Penyelesaian Akar Polinomial Menggunakan Metode Secant

Dosen Pengampu : Prof. Dr. Suhartono, M.Kom

Lembaga : Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang

Jurusan : Teknik Informatika

Pengertian Persamaan Linear dan Nonlinear

Persamaan linear adalah persamaan aljabar yang setiap sukunya mengandung konstanta atau hasil kali konstanta dengan variabel tunggal. Persamaan non-linier dapat diartikan sebagai persamaan yang tidak mengandung syarat seperti persamaan linier, sehingga persamaan non-linier dapat merupakan:

1. Persamaan yang memiliki pangkat selain satu (misal: x² x²)

2. Persamaan yang mempunyai produk dua variabel (misal: xy)

Pengertian Metode Secant

Metode secant merupakan perbaikan dari metode regulasi dan Newton Raphson, di mana kemiringan dua titik direpresentasikan secara diskrit dengan mengambil bentuk garis lurus yang melalui titik-titik tersebut. Persamaan yang dihasilkan ada dalam persamaan. Hal ini ditunjukkan pada persamaan.

Algoritma Metode Secant

1. Definisikan f(x)f(x) dan f′(x)f′(x)
2. Tentukan nilai toleransi ee dan iterasi masimum (N)
3. Tentukan tebakan awal x0x0 dan x1x1
4. Hitung f(x0)f(x0) dan f(x1)f(x1)
5. Untuk iterasi i=1i=1 s/d NN atau |f(x)|≥e|f(x)|≥e
6. Akar persamaan adalah nilai x yang terakhir

Fungsi root_secant() merupakan fungsi yang penulis buat untuk melakukan iterasi menggunakan metode Secant. Berikut merupakan sintaks dari fungsi tersebut :

root_secant <- function(f, x, tol=1e-7, N=100){
  iter <- 0
  
  xold <- x
  fxold <- f(x)
  x <- xold+10*tol
  
  while(abs(x-xold)>tol){
    iter <- iter+1
    if(iter>N)
      stop("No solutions found")
    
    fx <- f(x)
    xnew <- x - fx*((x-xold)/(fx-fxold))
    xold <- x
    fxold <- fx
    x <- xnew
  }
  
  root<-xnew
  return(list(`function`=f, root=root, iter=iter))
}

Lembar Kerja Mahasisawa

1. Cari hasil perkalian dari tiga persamaan berikut (x + 2)²(x − 1)⁴(x + 5).

   Hasil perkalian dari 3 persamaan tersebuat adalah x⁷ + 5x⁶ - 6x⁵ - 26x⁴ + 29x³ + 33x² - 56x + 20. Selanjutnya kita coba selesaikan dengan mencari akar polinomial melalui fungsi root_secant() :

   root_secant(function(x){((x + 2)^2)*((x − 1)^4)*(x + 5)}, x=0)

   ## $`function`
   ## function(x){((x + 2)^2)*((x - 1)^4)*(x + 5
   ## <bytecode: 0x000000001577d878>
   ## 
   ## $root
   ## [1] 0.9999996
   ## 
   ## $iter
   ## [1] 72

   Berdasarkan hasil iterasi diperoleh nilai akar penyelesaian adalah x=0.9999996 dengan iterasi dilakukan sebanyak 72 kali.

2. Cari faktor dari persamaan 6x⁴ + 11x³ − 56x² − x + 60

   Faktor dari persamaan tersebut = (x +1)(2x-3)(x+4)(3x-5). Selanjutnya kita coba selesaikan dengan mencari akar polinomial melalui fungsi root_secant() :

   root_secant(function(x){6*(x^4)+11*(x^3)-56*(x^2)+60}, x=0)

   ## $`function`
   ## function(x){6*(x^4)+11*(x^3)-56*(x^2)+60}
   ## <bytecode: 0x0000000014ae0588>
   ## 
   ## $root
   ## [1] 1.000008e-06
   ## 
   ## $iter
   ## [1] 3

   Berdasarkan hasil iterasi diperoleh nilai akar penyelesaian adalah x=1.000008e-06 dengan iterasi dilakukan sebanyak 3 kali.

3. Cari penyelesaian persamaan x⁴ − 5x³ + 3x² + x = 0

   Penyelesaian : x(x-1)(x² -4x-1) = 0

   maka x₁ = 2 - 5^1/2 , x₂ = 0 , x₃ = 1, x₄ = 2 + 5^1/2 . Selanjutnya kita coba selesaikan dengan mencari akar polinomial melalui fungsi root_secant() :

   root_secant(function(x){x^4-5*(x^3)+3*(x^2)+x}, x=0)

   ## $`function`
   ## function(x){x^4-5*(x^3)+3*(x^2)+x}
   ## <bytecode: 0x00000000157589e0>
   ## 
   ## $root
   ## [1] 0
   ## 
   ## $iter
   ## [1] 2

   Berdasarkan hasil iterasi diperoleh nilai akar penyelesaian adalah x=0 dengan iterasi dilakukan sebanyak 2 kali.

4. Cari penyelesaian dari pertidaksamaan 7x – 1 < 2x + 3

   Penyelesaian : 7x - 2x < 3 + 1

   Penyelesaian : 5x < 4

   Penyelesaian : x < 4/5

   Selanjutnya kita coba selesaikan dengan mencari akar polinomial melalui fungsi root_secant() :

   root_secant(function(x){7*x - 2*x - 1 - 3}, x=0)

   ## $`function`
   ## function(x){7*x - 2*x - 1 - 3}
   ## <bytecode: 0x00000000129e95f0>
   ## 
   ## $root
   ## [1] 0.8
   ## 
   ## $iter
   ## [1] 2

   Berdasarkan hasil iterasi diperoleh nilai akar penyelesaian adalah x= 0.8 dengan iterasi dilakukan sebanyak 2 kali.

Refrensi

Suhartono. 2015. Memahami Kalkulus Dasar Menggunakan Wolfram Mathematica 9. Malang : UIN Maliki Malang.

https://bookdown.org/moh_rosidi2610/Metode_Numerik/rootfinding.html#bracketing