UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANA SETOR DE CIENCIAS SOCIAIS APLICADAS
Departamento de Economia
Primeira Lista de Exercícios – Econometria (SE- 308)
Prof. Dr. Mauricio Bittencourt
Recomendação: utilize nos testes, sempre que não for especificado, o nível de confiança de 99%.
Calcule os coeficientes de correlação parcial nos itens \(a\), \(b\), e \(c\), verificando se todos são válidos teoricamente (\(0<r<1\)).
Assumindo que: \[
\rho _{XY\cdot Z}={\frac {\rho _{XY}-\rho _{XZ}\rho _{ZY}}{{\sqrt {1-\rho _{XZ}^{2}}}{\sqrt {1-\rho _{ZY}^{2}}}}}
\] E, portanto: \[
\rho _{12\cdot 3}
= {\frac
{ \rho_{12} - \rho_{13}\rho_{23} }
{ { \sqrt {1 - \rho_{13}^{2} } } { \sqrt {1 - \rho_{23}^{2} } } }
}
\\
\rho _{13\cdot 2}
= {\frac
{ \rho_{13} - \rho_{12}\rho_{32} }
{ { \sqrt {1 - \rho_{12}^{2} } } { \sqrt {1 - \rho_{32}^{2} } } }
}
\\
\rho _{32\cdot 1}
= {\frac
{ \rho_{32} - \rho_{12}\rho_{13} }
{ { \sqrt {1 - \rho_{12}^{2} } } { \sqrt {1 - \rho_{13}^{2} } } }
}
\]
Dado que \(\rho_{12}= 0.80\), \(\rho_{13}=-0.2\) e \(\rho_{23}=0.9\), determinar os coeficiente parciais \(\rho_{12.3},\rho_{13.2}\) e \(\rho_{32.1}\):
\[
\begin{aligned}
\rho_{12.3}
&= \frac {0,8 - (-0,2*0,9)}{\sqrt(1-(-0,2)^2)\sqrt(1-(0,9)^2)} \\
&= \frac {0,8 + 0,18} {\sqrt (1-0,04)(1-0,81) }\\
&= \frac {0,98} {\sqrt (0,96 * 0,19) }\\
&= \frac {0,98} {0,9798*0,4359} \\
&= \frac {0,98} {0,4271}\\
&= 2,2945
\\
\end{aligned}
\]
\[
\begin{aligned}
\rho_{13.2}
&= \frac {-0,2 - (0,8*0,9)}{\sqrt(1-(0,8)^2)\sqrt(1-(0,9)^2)} \\
&= \frac {-0,2 - 0,72} {\sqrt (1-0,64)(1-0,81) }\\
&= \frac {-0,92} {\sqrt (0,36 * 0,19) }\\
&= \frac {-0,92} {0,6*0,4359} \\
&= \frac {-0,92} {0,2615} \\
&= -3,5182
\end{aligned}
\]
\[
\begin{aligned}
\rho_{32.1}
&= \frac {0,9 - (0,8*-0,2)}{\sqrt(1-(0,8)^2)\sqrt(1-(-0,2)^2)} \\
&= \frac {0,9 + 0,16} {\sqrt (1-0,64)(1-0,04) }\\
&= \frac {1,06} {\sqrt (0,36 * 0,96) }\\
&= \frac {1,06} {0,6*0,9798} \\
&= \frac {1,06} {0,5879}\\
&= 1,803
\end{aligned}
\]
Resultados:
\(\rho_{12.3}\) = 2,2945;
\(\rho_{13.2}\) = -3,5182 e
\(\rho_{32.1}\) = 1,803.
Todos estão fora do intervalo de \(0<r<1\), portanto, inválidos teoricamente.
Dado que \(\rho_{12}= 0.6\), \(\rho_{13}=-0.9\) e \(\rho_{23}=-0.5\), determinar os coeficiente parciais \(\rho_{12.3},\rho_{13.2}\) e \(\rho_{32.1}\):
\[
\begin{aligned}
\rho_{12.3}
&= \frac {0,6 - (-0,5*-0,9)}{\sqrt(1-(-0,5)^2)\sqrt(1-(-0,9)^2)} \\
&= \frac {0,6 - 0,45} {\sqrt (1-0,25)(1-0,81) }\\
&= \frac {0,15} {\sqrt (0,75 * 0,19) }\\
&= \frac {0,15} {0,866*0,4359} \\
&= \frac {0,15} {0,3775}\\
&= 0,3974
\end{aligned}
\]
\[
\begin{aligned}
\rho_{13.2}
&= \frac {-0,5 - (0,6*-0,9)}{\sqrt(1-(0,6)^2)\sqrt(1-(-0,9)^2)} \\
&= \frac {-0,5 + 0,54} {\sqrt (1-0,36)(1-0,81) }\\
&= \frac {0,04} {\sqrt (0,64 * 0,19) }\\
&= \frac {0,04} {0,8*0,4359} \\
&= \frac {0,04} {0,3487} \\
&= 0,1147
\end{aligned}
\]
\[
\begin{aligned}
\rho_{32.1}
&= \frac {-0,9 - (0,6*-0,5)}{\sqrt(1-(0,6)^2)\sqrt(1-(-0,5)^2)} \\
&= \frac {-0,9 + 0,3} {\sqrt (1-0,36)(1-0,25) }\\
&= \frac {-0,6} {\sqrt (0,64 * 0,75) }\\
&= \frac {-0,6} {0,8*0,866} \\
&= \frac {-0,6} {0,6928}\\
&= -0,8661
\end{aligned}
\]
Resultados:
\(\rho_{12.3}\) = 0,3974;
\(\rho_{13.2}\) = 0,1147 e
\(\rho_{32.1}\) = -0,8661.
Todos estão dentro do intervalo de \(0<r<1\), portanto, válidos teoricamente.
Dado que \(\rho_{12}= 0.01\), \(\rho_{13}=0.66\) e \(\rho_{23}=-0.7\), determinar os coeficiente parciais \(\rho_{12.3},\rho_{13.2}\) e \(\rho_{32.1}\):
\[
\begin{aligned}
\rho_{12.3}
&= \frac {0,01 - (0,66*-0,7)}{\sqrt(1-(0,66)^2)\sqrt(1-(-0,7)^2)} \\
&= \frac {0,01 + 0,462} {\sqrt (1-0,4356)(1-0,49) }\\
&= \frac {0,472} {\sqrt (0,5644 * 0,51) }\\
&= \frac {0,472} {0,7513*0,7141} \\
&= \frac {0,472} {0,5365}\\
&= 0,8798
\end{aligned}
\]
\[
\begin{aligned}
\rho_{13.2}
&= \frac {0,66 - (0,01*-0,7)}{\sqrt(1-(0,01)^2)\sqrt(1-(-0,7)^2)} \\
&= \frac {0,66 +0,007} {\sqrt (1-10^{-4})(1-0,49) }\\
&= \frac {0,667} {\sqrt (0,9999 * 0,51) }\\
&= \frac {0,667} {0,9999*0,7141} \\
&= \frac {0,667} {0,714} \\
&= 0,9342
\end{aligned}
\]
\[
\begin{aligned}
\rho_{32.1}
&= \frac {-0,7 - (0,01*0,66)}{\sqrt(1-(0,01)^2)\sqrt(1-(0,66)^2)} \\
&= \frac {-0,7 - 0,0066} {\sqrt (1-10^{-4})(1-0,4356) }\\
&= \frac {-0,7066} {\sqrt (0,9999 * 0,5644) }\\
&= \frac {-0,7066} {0,9999*0,7513} \\
&= \frac {-0,7066} {0,7512}\\
&= -0,9406
\end{aligned}
\]
Resultados:
\(\rho_{12.3}\) = 0,8798;
\(\rho_{13.2}\) = 0,9342 e
\(\rho_{32.1}\) = -0,9406.
Todos estão dentro do intervalo de \(0<r<1\), portanto, válidos teoricamente.
Responda os items abaixo e justifique suas respostas:
Considere os dois modelos abaixo:
Modelo 1: \(Y_t = \alpha_1 + \alpha_2X_{2t} + \alpha_3X_{3t} + \mu_{1t}\)
Modelo 2: \((Y_t –X_{2t})=\beta_1 +\beta_2X_{2t} +\beta_3X_{3t} +\mu_{2t}\)
\[
\begin{aligned}
\text{Dado que:} \quad
(Y_t - X_{2t}) &= \beta_1 + \beta_{2}X_{2t} + \beta_3X_{3t}+\mu_{2t} \\
Y_t &= \beta_1 + \beta_{2}X_{2t} + \beta_3X_{3t}+\mu_{3t} + X_{2t} \\
Y_t &= \beta_1 + (\beta_{2}+1)X_{2t} + \beta_3X_{3t}+\mu_{2t} \\
\\
\text{Se:} \quad Y_t &= \alpha_1 + \alpha_2X_{2t}+ \alpha_3X_{3t} + \mu_{1t} \\
\\
\text{Então:} \quad
\alpha_1 &= \beta_{1} \\
\alpha_3 &= \beta_{3} \\
\alpha_2 &= \beta_{2} + 1 \\
\end{aligned}
\]
As estimativas de MQO de \(\alpha_1\) e \(\beta_1\) serão iguais?
Resposta SIM.
As estimativas de MQO de \(\alpha_3\) e \(\beta_3\) serão iguais?
Resposta SIM.
Qual a relação o entre \(\alpha_2\) e \(\beta_2\) ?
\[
\alpha_2 = (\beta_2+1)
\]
(em outros dois arquivos separados)
Um economista estudando as vendas de batatas em uma economia encontrou o seguinte modelo econométrico usando dados no período de 2000-2020:
\[
\begin{aligned}
B &= 15 \quad – \quad 2P \quad + 4Y\\
&\quad (2,4) \quad (–5,1) \quad (7,3)\\
&R^2=0,79 \quad F=25,2
\end{aligned}
\]
Onde:
B: vendas de batatas em kg
P: preço do kg de batatas em R$
Y: nível de renda.
Valores entre parentesis representam os respectivos valores t.
a. Interprete o modelo acima usando, quando for o caso, \(5\%\) de nível de significância;
Primeiro, vamos interpretar a regressão. Como esperado, existe uma relação positiva entre as vendas e a renda e uma relação negativa entre as vendas e o preço, em consonância com a racionalidade da teoria econômica, pois é de se esperar que um aumento nos preços impacte negativamente a venda de batatas enquanto um aumento na renda impacte positivamente.
Se a renda aumentar em uma unidade, em média, as vendas aumentarão quatro quilos e se o preço aumentar, em média, uma unidade, as vendas reduzirão em dois quilos.
Se a renda e o preço foram zero, em média, as vendas serão de 15kg. Interessante que essa interpretação mecânica do intercepto não parece fazer sentido econômico.
O valor do \(R^2\), cerca de \(0,79\), significa que \(79\%\) da variação nas vendas de batata pode ser explicada pelo modelo. A estatística F nos indica que o valor de \(R^2\) é consistente ao nível de significância utilizado, pois testando:
\(H_0: R^2 = 0\)
\(H_a: R^2 > 0\)
Que é equivalente à:
\(H_0: \beta_0 = \beta_1 = \beta_2 = 0\)
\(H_a: \beta_j \neq 0\) \(j =\{1,...,k\}\)
Temos que:
\(F_{crítico(2,17)} = 3,59\)
e
\(F_{observado}= 25,2\).
Como o \(F_{observado}\) encontra-se na zona crítica do \(F_{crítico(2,17)}\), então se rejeita a hipótese \((H_0)\) de que o grau de ajustamento do modelo seja igual a zero.
Além disto, suponhamos que queiramos testar a hipótese nula de que não há relação entre a renda e as vendas, que o coeficiente angular verdadeiro é \(\beta_2 = 0\), ou seja:
\(H_0: \beta_2 = 0\)
\(H_a: \beta_2 \neq 0\)
Como o valor estimado de \(\hat{\beta_2}\) é \(4\), se a hipótese nula fosse verdadeira, qual seria a probabilidade de obter um valor de \(4\)?
Sob a hipótese nula, observamos que o valor t é \(7,3\) e o p-valor de obter esse valor t é praticamente igual á zero, pois o \(t_{crítico(5\%,17)} = 2,110\).
Para o modelo sob análise, considerando que: \(n = 20\) e \(p = 3\), então \(k = 2\) e \(n-p = 17\) (gl).
Em outras palavras, neste nível de significância de 5%, podemos rejeitar totalmente a hipótese nula.
Essa conclusão também vale para \(\hat{\beta_1}\), pois seu valor de t também está na zona crítica.
Em quanto aumentariam as vendas de batatas se os produtores reduzissem o preço em \(R\$0,70\)?
\[
\begin{aligned}
\frac{\partial B}{\partial P} &= -2 \\
\partial B &= -2 \partial P \\
\Delta B &= -2 \Delta P \\
\Delta B &= -2 (-0,7) = 1,4
\end{aligned}
\]
Haveria um aumento de 1,4Kg nas vendas caso houvesse uma redução de \(R\$0,70\) nos preços.
Em quanto reduziriam as vendas de batatas se os compradores tivessem uma redução em sua renda, em média, de \(0,5\)?
\[
\begin{aligned}
\frac{\partial B}{\partial Y} &= 4 \\
\partial B &= 4 \partial P \\
\Delta B &= 4 \Delta P \\
\Delta B &= 4 (-0,5) = -2
\end{aligned}
\]
Haveria uma redução 2Kg nas vendas caso houvesse uma perda de \(0,5\) renda pelos consumidores.
Qual seria o efeito líquido sobre as vendas se ambos os movimentos acontecessem simultaneamente?
\[
\begin{aligned}
\Delta B &= 1,4 -2,0 = -0,6
\end{aligned}
\]
Caso os eventos ocorressem de forma simultânea, haveria uma redução de 600g na venda de batatas.
ANPEC 1999 - Questao 05
Marque V ou F nos items abaixo e justifique quando for falsa:
Foram encontrados os seguintes resultados para estimar uma regressão linear com duas variáveis explicativas para uma amostra de tamanho 10:
| Variaveis_preditoras | Coeficiente | Desvio_Padrao | Estatistica_t | p_valor |
|---|---|---|---|---|
| Constante | 223,3 | 254,8 | 0,88 | 0,41 |
| X1 | -1,26 | 0,8263 | -1,52 | 0,172 |
| X2 | -1,03 | 3,213 | -0,32 | 0,752 |
\(R^2 = 81,2\%\);
\(\overline{R^2} = 76,1\%\);
Valor calculado da estatistica \(F = 15,1\)
a. ( VERDADEIRO ) A equação de regressão estimada é \(\hat{Y} = 223,3 -1,26.X_1 -1,03.X_2\)
b. ( VERDADEIRO ) O coeficiente de determinação indica que \(81,2\%\) da variação amostral de \(Y\) podem ser atribuídos às variações de \(X_1\) e \(X_2\).
c. ( FALSO ) O valor estimado para \(Y\) quando \(X_1=15\) e \(X_2=80\) é \(220\).
\[ \begin{aligned} X_1 &= 15 \\ X_2 &= 80 \\ \hat{Y} &= 223,3 -1,26.(15) -1,03.(80) \\ &= 223,3 -18,9 -82,4 \\ &= 122 \\ \end{aligned} \]
d. ( VERDADEIRO ) Os valores teóricos das estatísticas “t” utilizadas para testar os coeficientes das variáveis explicativas devem ser calculados para \(7\) graus de liberdade.
\[
\begin{aligned}
n &= 10 \quad \text{(amostra)} \\
p &= 3 \quad \text{(parâmetros)} \\
k &= p - 1 = 3 - 1 = 2 \quad \text{(variáveis)} \\
gl &= n - k - 1 = 10 - 2 - 1 = 7 \quad \text{(graus de liberdade)} \\
\end{aligned}
\]
Fim.