Soal dan Pembahasan 1

Soal

Susunlah sintaks R untuk penjumlahan deret berikut! \[ \begin{equation} z = 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \frac{1}{8} + \cdots \end{equation} \]

Pembahasan

Penyebut pada deret yang terdapat di soal membentuk barisan bilangan fibonacci \(\small{1 \ \ 1 \ \ 2 \ \ 3 \ \ 5 \ \ 8 \ \ 13 \ \ 21 \ \dots}\) . Untuk menentukan jumlah dari deret tersebut, terlebih dahulu dibentuk fungsi untuk menghasilkan suku ke-\(\small{i}\) barisan bilangan fibonacci, sebagai berikut:

fibonacci <- function(n){
  fib <- numeric(n)
  for (i in 1:n) {
    if (i<=2){
      fib[i] <- 1
    } else{
      fib[i] <- fib[i-1] + fib[i-2]
    }
  }
  return(fib[i])
}

# memanggil 10 suku pertama barisan fibonacci
sapply(1:10, fibonacci)

##  [1]  1  1  2  3  5  8 13 21 34 55

Setelah fungsi untuk barisan bilangan fibonacci dibentuk, deret fungsi pada soal dapat ditulis kembali menjadi \[ \begin{equation} z = \Sigma_{n=1}^\infty {\frac{1}{fibonacci(n)}}. \end{equation} \]

Selanjutnya menghitung jumlah deret fungsi sebagai berikut:

# deret fungsi
z <- function(n){
  1/fibonacci(n)
}

# mendefinisikan nilai awal
e <- 100
n <- 1
z0 <- 0

# menghitung jumlah deret
while (e > 10e-7) {
  z1 <- z0 + z(n)
  e <- abs(z1-z0)
  z0 <- z1
  n <- n+1
}
cat("jumlah deret =", z1)

## jumlah deret = 3.359884

Berdasarkan hasil yang diperoleh, jumlah deret \(\small{z = 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \frac{1}{8} + \cdots}\) adalah 3.359884.

Soal dan Pembahasan 2

Soal

Susunlah sintaks R untuk penjumlahan deret berikut! \[ \begin{equation} z = 10-2 \ \ + \ \ 0.4-0.08\ \ + \ \ \cdots \end{equation} \]

Pembahasan

Fungsi deret yang ada pada soal dapat ditulis ulang menjadi \[\begin{equation} z = \frac{10}{5^0} - \frac{10}{5^1} \ \ + \ \ \frac{10}{5^2} - \frac{10}{5^3} \ \ + \ \ \cdots. \end{equation}\]

Jika disusun kedalam suatu persamaan, maka bentuk deret fungsinya adalah \[ \begin{equation} z = \Sigma_{n=0}^\infty \ {(-1)^n \ \frac{10}{5^n}} \end{equation}\] Untuk menghitung jumlah deret tersebut, dibuat suatu fungsi sebagai berikut:

# deret fungsi
z <- function(variables) {
  ((-1)^(n)) * (10/(5^n))
  
}

# mendefinisikan nilai awal
e <- 100
n <- 0
z0 <- 0

# menghitung jumlah deret
while (e > 10e-7) {
  z1 <- z0 + z(n)
  e <- abs(z1-z0)
  z0 <- z1
  n <- n+1
}
cat("jumlah deret =", z1)

## jumlah deret = 8.333333

Berdasarkan hasil yang diperoleh, jumlah deret \(\small{z = 10-2 + 0.4-0.08 + \cdots}\) adalah 8.333333.

Soal dan Pembahasan 3

Soal

Buatlah fungsi untuk mengurutkan vektor berikut dari besar ke kecil. Bandingkan hasilnya dengan menggunakan fungsi sort yang ada di R. \[ \begin{equation} x = [13, 7, 6, 45, 21, 9, 101, 102] \end{equation} \]

Pembahasan

Fungsi untuk mengurutkan vektor x dari yang terbesar ke terkecil, sebagai berikut:

# mendefiniskan vektor x
x <- c(13,7,6,45,21,9,101,102)

sort_x <- function(x){
  n <- length(x) # jumlah amatan
  
  # iterasi 1
  for (i in 1:n) {
    j <- i+1
    # iterasi 2
    for (j in 1:n) {
      # memeriksa kondisi apakah elemen ke- j+1 lebih besar dari elemen ke- j
      if(x[i] > x[j]){
           a <- x[i] 
        x[i] <- x[j]
        x[j] <- a
      }
    }
  }
  return(x)
}  

Setelah fungsi untuk mengurutkan vektor x dibuat, selanjutnya mengurutkan vektor x menggunakan fungsi tersebut

sort_x(x)

## [1] 102 101  45  21  13   9   7   6

Berdasarkan hasil yang diperoleh, urutan vektor x menjadi \(\small{x= 102, 101, 45, 21, 13, 9, 7, 6}\). Selanjutnya mengurutkan vektor x menggunakan fungsi sort yang ada di R.

sort(x, decreasing = TRUE)

## [1] 102 101  45  21  13   9   7   6

Berdasarkan hasil yang diperoleh, urutan vektor x menjadi \(\small{x= 102, 101, 45, 21, 13, 9, 7, 6}\). Dengan demikian, dapat ditarik kesimpulan bawah fungsi untuk mengurutkan vektor x yang dibuat sort_x memiliki hasil yang sama dengan fungsi sort yang terdapat dalam R.

Demikianlah soal dan pembahasan mengenai algoritma iteratif. Semoga bermanfaat.