Fórmula base:
\[ {\displaystyle {\hat {\rho }}_{XY\cdot \mathbf {Z} }={\frac {N\sum _{i=1}^{N}e_{X,i}e_{Y,i}-\sum _{i=1}^{N}e_{X,i}\sum _{i=1}^{N}e_{Y,i}}{{\sqrt {N\sum _{i=1}^{N}e_{X,i}^{2}-\left(\sum _{i=1}^{N}e_{X,i}\right)^{2}}}~{\sqrt {N\sum _{i=1}^{N}e_{Y,i}^{2}-\left(\sum _{i=1}^{N}e_{Y,i}\right)^{2}}}}}} \]
Note que, no caso em que \(Z\) é uma variável única, isto se reduz a: \[ \rho _{XY\cdot Z}={\frac {\rho _{XY}-\rho _{XZ}\rho _{ZY}}{{\sqrt {1-\rho _{XZ}^{2}}}{\sqrt {1-\rho _{ZY}^{2}}}}} \]
A correlação parcial é uma medida da relação entre quaisquer variáveis \(X_1,X_2,...,X_N\) , quando as demais variáveis são eliminadas (mantendo-as constantes, ceteris paribus).
Nota: o subscrito \(1\) é usado para denotar \(Y\).
As correlações parciais (de primeira ordem):
\(\rho_{12.3}\) ou \(\rho_{21.3}\) denota a correlação entre \(Y\) e \(X_2\) eliminando o efeito de \(X_3\).
\(\rho_{13.2}\) ou \(\rho_{31.2}\) denota a correlação entre \(Y\) e \(X_3\) eliminando o efeito de \(X_2\).
\(\rho_{32.1}\) ou \(\rho_{23.1}\) denota a correlação entre \(X_3\) e \(X_2\) eliminando o efeito de \(Y\).
Assim, considerando as correlações (de ordem zero):
\(\rho_{12}\) ou \(\rho_{21}\) denota a correlação entre \(Y\) e \(X_2\).
\(\rho_{13}\) ou \(\rho_{31}\) denota a correlação entre \(Y\) e \(X_3\).
\(\rho_{32}\) ou \(\rho_{23}\) denota a correlação entre \(X_3\) e \(X_2\).
| \(Y\) | \(X_2\) | \(X_3\) | |
|---|---|---|---|
| \(Y\) | 1 | \(\rho_{12}\) | \(\rho_{13}\) |
| \(X_2\) | 1 | \(\rho_{23}\) | |
| \(X_3\) | 1 |
Lembrando que:
\[ \rho_{XY} = \frac {cov(X,Y)} {\sigma(X)\sigma(Y)} = \frac{E[(X-\mu_x)(Y-\mu_y)]}{\sqrt(\sigma^2(X)\sigma^2(Y))} \]
Temos:
\[ \rho _{12\cdot 3} = {\frac { \rho_{12} - \rho_{13}\rho_{23} } { { \sqrt {1 - \rho_{13}^{2} } } { \sqrt {1 - \rho_{23}^{2} } } } } \]
\[ \rho _{13\cdot 2} = {\frac { \rho_{13} - \rho_{12}\rho_{32} } { { \sqrt {1 - \rho_{12}^{2} } } { \sqrt {1 - \rho_{32}^{2} } } } } \]
\[ \rho _{32\cdot 1} = {\frac { \rho_{32} - \rho_{12}\rho_{13} } { { \sqrt {1 - \rho_{12}^{2} } } { \sqrt {1 - \rho_{13}^{2} } } } } \]
Interpretação
Se hover pouca alteração entre a correlação simples e a parcial há evidencia de relação direta entre as variáveis.
Dado que \(\rho_{12}=0,6\), \(\rho_{13}=-0,9\) e \(\rho_{23}=-0,5\), determinar o coeficiente parcial de \(\rho_{12.3}\):
rho_12.3a <- rho_13*rho_23
rho_12.3b <- rho_12 - rho_12.3a
rho_12.3c <- rho_13^2
rho_12.3d <- rho_23^2
rho_12.3e <- 1-rho_12.3c
rho_12.3f <- 1-rho_12.3d
rho_12.3g <- round((sqrt(rho_12.3e)),4)
rho_12.3h <- round((sqrt(rho_12.3f)),4)
rho_12.3i <- round((rho_12.3g*rho_12.3h),4)
rho_12.3 <- round((rho_12.3b / rho_12.3i),4)
rho_12.3## [1] 0,3974\[ \begin{aligned} \rho_{12.3} &= \frac {0,6 - (-0,9*-0,5)}{\sqrt(1-(-0,9)^2)\sqrt(1-(-0,5)^2)} \\ &= \frac {0,6 - 0,45} {\sqrt (1-0,81)(1-0,25) }\\ &= \frac {0,15} {\sqrt (0,19 * 0,75) }\\ &= \frac {0,15} {0,4359*0,866} \\ &= \frac {0,15} {0,3775}\\ &= 0,3974 \end{aligned} \]
Dado que \(\rho_{12}=0,6\), \(\rho_{13}=-0,9\) e \(\rho_{23}=-0,5\), determinar o coeficiente parcial de \(\rho_{13.2}\):
rho_13.2a <- rho_12*rho_23
rho_13.2b <- rho_13 - rho_13.2a
rho_13.2c <- rho_12^2
rho_13.2d <- rho_23^2
rho_13.2e <- 1-rho_13.2c
rho_13.2f <- 1-rho_13.2d
rho_13.2g <- round((sqrt(rho_13.2e)),4)
rho_13.2h <- round((sqrt(rho_13.2f)),4)
rho_13.2i <- round((rho_13.2g*rho_13.2h),4)
rho_13.2 <- round((rho_13.2b / rho_13.2i),4)
rho_13.2## [1] -0,8661\[ \begin{equation} \begin{aligned} \rho_{13.2} &= \frac {-0,9 - (0,6*-0,5)}{\sqrt(1-(0,6)^2)\sqrt(1-(-0,5)^2)} \\ &= \frac {-0,9 - -0,3} {\sqrt (1-0,36)(1-0,25) }\\ &= \frac {-0,6} {\sqrt (0,64 * 0,75) }\\ &= \frac {-0,6} {0,8*0,866} \\ &= \frac {-0,6} {0,6928} \\ &= -0,8661 \end{aligned} \end{equation} \]
Dado que \(\rho_{12}=0,6\), \(\rho_{13}=-0,9\) e \(\rho_{23}=-0,5\), determinar o coeficiente parcial de \(\rho_{32.1}\):
Nota: o \(\rho_{32}\) é \(\rho_{23}\) e o \(\rho_{12}\) é \(\rho_{21}\)
rho_32.1a <- rho_12*rho_13
rho_32.1b <- rho_23 - rho_32.1a
rho_32.1c <- rho_12^2
rho_32.1d <- rho_13^2
rho_32.1e <- 1-rho_32.1c
rho_32.1f <- 1-rho_32.1d
rho_32.1g <- round((sqrt(rho_32.1e)),4)
rho_32.1h <- round((sqrt(rho_32.1f)),4)
rho_32.1i <- round((rho_32.1g*rho_32.1h),4)
rho_32.1 <- round((rho_32.1b / rho_32.1i),4)
rho_32.1## [1] 0,1147\[ \begin{aligned} \rho_{32.1} &= \frac {-0,5 - (0,6*-0,9)}{\sqrt(1-(0,6)^2)\sqrt(1-(-0,9)^2)} \\ &= \frac {-0,5 - -0,54} {\sqrt (1-0,36)(1-0,81) }\\ &= \frac {0,04} {\sqrt (0,64 * 0,19) }\\ &= \frac {0,04} {0,8*0,4359} \\ &= \frac {0,04} {0,3487}\\ &= 0,1147 \end{aligned} \]