0,4428 -0,0654 -0,1687 0,0110 0,1961 0,0043 0,0285 -0,1784 -0,4599
2,936 1,066 4,918 -0,2321 -0,0560 -0,1477 0,0083 0,0539 0,0031 0,0218 -0,1644 -0,4338
3,093 1,091 4,953 -0,0755 -0,0303 -0,1135 0,0034 0,0057 0,0009 0,0129 -0,0938 -0,3509
3,160 1,116 5,004 -0,0083 -0,0053 -0,0624 0,0003 0,0001 0,0000 0,0039 -0,0168 -0,1973
3,241 1,137 5,051 0,0722 0,0152 -0,0148 -0,0002 0,0052 0,0002 0,0002 0,0493 -0,0480
3,354 1,162 5,120 0,1859 0,0402 0,0537 0,0022 0,0346 0,0016 0,0029 0,1350 0,1800
3,468 1,191 5,189 0,2992 0,0694 0,1234 0,0086 0,0895 0,0048 0,0152 0,2407 0,4279
3,580 1,199 5,250 0,4116 0,0772 0,1844 0,0142 0,1694 0,0060 0,0340 0,2764 0,6601
3,710 1,208 5,339 0,5415 0,0869 0,2731 0,0237 0,2932 0,0076 0,0746 0,3225 1,0134
3,899 1,216 5,413 0,7308 0,0943 0,3467 0,0327 0,5341 0,0089 0,1202 0,3676 1,3520
4,040 1,252 5,490 0,8712 0,1310 0,4238 0,0555 0,7589 0,0172 0,1796 0,5291 1,7120

A partir da matriz obtemos:

\[ \begin{aligned} \Sigma Y_j &= 47,5276 \\ \Sigma X_{2j} &= 16,8234 \\ \Sigma X_{3j} &= 75,9904 \\ \overline{Y} &= 3,1685 \\ \overline{X_2} &= 1,1216 \\ \overline{X_3} &= 5,066 \\ \Sigma y^2_j &= 3,5579 \\ \Sigma x^2_{2j} &= 0,0873 \\ \Sigma x^2_{3j} &= 0,6976 \\ \Sigma x_{2j}x_{3j} &= 0,2411 \\ \Sigma x_{2j}Y_j &= 0,5491 \\ \Sigma x_{3j}Y_j &= 1,5461 \\ \end{aligned} \]

Que permite construtir as matrizes \(X`X\), \(X`y\) e a matriz inversa de \(X`X\):

Matriz X`X
15 0,0000 0,0000
0 0,0873 0,2411
0 0,2411 0,6976
Matriz X`y
47,5276
0,5491
1,5461
Matriz de cofatores
0,0028 0,000 0,000
0,0000 10,464 -3,616
0,0000 -3,616 1,309
Matriz inversa de X`X
0,0667 0,00 0,00
0,0000 253,10 -87,46
0,0000 -87,46 31,66


Com estas matrizes conseguimos produzir a matriz dos \(\alpha\):

Matriz dos ALPHAS estimados
x
-5,703
3,745
0,922

1.1.1.2 Markdown do modelo A


Tendo em vista o modelo A, construímos as matrizes \(X`X\) e \((X`X)^{-1}\) que são:

\[ X`X = \begin{bmatrix} n & 0 & 0 \\ 0 & \Sigma x_{1j}^2 & \Sigma x_{1j}x_{2j} \\ 0 & \Sigma x_{1j}x_{2j} & \Sigma x_{1j}^2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 15 & 0 & 0 \\ 0 & 0,0873 & 0,2411 \\ 0 & 0,2411 & 0,6976 \end{bmatrix} \]
e

\[ (X`X)^{-1} = \begin{bmatrix} 0,0667 & 0 & 0 \\ 0 & 253,0974 & -87,4625 \\ 0 & -87,4625 & 31,6578 \end{bmatrix} \]
E que \(X`y\) é:

\[ X`y = \begin{bmatrix} \Sigma Y_j \\ \Sigma x_{1j}Y_j \\ \Sigma x_{2j}Y_j \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 47,5276 \\ 0,5491 \\ 1,5461 \end{bmatrix} \]

Então, determinamos as estimativas do parâmatros na matriz dos \(\hat{\alpha}\) que é:

\[ \hat{\alpha} = (X`X)^{-1}X`y = \begin{bmatrix} 0,0667 & 0 & 0 \\ 0 & 253,0974 & -87,4625 \\ 0 & -87,4625 & 31,6578 \end{bmatrix} . \begin{bmatrix} 47,5276 \\ 0,5491 \\ 1,5461 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3,1685 \\ 3,7453 \\ 0,922 \end{bmatrix} \]

Considerando que o \(\hat{\alpha_0}\) estimado na matriz é pelos dados centrados na média, é preciso corrigir o \(\hat{\alpha_0}\):

\[ \begin{aligned} \hat{\alpha_0} &= \hat{\alpha_{0(media)}} + \hat{\alpha_1}\overline(X_1) + \hat{\alpha_2}\overline(X_2)\\ \hat{\alpha_0} &= 3,1685 - [3,7453*(1,1216) + 0,922 *(5,066)] = -5,7032 \end{aligned} \]


Resultado do modelo econométrico

A partir da matriz dos \(\hat{\alpha}\), temos que:
\[ \begin{aligned} \hat{\alpha_1} &= -5,7032\\ \hat{\alpha_2} &= 3,7453\\ \hat{\alpha_3} &= 0,922 \end{aligned} \]
E, portanto, a equação estimada é:

\[ \hat{Y_t} = -5,7032 + 3,7453X_{2t} + 0,922X_{3t} \]


1.1.1.3 Conferindo a regressão do modelo A pela função LM do R


Dependent variable:
Y
X2 3.745**
(1.265)
t = 2.962
p = 0.012
X3 0.922*
(0.447)
t = 2.061
p = 0.062
Constant -5.703***
(0.931)
t = -6.129
p = 0.0001
Observations 15
R2 0.979
Adjusted R2 0.975
Residual Std. Error 0.079 (df = 12)
F Statistic 275.515*** (df = 2; 12) (p = 0.000)
Note: p<0.1; p<0.05; p<0.01




1.2 Item (b)

(no outro arquivo)




1.3 Item (c)

(no outro arquivo)




1.4 Item (d)

(em outro arquivo)




1.5 Item (e)

(em outro arquivo)

1.6 Item (f)

O \(\hat\alpha_2\) e o \(\hat\alpha_3\) são, individualmente, estatisticamente significativos?

Para identificar a significância estatística dos estimadores é preciso realizar o teste “t” para cada um deles.
Inicialmente, é preciso obter a tabela de variância da regressão e, partir dela, a matriz de variância e covariâncias.

A tabela de variância é:

ANOVA
CV GL SQ QM Teste.F
Regressão (amostra) 2 3,48207565211859 1,7410378260593 275,514641357957
Resíduos (erro) 12 0,075830648453878 0,00631922070448983 -
Total 14 3,55790630057247 0 -


De onde obtemos a variância dos resíduos \((\hat{\sigma}^2)\):
\[ \hat{\sigma}^2 = \frac{\text{Soma do Quadrado dos Resíduos}}{\text{Graus de Liberdade}} = \frac{0,075830648453878}{12} = 0,00631922070448983 \]
A partir da \((\hat{\sigma}^2)\) a matriz de variância e covariancia é obtida de:

\[ \begin{aligned} (X`X)^{-1}\hat{\sigma}^2 &= \begin{bmatrix} 0,0666666667 & 0 & 0 \\ 0 & 253,0973739672 & -87,4625093909 \\ 0 & -87,4625093909 & 31,6577600565 \end{bmatrix} . \begin{bmatrix} 0,00631922070448983 \end{bmatrix} = \\ \\ (X`X)^{-1}\hat{\sigma}^2 &= \begin{bmatrix} 0,0004212814 & 0 & 0 \\ 0 & 1,5993781658 & -0,5526949002 \\ 0 & -0,5526949002 & 0,2000523728 \end{bmatrix} \end{aligned} \]
Onde:

\[ \begin{aligned} \hat{\sigma^2}(\hat{\alpha_1}) = \hat{s^2}(\hat{\alpha_1}) &= 0,0004212814 \\ \hat{\sigma^2}(\hat{\alpha_2}) = \hat{s^2}(\hat{\alpha_2}) &= 1,5993781658 \\ \hat{\sigma^2}(\hat{\alpha_3}) = \hat{s^2}(\hat{\alpha_3}) &= 0,2000523728 \\ \hat{cov}(\overline{Y},\hat{\alpha_2}) =\hat{cov}(\overline{Y},\hat{\alpha_3}) = \hat{cov}(\hat{\alpha_1},\hat{\alpha_2}) = \hat{cov}(\hat{\alpha_1},\hat{\alpha_3}) &= 0 \\ \hat{cov}(\hat{\alpha_2},\hat{\alpha_3}) &= -0,5526949002 \end{aligned} \]


Com estes dados é possível fazer o teste t individual do \(\alpha_2\):
\(H_0 : \hat\alpha_2 = 0\)
\(H_a : \hat\alpha_2 \neq 0\)

Como: \(\hat{\alpha_2} = 3,7453127099\) e \(\hat{\sigma}(\hat{\alpha_2}) = 1,5993781658\)

Então para o teste t temos:
\[ t_{(observado)} = \frac {\hat{\alpha_2} - \alpha_2}{\sqrt {\hat{\sigma^2}(\hat{\alpha_2})}} = \frac { 3,7453127099 - 0}{ \sqrt{1,5993781658} } = \frac { 3,7453127099}{ 1,2646652386 } = 2,9615052232 \]
Para analisarmos a relevância estatística precisamos encontrar o valor valor crítico de t para \(12\) graus de liberdade, que, conforme o nível de significância é:

\[ \begin{aligned} t_{(5\%,12)} &= 2,179\\ t_{(1\%,12)} &= 3,055 \\ t_{(observado)} &= 2,9615052232 \end{aligned} \]
Com o valor de \(t_{(observado)}\) está fora da zona crítica em ambos os níveis de significância (5% e 1%), logo não é possível rejeitar \(H_0\), o que significa que o \(\hat{\alpha_2}\) não é significante estatisticamente.
(fim da análise do \(\hat{\alpha_2}\))


Com estes dados é possível fazer o teste t individual do \(\alpha_3\):
\(H_0 : \hat\alpha_3 = 0\)
\(H_a : \hat\alpha_3 \neq 0\)

Como: \(\hat{\alpha_3} = 0,9220351791\) e \(\hat{\sigma}(\hat{\alpha_3}) = 0,2000523728\)

Então para o teste t temos:
\[ t_{(observado)} = \frac {\hat{\alpha_3} - \alpha_3}{\sqrt {\hat{\sigma^2}(\hat{\alpha_3})}} = \frac { 0,9220351791 - 0}{ \sqrt{0,2000523728} } = \frac { 0,9220351791}{ 0,4472721462 } = 2,0614634442 \]
Para analisarmos a relevância estatística precisamos encontrar o valor valor crítico de t para \(12\) graus de liberdade, que, conforme o nível de significância é:

\[ \begin{aligned} t_{(5\%,12)} &= 2,179\\ t_{(1\%,12)} &= 3,055 \\ t_{(observado)} &= 2,0614634442 \end{aligned} \]
Com o valor de \(t_{(observado)}\) está fora da zona crítica em ambos os níveis de significância (5% e 1%), logo não é possível rejeitar \(H_0\), o que significa que o \(\hat{\alpha_3}\) não é significante estatisticamente.




1.7 Item (g)

(em outro arquivo)


1.8 Item (h)

Os dados sustentam a hipótese de \(\hat\alpha_2 = \hat\alpha_3 = 0\) ?

É possível testar a hipótese de \(\hat\alpha_2 = \hat\alpha_3 = 0\) pelo Teste F.

No caso, podemos estruturar as hipóteses seguinte forma:
\[ \begin{aligned} H_0 &: \, \alpha_2 = \alpha_3 = 0 \\ H_a &: \, \alpha_j \neq 0 \quad \text{(ao menos um} \,\alpha\, \text{diferente de zero)} \end{aligned} \]
Para testar essas hipótese, utiliza-se o Teste F, onde, estando o \(F_observado\) na zona crítica da distribuição F para o nível de significância adotado (no caso 1%) e para os graus de liberdade do modelo (\(2\) e \(12\)), podemos rejeitar \(H_0\).

\[ \begin{aligned} \text{Como:} \quad F_{observado} &= \frac {\frac{\text{Soma dos Quadrados da Regressão}}{k}}{\frac{\text{Soma dos Quadrados dos Resíduos}}{n-k-1}} = \frac{\text{Quadrado Médio da Regressão}}{\text{Quadrado Médio dos Resíduos}} \\ \\ \text{Temos:} \quad F_{observado} &= \frac {1,7410378261}{0,0063192207} = 275,514641358\\ \\ \text{Considerando que:} \quad F_{crítico(2, 12)} &= 6,9266081402\\ \\ \text{Logo:} \quad &\text{o valor F tem significância estatística ao nível de 1%} \end{aligned} \] Assim, podemomos rejeitar \(H_0\), assumindo que, pelo menos um \(\hat{\alpha}\) é diferente de zero.