2.1 Características

• Está dado en las mismas unidades de la variable de estudio.
• Es sensible a valores extremos.
• No da razón de la dispersión de los datos respecto a un valor particular o a una medida de tendencia central.

2.2 Ejemplo 1

Los datos que se presentan a continuación corresponden a los tiempos (en minutos) de ejecución de una tarea determinada de una muestra de empleados de dos empresas.

Empresa 1: 34.5, 30.7, 32.9, 36.0, 34.1, 34.0, 32.3

Empresa 2: 34.0, 27.5, 31.6, 39.7, 35.3, 34.7, 31.7

Calcular e interpretar el rango en cada caso.

El rango de la empresa 1 es $$R = x_{\max} - x_{\min} = 36.0 - 30.7 = 5.3,$$ mientras que el rango de la empresa 2 es $$R = x_{\max} - x_{\min} = 39.7 - 27.5 = 12.2.$$ Se observa que el recorrido de los tiempos de la segunda empresa es mayor que el recorrido de los tiempos de la primera en 6.9 minutos.

# datos empresa 1
x_1 <- c(34.5, 30.7, 32.9, 36.0, 34.1, 34.0, 32.3)
# datos empresa 2
x_2 <- c(34.0, 27.5, 31.6, 39.7, 35.3, 34.7, 31.7)
# rango
max(x_1) - min(x_1)

## [1] 5.3

max(x_2) - min(x_2)

## [1] 12.2

# otra manera
diff(range(x_1))

## [1] 5.3

diff(range(x_2))

## [1] 12.2

3.1 Características

• Está dado en las mismas unidades de la variable de estudio.
• Es una medida robusta (poco influenciable) a valores extremos.
• No da razón de la dispersión de los datos respecto a un valor particular o a una medida de tendencia central.

3.2 Ejemplo 2

El rango intercuartílico de la empresa 1 es $$RI = Q_3 - Q_1 = 34.30 - 32.60 = 1.70,$$ mientras que el rango intercuartílico de la empresa 2 es $$RI = Q_3 - Q_1 = 35.00 - 31.65 = 3.35.$$ Se observa que el recorrido del 50% de los tiempos “intermedios” de la segunda empresa es mayor que el mismo recorrido de los tiempos de la primera en 1.65 minutos. Aunque todavía hay una diferencia clara, no es tan notoria como sí lo es con el rango, lo que sugiere que hay tiempos considerablemente superiores en la primera empresa en comparación con la segunda.

# datos empresa 1
x_1 <- c(34.5, 30.7, 32.9, 36.0, 34.1, 34.0, 32.3)
# datos empresa 2
x_2 <- c(34.0, 27.5, 31.6, 39.7, 35.3, 34.7, 31.7)
# rango intercuartilico
diff(quantile(x = x_1, probs = c(0.25, 0.75)))

## 75% 
## 1.7

diff(quantile(x = x_2, probs = c(0.25, 0.75)))

##  75% 
## 3.35

4.1 Características

• Una desviación positiva(negativa) indica que el dato es mayor(menor) que el promedio.
• Una desviación igual a 0 quiere decir que el dato es exactamente igual al promedio.
• La suma de todas las desviaciones del conjunto de datos es cero, es decir, $\displaystyle\sum_{i=1}^{n} d_i = \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x}) = 0$.

Ejercicio: ¿Por qué $\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})=0$?

Dado que el resultado de dicha sumatoria siempre es igual a cero, una alternativa para definir una medida de variabilidad respecto al promedio, consiste en elevar al cuadrado cada uno de los sumandos, $(x_i-\bar{x})^2$. Esto da lugar al concepto de varianza.

5.1 Características

• Está dada en las unidades de la variable de estudio al cuadrado.
• La relación entre la varianza y la dispersión de un conjunto de datos es directa.
• Es sensible a datos atípicos.

5.2 Propiedades

• $V(x)\geq 0$.
• Si $k$ es una constante, entonces $V(k)=0$.
• Si $k$ es una constante, entonces $V(k\,x)=k^2\,V(x)$.
• Una forma alternativa para calcular la varianza muestral es: $$s^2 = \frac{1}{n-1}\left(\sum_{i=1}^n x_i^2 - n\,\bar{x}^2\right).$$
• Si $X$ y $Y$ son dos variables conmensurables, entonces $V(x+y)$ no es necesariamente igual a $V(x) + V(y)$.

5.3 Ejemplo 3

Se tienen los siguientes conjuntos de datos:

Conjunto de datos I: 50, 50, 50, 50 , 50

Conjunto de datos II: 45, 50, 55, 47 , 53

Conjunto de datos III: 3, 97, 10, 105, 35

A continuación se presenta el valor del promedio y de la varianza para los tres conjuntos de datos, junto con un diagrama de caja para cada uno.

¿Para cuál de los tres conjuntos la media resulta ser una buena representación de los datos? ¿Para cuál la peor? ¿Por qué?

# datos
x_1 <- rep(50, 5)
x_2 <- c(45, 50, 55, 47, 53)
x_3 <- c(3, 97, 10, 105, 35)
# promedio
mean(x_1)

## [1] 50

mean(x_2)

## [1] 50

mean(x_3)

## [1] 50

# varianza
var(x_1)

## [1] 0

var(x_2)

## [1] 17

var(x_3)

## [1] 2317

5.4 Ejercicios

1. Verifique las propiedades 2 y 4 y con base en éstas demuestre que $V(k_1\,x + k_2)=k_1^2\,V(x)$.

2. En una compañía de reparación de maquinaria especializada se midió durante un mes el número de días que tarda una unidad que ingresa por motivo de una falla específica. Se observó que en total ingresaron 65 unidades, con un promedio de 5 días y una varianza de 40 días$^2$. Se estima que el costo de la reparación es de $500$ USD básicos, más US $150$ USD por día. Calcular la media y la varianza de los costos de reparación de éstas 65 unidades.

5.5 Datos agrupados

En algunas ocasiones, los datos disponibles están disponibles en una tabla de frecuencias de la siguiente forma:

$y_j, j=1,...,m$ son los valores que toma la variable de estudio (categorías), y $n_j$ y $h_j$ son respectivamente las frecuencias absolutas y relativas de la $i$-ésima categoría.

Así, se tiene que: $$M(y)=\bar{y}=\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{m}n_j y_j = \sum_{j=1}^m h_jy_j$$ y $$V(y)=s^2=\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{m} n_j (y_j-\bar{y})^2 = \sum_{j=1}^m h_j (y_j-\bar{y})^2$$ con $n=\displaystyle\sum_{j=1}^{m}n_j$.

Observe que esta definición corresponde a la definición de la varianza sin corregir dado que en la expresión el denominar es $n$ en lugar de $n-1$.

5.6 Descomposición de la varianza

La descomposición de la varianza se calcula cuando se tienen grupos (que conforman una partición) dentro de la población o la muestra y se busca determinar si la variabilidad de la variable estudiada se debe más a las diferencias entre los grupos (intervarianza) o dentro de los grupos (intravarianza).

Nota: Dado un conjunto $\Omega$, se dice que la colección de subconjuntos $A_1,A_2,\ldots,A_m$ conforman una partición de $\Omega$ si:

1. $\displaystyle\bigcup_{j=1}^{m}A_j=\Omega$.
2. $A_i\cap A_j=\phi$, para todo $i\neq j$.

Ahora, suponga que $A_1,A_2,\ldots,A_m$ conforman una partición de la muestra, y que $\bar{x}_1,\bar{x}_2,\ldots,\bar{x}_m$ y $s^2_{1},s^2_{2},\ldots,s^2_{m}$ son los promedios y las varianzas muestrales de la variable para cada $A_1,A_2,\ldots,A_m$, respectivamente. Así, se tiene que:

$$V(x) = \frac{1}{n-1}\sum_{j=1}^{m}(n_j-1)\,s^2_j + \frac{1}{n-1}\sum_{j=1}^{m}n_j(\bar{x}_j-\bar{x})^2 =s^2_w +s^2_b$$ donde $\bar{x}=\displaystyle\frac1n\sum_{j=1}^{m} n_j\,\bar{x}_j = \frac1n\sum_{j=1}^m\sum_{i=1}^{n_j} x_{i,j}$ es la media de la muestra, $x_{i,j}$ es la observación $i$ del grupo $j$, $s^2_w=\displaystyle\frac{1}{n-1}\sum_{j=1}^{m}(n_j-1)\,s^2_j$ es la intravarianza y $S^2_b=\displaystyle\frac{1}{n-1}\sum_{j=1}^{m}n_j(\bar{x}_j-\bar{x})^2$ la intervarianza.

5.7 Ejercicio

¿Cómo se puede calcular el porcentaje de varianza debido a las diferencias entre los grupos? ¿Cómo se interpreta dicho porcentaje?

6.1 Estandarización

Se denomina estandarización o tipificación al proceso de restar de una variable la media y luego dividir por la desviación estándar. De este modo, si $x_1,x_2,\ldots, x_n$ es un conjunto de $n$ realizaciones de una variable $X$, entonces cuando se realiza este proceso se obtiene una nueva variable, denotada con $Z$, cuyas observaciones está dadas por $$z_i= \frac{x_i - \bar{x}}{s}$$ para $i = 1,2,\ldots,n$. La variable $Z$ se denomina variable estandarizada o variable tipificada.

• La estandarización se utiliza cuando se quieren comparar individuos bajo escenarios diferentes. Por ejemplo, si se quiere comparar el nivel académico de dos estudiantes de diferentes universidades para otorgar una beca de estudios.
• Una variable estandarizada es una variable adimensional (no tiene unidades de medición).
• La estandarización permite hacer comparaciones entre magnitudes que en principio no son comparables.
• Si $z_1,z_2,\ldots, z_n$ son los valores de una variable estandarizada, entonces $M(z) = 0$ y $V(z) = 1$.

# datos empresa 1
x_1 <- c(34.5, 30.7, 32.9, 36.0, 34.1, 34.0, 32.3)
# datos empresa 2
x_2 <- c(34.0, 27.5, 31.6, 39.7, 35.3, 34.7, 31.7)
# promedio y desviacion estandar empresa 1
m_1 <- mean(x_1)
s_1 <- sd(x_1)
print(m_1)

## [1] 33.5

print(s_1)

## [1] 1.707825

# promedio y desviacion estandar empresa 2
m_2 <- mean(x_2)
s_2 <- sd(x_2)
print(m_2)

## [1] 33.5

print(s_2)

## [1] 3.790778

# datos estandarizados empresa 1
(x_1 - m_1)/s_1

## [1]  0.5855400 -1.6395121 -0.3513240  1.4638501  0.3513240  0.2927700 -0.7026481

# datos estandarizados empresa 2
(x_2 - m_2)/s_2

## [1]  0.1318990 -1.5827884 -0.5012163  1.6355480  0.4748365  0.3165577 -0.4748365

# promedio y varianza datos estandarizados empresa 1
mean((x_1 - m_1)/s_1)

## [1] -3.01354e-16

var((x_1 - m_1)/s_1)

## [1] 1

# promedio y varianza datos estandarizados empresa 2
mean((x_2 - m_2)/s_2)

## [1] 1.030883e-16

var((x_2 - m_2)/s_2)

## [1] 1

7.1 Características

• Es una medida adimensional.
• La relación entre el coeficiente de variación y la dispersión de un conjunto de datos es directa.
• Es sensible a valores atípicos.
• Es un valor no negativo.
• Si el promedio es igual a 0, entonces el coeficiente de variación no está definido.

7.2 Ejercicio

Calcular el coeficiente de variación de los datos del Ejemplo 1. Comentar los resultados obtenidos.