UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANA SETOR DE CIENCIAS SOCIAIS APLICADAS
Departamento de Economia
Primeira Lista de Exercícios – Econometria (SE- 308)
Prof. Dr. Mauricio Bittencourt



Recomendação: utilize nos testes, sempre que não for especificado, o nível de confiança de 99%.

1 . Exercício 03


Dada a tabela abaixo com estatísticas referentes ao produto \((Y)\), trabalho \((L)\) e capital \((K)\) para o período compreendido entre 1900-1914, para um país hipotético:

## Dados:


Tabela 03
Ano Y L K
1900 11411 2782 123253
1901 13373 2784 124742
1902 13632 2789 127763
1903 14586 2876 131039
1904 15268 2875 133927
1905 18847 2902 136767
1906 22043 2978 141538
1907 23576 3053 148950
1908 25552 3117 156214
1909 28628 3196 167283
1910 32064 3290 179364
1911 35877 3316 190646
1912 40854 3348 208341
1913 49368 3373 224248
1914 56808 3499 242215

1.1 Item (a)

Estime as seguintes equações:

1.1.1 Subitem (a).1 : modelo A

\(Y_t = \beta_1 +\beta_2X_{2t} +\beta_3X_{3t} +\mu_{t}\)

1.1.1.1 Estimando o modelo A por matrizes:

Matriz de dados retificada (dividido por 1.000)
Y X2 X3
11,41 2,781 123,3
13,37 2,784 124,7
13,63 2,789 127,8
14,59 2,876 131,0
15,27 2,875 133,9
18,85 2,902 136,8
22,04 2,978 141,5
23,58 3,053 148,9
25,55 3,117 156,2
28,63 3,196 167,3
32,06 3,290 179,4
35,88 3,316 190,6
40,85 3,348 208,3
49,37 3,373 224,2
56,81 3,499 242,2
Matriz de n, p, k
Observacoes.n Parametros.p Variaveis.k
15 3 2
Matriz com os dados centrados na média
Y X2 X3 y x2 x3 x2x3 y.quad x2.quad x3.quad Y.x2 Y.x3
11,41 2,781 123,3 -15,381 -0,2971 -39,166 11,6371 236,579 0,0883 1534,00 -3,3906 -446,9
13,37 2,784 124,7 -13,419 -0,2941 -37,677 11,0817 180,078 0,0865 1419,58 -3,9333 -503,9
13,63 2,789 127,8 -13,160 -0,2896 -34,656 10,0372 173,186 0,0839 1201,06 -3,9482 -472,5
14,59 2,876 131,0 -12,206 -0,2028 -31,380 6,3646 148,987 0,0411 984,73 -2,9584 -457,7
15,27 2,875 133,9 -11,525 -0,2034 -28,492 5,7959 132,826 0,0414 811,81 -3,1057 -435,0
18,85 2,902 136,8 -7,945 -0,1761 -25,652 4,5179 63,130 0,0310 658,04 -3,3194 -483,5
22,04 2,978 141,5 -4,750 -0,1006 -20,881 2,1011 22,561 0,0101 436,03 -2,2179 -460,3
23,58 3,053 148,9 -3,217 -0,0252 -13,469 0,3397 10,347 0,0006 181,42 -0,5946 -317,6
25,55 3,117 156,2 -1,240 0,0381 -6,205 -0,2363 1,539 0,0015 38,51 0,9730 -158,6
28,63 3,196 167,3 1,836 0,1171 4,864 0,5694 3,370 0,0137 23,66 3,3518 139,2
32,06 3,290 179,4 5,271 0,2117 16,945 3,5868 27,785 0,0448 287,12 6,7872 543,3
35,88 3,316 190,6 9,084 0,2374 28,227 6,7004 82,520 0,0563 796,74 8,5164 1012,7
40,85 3,348 208,3 14,062 0,2698 45,922 12,3887 197,733 0,0728 2108,80 11,0217 1876,1
49,37 3,373 224,2 22,576 0,2945 61,829 18,2073 509,666 0,0867 3822,78 14,5380 3052,4
56,81 3,499 242,2 30,015 0,4206 79,796 33,5605 900,929 0,1769 6367,35 23,8923 4533,0

A partir da matriz obtemos:

\[ \begin{aligned} \Sigma Y_j &= 401,8879 \\ \Sigma X_{2j} &= 46,1793 \\ \Sigma X_{3j} &= 2436,29 \\ \overline{Y} &= 26,7925 \\ \overline{X_2} &= 3,0786 \\ \overline{X_3} &= 162,4193 \\ \Sigma y^2_j &= 2691,2363 \\ \Sigma x^2_{2j} &= 0,8357 \\ \Sigma x^2_{3j} &= 20671,6379 \\ \Sigma x_{2j}x_{3j} &= 126,652 \\ \Sigma x_{2j}Y_j &= 45,6123 \\ \Sigma x_{3j}Y_j &= 7420,8685 \\ \end{aligned} \]

Que permite construtir as matrizes \(X`X\), \(X`y\) e a matriz inversa de \(X`X\):

Matriz X`X
15 0,0000 0,0
0 0,8357 126,7
0 126,6520 20671,6
Matriz X`y
401,89
45,61
7420,87
Matriz de cofatores
1234 0 0,00
0 310075 -1899,78
0 -1900 12,54
Matriz inversa de X`X
0,0667 0,0000 0,0000
0,0000 16,7544 -0,1027
0,0000 -0,1027 0,0007


Com estas matrizes conseguimos produzir a matriz dos betas:

Matriz dos Betas estimados
x
-36,600
2,441
0,344

1.1.1.2 Markdown do modelo A


Tendo em vista o modelo A, construímos as matrizes \(X`X\) e \((X`X)^{-1}\) que são:

\[ X`X = \begin{bmatrix} n & 0 & 0 \\ 0 & \Sigma x_{1j}^2 & \Sigma x_{1j}x_{2j} \\ 0 & \Sigma x_{1j}x_{2j} & \Sigma x_{1j}^2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 15 & 0 & 0 \\ 0 & 0,8357 & 126,652 \\ 0 & 126,652 & 20671,6379 \end{bmatrix} \]
e

\[ (X`X)^{-1} = \begin{bmatrix} 0,0667 & 0 & 0 \\ 0 & 16,7544 & -0,1027 \\ 0 & -0,1027 & 0,0007 \end{bmatrix} \]
E que \(X`y\) é:

\[ X`y = \begin{bmatrix} \Sigma Y_j \\ \Sigma x_{1j}Y_j \\ \Sigma x_{2j}Y_j \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 401,8879 \\ 45,6123 \\ 7420,8685 \end{bmatrix} \]

Então, determinamos as estimativas do parâmatros na matriz dos \(\hat{\beta}\) que é:

\[ \hat{\beta} = (X`X)^{-1}X`y = \begin{bmatrix} 0,0667 & 0 & 0 \\ 0 & 16,7544 & -0,1027 \\ 0 & -0,1027 & 0,0007 \end{bmatrix} . \begin{bmatrix} 401,8879 \\ 45,6123 \\ 7420,8685 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 26,7925 \\ 2,4413 \\ 0,344 \end{bmatrix} \]

Considerando que o \(\hat{\beta_0}\) estimado na matriz é pelos dados centrados na média, é preciso corrigir o \(\hat{\beta_0}\):

\[ \begin{aligned} \hat{\beta_0} &= \hat{\beta_{0(media)}} + \hat{\beta_1}\overline(X_1) + \hat{\beta_2}\overline(X_2)\\ \hat{\beta_0} &= 26,7925 - [2,4413*(3,0786) + 0,344 *(162,4193)] = -36,6005 \end{aligned} \]


Resultado do modelo econométrico

A partir da matriz dos \(\hat{\beta}\), temos que:
\[ \begin{aligned} \hat{\beta_1} &= -36,6005\\ \hat{\beta_2} &= 2,4413\\ \hat{\beta_3} &= 0,344 \end{aligned} \]
E, portanto, a equação estimada é:

\[ \hat{Y_t} = -36,6005 + 2,4413X_{2t} + 0,344X_{3t} \]


1.1.1.3 Conferindo a regressão do modelo A pela função LM do R


Dependent variable:
Y
X2 2.441
(6.126)
t = 0.399
p = 0.698
X3 0.344***
(0.039)
t = 8.833
p = 0.00001
Constant -36.601**
(12.881)
t = -2.841
p = 0.015
Observations 15
R2 0.990
Adjusted R2 0.988
Residual Std. Error 1.497 (df = 12)
F Statistic 594.760*** (df = 2; 12) (p = 0.000)
Note: p<0.1; p<0.05; p<0.01




1.2 Item (b)

Para o modelo log-linear, \(\alpha_1\) e \(\alpha_2\) fornecem, respectivamente, as elasticidades do produto com relação ao trabalho e ao capital. Como você calcularia semelhantes elasticidades para o modelo linear?

\[ \begin{aligned} \text{Dado que:} \quad \overline{L} &= 3,07862 \\ \overline{Y} &= 26,7925266667 \\ \frac {\partial Y} {\partial L} &= 2,4413087937 \\ \frac {\partial Y} {\partial K} &= 0,3440303992 \\ \\ \text{A elasticidade é:} \\ e_{(L|Y)} &= \frac {\partial Y} {\partial L} . \frac{\overline{L}}{\overline{Y}} = 2,4413087937. \frac {3,07862}{26,7925266667} = 0,2805208397 \\ \\ e_{(K|Y)} &= \frac {\partial Y} {\partial K} . \frac{\overline{K}}{\overline{Y}} = 0,3440303992. \frac {162,4193333333}{26,7925266667} = 2,0855512726 \end{aligned} \]




1.3 Item (c)

Em que diferencia a análise dos resultados obtidos entre o modelo \(A\) e \(B\)?

O B representa a elasticidade (variacao percentual)

No modelo \(Y_t = \beta_1 +\beta_2X_{2t} +\beta_3X_{3t} +\mu_{t}\), temos que a mudança de \(X_2\) em uma unidade (\(\Delta X_2=1\)) é associada com uma mudança de \(\beta_2\) em \(Y\).

Já no modelo \(lnY_t = \alpha_1 + \alpha_2lnX_{2t} + \alpha_3lnX_{3t} + \mu_t\), temos que uma mudança de 1% em \(X_2\) é associada com uma mudança de \(\alpha_2\)% em \(Y_t\), o que significa que a \(\alpha_2\) é a elasticidade de \(Y_t\) em respeito à \(X_2\).



1.4 Item (d)

O \(\hat\beta_2\) e o \(\hat\beta_3\) são, individualmente, estatisticamente significativos?

Para identificar a significância estatística dos estimadores é preciso realizar o teste “t” para cada um deles.
Inicialmente, é preciso obter a tabela de variância da regressão e, partir dela, a matriz de variância e covariâncias.

A tabela de variância é:

ANOVA
CV GL SQ QM Teste.F
Regressão (amostra) 2 2664,3579507879 1332,17897539395 594,759956332138
Resíduos (erro) 12 26,8783187814347 2,23985989845289 -
Total 14 2691,23626956933 0 -


De onde obtemos a variância dos resíduos \((\hat{\sigma}^2)\):
\[ \hat{\sigma}^2 = \frac{\text{Soma do Quadrado dos Resíduos}}{\text{Graus de Liberdade}} = \frac{26,8783187814347}{12} = 2,23985989845289 \]
A partir da \((\hat{\sigma}^2)\) a matriz de variância e covariancia é obtida de:

\[ \begin{aligned} (X`X)^{-1}\hat{\sigma}^2 &= \begin{bmatrix} 0,0666666667 & 0 & 0 \\ 0 & 16,7543581719 & -0,102651425 \\ 0 & -0,102651425 & 0,0006773053 \end{bmatrix} . \begin{bmatrix} 2,23985989845289 \end{bmatrix} = \\ \\ (X`X)^{-1}\hat{\sigma}^2 &= \begin{bmatrix} 0,1493239932 & 0 & 0 \\ 0 & 37,5274149935 & -0,2299248104 \\ 0 & -0,2299248104 & 0,0015170689 \end{bmatrix} \end{aligned} \]
Onde:

\[ \begin{aligned} \hat{\sigma^2}(\hat{\beta_1}) = \hat{s^2}(\hat{\beta_1}) &= 0,1493239932 \\ \hat{\sigma^2}(\hat{\beta_2}) = \hat{s^2}(\hat{\beta_2}) &= 37,5274149935 \\ \hat{\sigma^2}(\hat{\beta_3}) = \hat{s^2}(\hat{\beta_3}) &= 0,0015170689 \\ \hat{cov}(\overline{Y},\hat{\beta_2}) =\hat{cov}(\overline{Y},\hat{\beta_3}) = \hat{cov}(\hat{\beta_1},\hat{\beta_2}) = \hat{cov}(\hat{\beta_1},\hat{\beta_3}) &= 0 \\ \hat{cov}(\hat{\beta_2},\hat{\beta_3}) &= -0,2299248104 \end{aligned} \]


Com estes dados é possível fazer o teste t individual do \(\beta_2\):
\(H_0 : \hat\beta_2 = 0\)
\(H_a : \hat\beta_2 \neq 0\)

Como: \(\hat{\beta_2} = 2,4413087937\) e \(\hat{\sigma}(\hat{\beta_2}) = 37,5274149935\)

Então para o teste t temos:
\[ t_{(observado)} = \frac {\hat{\beta_2} - \beta_2}{\sqrt {\hat{\sigma^2}(\hat{\beta_2})}} = \frac { 2,4413087937 - 0}{ \sqrt{37,5274149935} } = \frac { 2,4413087937}{ 6,1259623728 } = 0,3985184115 \]
Para analisarmos a relevância estatística precisamos encontrar o valor valor crítico de t para \(12\) graus de liberdade, que, conforme o nível de significância é:

\[ \begin{aligned} t_{(5\%,12)} &= 2,179\\ t_{(1\%,12)} &= 3,055 \\ t_{(observado)} &= 0,3985184115 \end{aligned} \]
Com o valor de \(t_{(observado)}\) está fora da zona crítica em ambos os níveis de significância (5% e 1%), logo não é possível rejeitar \(H_0\), o que significa que o \(\hat{\beta_2}\) não é significante estatisticamente.
(fim da análise do \(\hat{\beta_2}\))


Com estes dados é possível fazer o teste t individual do \(\beta_3\):
\(H_0 : \hat\beta_3 = 0\)
\(H_a : \hat\beta_3 \neq 0\)

Como: \(\hat{\beta_3} = 0,3440303992\) e \(\hat{\sigma}(\hat{\beta_3}) = 0,0015170689\)

Então para o teste t temos:
\[ t_{(observado)} = \frac {\hat{\beta_3} - \beta_3}{\sqrt {\hat{\sigma^2}(\hat{\beta_3})}} = \frac { 0,3440303992 - 0}{ \sqrt{0,0015170689} } = \frac { 0,3440303992}{ 0,0389495684 } = 8,8327140214 \]
Para analisarmos a relevância estatística precisamos encontrar o valor valor crítico de t para \(12\) graus de liberdade, que, conforme o nível de significância é:

\[ \begin{aligned} t_{(5\%,12)} &= 2,179\\ t_{(1\%,12)} &= 3,055 \\ t_{(observado)} &= 8,8327140214 \end{aligned} \]
Com o valor de \(t_{(observado)}\) está dentro da zona crítica em ambos os níveis de significância (5% e 1%), logo é possível rejeitar \(H_0\), o que significa que o \(\hat{\beta_3}\) é significante estatisticamente.



1.5 Item (e)

Eles são estatisticamente diferentes de \(1\)? (Dica: Faça o teste de hipótese para os \(\beta\) diferente e igual a 1)

Iniciando com o teste t individual do \(\beta_2\):
\[ \begin{aligned} H_0 &: \, \beta_2 = 1 \\ H_a &: \, \beta_2 \neq 1 \end{aligned} \]
Como: \(\hat{\beta_2} = 2,4413087937\) e \(\hat{\sigma}(\hat{\beta_2}) = 37,5274149935\)

Então para o teste t temos:
\[ t_{(observado)} = \frac {\hat{\beta_2} - \beta_2}{\sqrt {\hat{\sigma^2}(\hat{\beta_2})}} = \frac { 2,4413087937 - 1}{ \sqrt{37,5274149935} } = \frac { 1,4413087937}{ 6,1259623728 } = 0,2352787539 \]
Para analisarmos a relevância estatística precisamos encontrar o valor valor crítico de t para \(12\) graus de liberdade, que, conforme o nível de significância é:

\[ \begin{aligned} t_{(5\%,12)} &= 2,179\\ t_{(1\%,12)} &= 3,055 \\ t_{(observado)} &= 0,2352787539 \end{aligned} \]
Com o valor de \(t_{(observado)}\) está fora da zona crítica em ambos os níveis de significância (5% e 1%), logo não é possível rejeitar \(H_0\).
(fim da análise do \(\hat{\beta_2}\))


Com estes dados é possível fazer o teste t individual do \(\beta_3\):
\[ \begin{aligned} H_0 &: \, \beta_3 = 1 \\ H_a &: \, \beta_3 \neq 1 \end{aligned} \]

Como: \(\hat{\beta_3} = 0,3440303992\) e \(\hat{\sigma}(\hat{\beta_3}) = 0,0015170689\)

Então para o teste t temos:
\[ t_{(observado)} = \frac {\hat{\beta_3} - \beta_3}{\sqrt {\hat{\sigma^2}(\hat{\beta_3})}} = \frac { 0,3440303992 - 1}{ \sqrt{0,0015170689} } = \frac { -0,6559696008}{ 0,0389495684 } = -16,841511401 \]
Para analisarmos a relevância estatística precisamos encontrar o valor valor crítico de t para \(12\) graus de liberdade, que, conforme o nível de significância é:

\[ \begin{aligned} t_{(5\%,12)} &= 2,179\\ t_{(1\%,12)} &= 3,055 \\ t_{(observado)} &= -16,841511401 \end{aligned} \]
Com o valor de \(t_{(observado)}\) está dentro da zona crítica em ambos os níveis de significância (5% e 1%), logo é possível rejeitar \(H_0\).






1.6 Item (f)

(em outro arquivo com o modelo B)


1.7 Item (g)

Os dados sustentam a hipótese de \(\hat\beta_2 = \hat\beta_3 = 0\) ?

É possível testar a hipótese de \(\hat\beta_2 = \hat\beta_3 = 0\) pelo Teste F.

No caso, podemos estruturar as hipóteses seguinte forma:
\[ \begin{aligned} H_0 &: \, \beta_2 = \beta_3 = 0 \\ H_a &: \, \beta_j \neq 0 \quad \text{(ao menos um} \,\beta\, \text{diferente de zero)} \end{aligned} \]
Para testar essas hipótese, utiliza-se o Teste F, onde, estando o \(F_observado\) na zona crítica da distribuição F para o nível de significância adotado (no caso 1%) e para os graus de liberdade do modelo (\(2\) e \(12\)), podemos rejeitar \(H_0\).

\[ \begin{aligned} \text{Como:} \quad F_{observado} &= \frac {\frac{\text{Soma dos Quadrados da Regressão}}{k}}{\frac{\text{Soma dos Quadrados dos Resíduos}}{n-k-1}} = \frac{\text{Quadrado Médio da Regressão}}{\text{Quadrado Médio dos Resíduos}} \\ \\ \text{Temos:} \quad F_{observado} &= \frac {1332,1789753939}{2,2398598985} = 594,7599563321\\ \\ \text{Considerando que:} \quad F_{crítico(2, 12)} &= 6,9266081402\\ \\ \text{Logo:} \quad &\text{o valor F tem significância estatística ao nível de 1%} \end{aligned} \] Assim, podemomos rejeitar \(H_0\), assumindo que, pelo menos um \(\hat{\beta}\) é diferente de zero.




1.8 Item (h)

(em outro arquivo com o modelo B)