Soal dan Jawaban UTS Semester 1 Mata Kuliah Kalkulus

Lembaga : Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang

Jurusan : Teknik Informatika

Soal

1. Temukan akar persamaan dari persamaan non-linier \(f(x)=x^3-2x+2\) menggunakan metode terbuka dengan \(x\) ₀ \(=0\) dan \(x\) ₀ \(=1/2\)!

2. Temukan akar persamaan dari persamaan \(f(x)=sin(x)/x\) dengan rentang pencarian \(x=0,5\) dan \(x=1\) !

3. Hitung integral fungsi \(f(x)=sin^2(x)\) pada domain \(x∈[0,𝜋]\) !

Jawab

Pada penyelesaian soal nomor 1 dan 2, saya akan menggunakan fungsi root_secant. Agar kode untuk menghitung persamaan dapat berjalan, maka diperlukan sintaks. Berikut adalah sintaks yang digunakan pada fungsi root_secant :

root_secant <- function(f, x, tol=1e-7, N=100){
  iter <- 0
  
  xold <- x
  fxold <- f(x)
  x <- xold+10*tol
  
  while(abs(x-xold)>tol){
    iter <- iter+1
    if(iter>N)
      stop("No solutions found")
    
    fx <- f(x)
    xnew <- x - fx*((x-xold)/(fx-fxold))
    xold <- x
    fxold <- fx
    x <- xnew
  }
  
  root<-xnew
  return(list(`function`=f, root=root, iter=iter))
}

1. \(f(x)=x^3-2x+2\)

   a. 𝒙₀ \(=0\)

   root_secant(function(x){x^3-2*x+2}, x=0)

   ## $`function`
   ## function(x){x^3-2*x+2}
   ## <bytecode: 0x00000000118a0f38>
   ## 
   ## $root
   ## [1] -1.769292
   ## 
   ## $iter
   ## [1] 26

   b. 𝒙₀ \(=1/2\)

   root_secant(function(x){x^3-2*x+2}, x=1/2)

   ## $`function`
   ## function(x){x^3-2*x+2}
   ## <bytecode: 0x00000000102dd2a8>
   ## 
   ## $root
   ## [1] -1.769292
   ## 
   ## $iter
   ## [1] 16

2. \(f(x)=sin(x)/x\)

   a. \(x = 0,5\)

   root_secant(function(x){sin(x)/x}, x=0.5)

   ## $`function`
   ## function(x){sin(x)/x}
   ## <bytecode: 0x0000000010d24978>
   ## 
   ## $root
   ## [1] 6.283185
   ## 
   ## $iter
   ## [1] 7

   b. \(x=1\)

   root_secant(function(x){sin(x)/x}, x=1)

   ## $`function`
   ## function(x){sin(x)/x}
   ## <bytecode: 0x0000000011605640>
   ## 
   ## $root
   ## [1] 3.141593
   ## 
   ## $iter
   ## [1] 8

3. Untuk menyelesaikan soal nomor 3, saya akan menggunakan metode Trapezoidal. berikut adalah sintaks yang digunakan:

   trapezoid <- function(ftn, a, b, n = 100) {
            h <- (b-a)/n
            x.vec <- seq(a, b, by = h)
            f.vec <- sapply(x.vec, ftn)     # ftn(x.vec)
            Trap <- h*(f.vec[1]/2 + sum(f.vec[2:n]) + f.vec[n+1]/2)
            return(Trap)
   }

   mendefinisikan fungsi \(f(x)\)

    f <- function(x){
         sin(x)^2
       }

   menghitung soal Integral menggunakan Trapezoid dengan permisalan \(n=6\)

   trapezoid(f,0,pi,n = 6)

   ## [1] 1.570796

   ---

Sumber :

Rosidi, M. Metode Numerik Menggunakan R untuk Teknik Lingkungan.

https://bookdown.org/moh_rosidi2610/Metode_Numerik/rootfinding.html#latihan-1

https://bookdown.org/moh_rosidi2610/Metode_Numerik/diffinteg.html#latihan-3

summary(cars)

##      speed           dist       
##  Min.   : 4.0   Min.   :  2.00  
##  1st Qu.:12.0   1st Qu.: 26.00  
##  Median :15.0   Median : 36.00  
##  Mean   :15.4   Mean   : 42.98  
##  3rd Qu.:19.0   3rd Qu.: 56.00  
##  Max.   :25.0   Max.   :120.00