Penyelesaian Soal Ujian Tengah Semester 1

Lembaga : UIN Maulana Malik Ibrahim Malang

Jurusan : Teknik Informatika

Root secant

Fungsi root_secant() merupakan fungsi yang penulis buat untuk melakukan iterasi menggunakan metode Secant.

Soal !

1. Temukan akar persamaan dari persamaan non-linier f(x)=x3−2x+2 menggunakan metode terbuka dengan x 0 =0 dan x 0 =1/2!

2. Temukan akar persamaan dari persamaan f(x)=sin(x)/x dengan rentang pencarian x=0,5 dan x=1!

3. Hitung integral fungsi f(x)=sin2(x) pada domain x∈[0,π] !

Jawaban !

untuk penyelesaian soal nomer 1 dan nomer 2, saya menggunakan fungsi root_secant. Agar kode untuk menghitung persamaan dapat berjalan, maka diperlukan sebuah sintaks. Berikut ini adalah sintaks yang digunakan pada fungsi root_secant:

root_secant <- function(f, x, tol=1e-7, N=100){
  iter <- 0
  
  xold <- x
  fxold <- f(x)
  x <- xold+10*tol
  
  while(abs(x-xold)>tol){
    iter <- iter+1
    if(iter>N)
      stop("No solutions found")
    
    fx <- f(x)
    xnew <- x - fx*((x-xold)/(fx-fxold))
    xold <- x
    fxold <- fx
    x <- xnew
  }
  
  root<-xnew
  return(list(`function`=f, root=root, iter=iter))
}

1. f(x)=x3−2x+2

   1. 𝒙0 =0

   root_secant(function(x){x^3-2*x+2}, x=0)

   ## $`function`
   ## function(x){x^3-2*x+2}
   ## <bytecode: 0x0000000015cbf0d0>
   ## 
   ## $root
   ## [1] -1.769292
   ## 
   ## $iter
   ## [1] 26

2. 𝒙0 =1/2

root_secant(function(x){x^3-2*x+2}, x=1/2)

## $`function`
## function(x){x^3-2*x+2}
## <bytecode: 0x0000000012dc82b0>
## 
## $root
## [1] -1.769292
## 
## $iter
## [1] 16

2. f(x)=sin(x)/x

1. x=0,5

root_secant(function(x){sin(x)/x}, x=0.5)

## $`function`
## function(x){sin(x)/x}
## <bytecode: 0x000000001502b1f0>
## 
## $root
## [1] 6.283185
## 
## $iter
## [1] 7

2. x=1

root_secant(function(x){sin(x)/x}, x=1)

## $`function`
## function(x){sin(x)/x}
## <bytecode: 0x00000000153c6818>
## 
## $root
## [1] 3.141593
## 
## $iter
## [1] 8

3. Untuk penyelesaian soal nomor 3, saya akan menggunakan metode Trapezoidal. berikut adalah sintaks yang digunakan:

trapezoid <- function(ftn, a, b, n = 100) {
         h <- (b-a)/n
         x.vec <- seq(a, b, by = h)
         f.vec <- sapply(x.vec, ftn)     # ftn(x.vec)
         Trap <- h*(f.vec[1]/2 + sum(f.vec[2:n]) + f.vec[n+1]/2)
         return(Trap)
}

mendefinisikan fungsi f(x)

f <- function(x){
      sin(x)^2
}

menghitung soal Integral menggunakan Trapezoid dengan permisalan n=6

trapezoid(f,0,pi,n = 6)

## [1] 1.570796

summary(cars)

##      speed           dist       
##  Min.   : 4.0   Min.   :  2.00  
##  1st Qu.:12.0   1st Qu.: 26.00  
##  Median :15.0   Median : 36.00  
##  Mean   :15.4   Mean   : 42.98  
##  3rd Qu.:19.0   3rd Qu.: 56.00  
##  Max.   :25.0   Max.   :120.00

##      speed           dist       
##  Min.   : 4.0   Min.   :  2.00  
##  1st Qu.:12.0   1st Qu.: 26.00  
##  Median :15.0   Median : 36.00  
##  Mean   :15.4   Mean   : 42.98  
##  3rd Qu.:19.0   3rd Qu.: 56.00  
##  Max.   :25.0   Max.   :120.00

Sumber :

Rosidi, M. Metode Numerik Menggunakan R untuk Teknik Lingkungan.

https://bookdown.org/moh_rosidi2610/Metode_Numerik/rootfinding.html#latihan-1

https://bookdown.org/moh_rosidi2610/Metode_Numerik/diffinteg.html#latihan-3