Combinaciones y permutaciones
Introducción
Comúnmente se emplea la palabra combinación para referirse a varios elementos que componen un conjunto dado, por ejemplo, (1) “Me gusta la combinación de tu ropa: pantalón verde, polera azul y calzado negro.” o (2) “debo tomar tres combinaciones de Metro para llegar mi trabajo: L1-Ecuador, L5-Vicente Valdés y L4-Plaza de Puente Alto”. Sin embargo, es posible apreciar que en el primer caso el orden no es importante, mientras que en el segundo sí, ya que no se puede llegar al trabajo tomando las estaciones en sentido inverso. Cuando el orden de los elementos importa la combinación conforma una permutación.
Conjunto de datos
Para esta actividad usaremos la nómina oficial de los 26 jugadores que fueron citados para conformar la selección chilena en los amistosos contra Colombia y Guinea del año 2019, último ciclo de nuestra selección.
- ARQUEROS (3)
- Gabriel Arias | Racing (Argentina)
- Claudio Bravo | Manchester City (Inglaterra)
- Gonzalo Collao | Universidad de Chile
- DEFENSAS (9)
- Miiko Albornoz | Hannover (Alemania)
- Paulo Díaz | River Plate (Argentina)
- Mauricio Isla | Fenerbahce (Turquía)
- Guillermo Maripán | AS Mónaco (Francia)
- Gary Medel | Bologna (Italia)
- Óscar Opazo | Colo Colo
- Alfonso Parot | Universidad Católica
- Francisco Sierralta | Udinese (Italia)
- Sebastián Vegas | Morelia (México)
- VOLANTES (7)
- Charles Aránguiz | Bayer Leverkusen (Alemania)
- Claudio Baeza | Necaxa (México)
- Esteban Pavez | Al Nasr (Emiratos Árabes)
- César Pinares | Universidad Católica
- Erick Pulgar | Fiorentina (Italia)
- Diego Valdés | Santos (México)
- Arturo Vidal | Barcelona (España)
- DELANTEROS (7)
- Christian Bravo | Montevideo Wanderers (Uruguay)
- Niklas Castro | Aalesunds (Noruega)
- Jean Meneses | León (México)
- Felipe Mora | Pumas (México)
- Fabián Orellana | Eibar (España)
- Diego Rubio | Colorado Rapids (Estados Unidos)
- Alexis Sánchez | Inter de Milan (Italia)
#Definición de jugadores
jugadores=c("Gabriel Arias","Claudio Bravo"," Gonzalo Collao","Miiko Albornoz",
"Paulo Díaz ","Mauricio Isla","Guillermo Maripán","Gary Medel ",
"Óscar Opazo","Alfonso Parot","Francisco Sierralta","Sebastián Vegas",
"Charles Aránguiz","Claudio Baeza","Esteban Pavez","César Pinares",
"Erick Pulgar","Diego Valdés","Arturo Vidal","Christian Bravo",
"Niklas Castro","Jean Meneses","Felipe Mora","Fabián Orellana",
"Diego Rubio","Alexis Sánchez")Combinaciones
Una combinación corresponde a los subconjuntos que se pueden formar desde un conjunto sin importar el orden de los elementos, es decir \({a,b,c}={b,c,a}\). El número de combinaciones de \(n\) elementos que se puede hacer desde un total de \(N\) elementos es:
\[c_{N}^{n}=\frac{N!}{n!(N-n)!}\]
Ejemplo
Imagine que usted es acaba de asumir como director técnico de la selección chilena y desea conocer la mejor composición de jugadores que le permitirán obtener la victoria en aquellos partidos. Imagine que para cada combinación usted tiene que jugar un partido amistoso ¿Cuántos partidos debería jugar antes de un partido oficial?
Usted dispone de 26 jugadores (\(N\)), sin embargo, los que jugarán el partido solamente son 11 (\(n\)). Empleando la fórmula correspondiente, el número de partidos que deberá jugar son:
## [1] 7726160¡Se requiere jugar tan sólo 7,726,160 partidos! Ahora nótese que si usted sólo hubiese nominado a 11 jugadores, debido a que el orden de los jugadores en cancha no es de interés, usted sólo requeriría jugar 1 partido.
## [1] 1El cálculo de combinaciones y permutaciones también puede ser efectuado por la biblioteca gtools. Sin embargo, no se debe usar para \(m\) muy altos (véase la ayuda de las funciones) Probemos con un total de 15 jugadores convocados.
## [1] 1365n=11
N=15
partidos=combinations(N,n, jugadores)
numero=nrow(partidos)
print(numero) #El número de partidos## [1] 1365## [,1] [,2] [,3] [,4]
## [1,] " Gonzalo Collao" "Alexis Sánchez" "Alfonso Parot" "Arturo Vidal"
## [2,] " Gonzalo Collao" "Alexis Sánchez" "Alfonso Parot" "Arturo Vidal"
## [3,] " Gonzalo Collao" "Alexis Sánchez" "Alfonso Parot" "Arturo Vidal"
## [4,] " Gonzalo Collao" "Alexis Sánchez" "Alfonso Parot" "Arturo Vidal"
## [5,] " Gonzalo Collao" "Alexis Sánchez" "Alfonso Parot" "Arturo Vidal"
## [,5] [,6] [,7] [,8]
## [1,] "César Pinares" "Charles Aránguiz" "Christian Bravo" "Claudio Baeza"
## [2,] "César Pinares" "Charles Aránguiz" "Christian Bravo" "Claudio Baeza"
## [3,] "César Pinares" "Charles Aránguiz" "Christian Bravo" "Claudio Baeza"
## [4,] "César Pinares" "Charles Aránguiz" "Christian Bravo" "Claudio Baeza"
## [5,] "César Pinares" "Charles Aránguiz" "Christian Bravo" "Claudio Baeza"
## [,9] [,10] [,11]
## [1,] "Claudio Bravo" "Diego Rubio" "Diego Valdés"
## [2,] "Claudio Bravo" "Diego Rubio" "Erick Pulgar"
## [3,] "Claudio Bravo" "Diego Rubio" "Esteban Pavez"
## [4,] "Claudio Bravo" "Diego Rubio" "Fabián Orellana"
## [5,] "Claudio Bravo" "Diego Rubio" "Felipe Mora"Permutaciones o arreglos
Corresponde a una combinación cuando el orden del conjunto resulta importante. En el caso de que \(n=N\) se tratará de una permutación, si \(n<N\) se denomina arreglo. La fórmula de cálculo es:
\[A_{N}^{n}=\frac{N!}{(N-n)!}\]
Ejemplo
Además del plantel, usted ahora quiere determinar la posición ideal de cada jugador. En este caso, considerando una misma combinación de 11 jugadores, Gabriel Arias podría intercambiarse por Gary Medel jugando de portero y obtendríamos dos permutaciones diferentes (o arreglos). ¿Cuántos partidos debiese jugar para probar todas los arreglos?
## [1] 3.084036e+14Ahora sólo teniendo 11 jugadores (permutación)…
## [1] 39916800Intentar construir las permutaciones con la biblioteca mencionada demorará bastante tiempo, por lo que se reducirá el ejemplo.
n=5
N=5
partidos=permutations(N,n, jugadores)
numero=nrow(partidos)
print(numero) #El número de partidos## [1] 120## [,1] [,2] [,3] [,4]
## [1,] " Gonzalo Collao" "Alexis Sánchez" "Alfonso Parot" "Arturo Vidal"
## [2,] " Gonzalo Collao" "Alexis Sánchez" "Alfonso Parot" "César Pinares"
## [3,] " Gonzalo Collao" "Alexis Sánchez" "Arturo Vidal" "Alfonso Parot"
## [4,] " Gonzalo Collao" "Alexis Sánchez" "Arturo Vidal" "César Pinares"
## [5,] " Gonzalo Collao" "Alexis Sánchez" "César Pinares" "Alfonso Parot"
## [,5]
## [1,] "César Pinares"
## [2,] "Arturo Vidal"
## [3,] "César Pinares"
## [4,] "Alfonso Parot"
## [5,] "Arturo Vidal"Actividades
Empleando un conjunto de datos que usted estime conveniente. Efectúe ejemplos de combinaciones, permutaciones y arreglos.