12.1/13. Use Stirling’s Formula, prove that \[ \left(\begin{array}{c} 2 n \\ n \end{array}\right) \sim \frac{2^{2 n}}{\sqrt{\pi n}} \] Stirling’s Formula: \(n ! \sim \sqrt{2 \pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^{n}\) \[ \left(\begin{array}{c} 2 n \\ n \end{array}\right)=\frac{2 n !}{n !(2 n-n) !}=\frac{(2 n) !}{(n !)^{2}} \] Using Stirling’s Formula: \[ \begin{aligned} &\frac{(2 n) !}{(n !)^{2}} \sim \frac{\sqrt{2 \pi n}\left(\frac{2 n}{c}\right)^{2 n}}{\left(\sqrt{2 \pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^{n}\right)^{2}} \\ &=\frac{\sqrt{4 \pi n}\left(\frac{2 n}{c}\right)^{2 n}}{(\sqrt{2 \pi n})^{2}\left(\frac{n}{c}\right)^{2 n}} \\ &=\frac{2 \sqrt{\pi n}\left(\frac{2 n}{c}\right)^{2 n}}{2 \pi n\left(\frac{n}{e}\right)^{2 n}} \\ &=\frac{2 \sqrt{\pi n} \frac{(2 n)^{2 n}}{e^{2 n}}}{2 \pi n \frac{n^{2 n}}{c^{2 n}}} \\ &=\frac{2 \sqrt{\pi n}}{2 \pi n} \times \frac{(2 n)^{2 n}}{e^{2 n}} \times \frac{e^{2 n}}{n^{2 n}} \\ &=\frac{2 \sqrt{\pi n}}{2 \pi n} 2^{2 n} \\ &=\frac{2 \sqrt{\pi n}}{2 \pi n} \times \frac{\sqrt{\pi n}}{\sqrt{\pi n}} \times 2^{2 n} \\ &=\frac{2 \pi n \times 2^{2 n}}{2 \pi n \times \sqrt{\pi n}} \\ &=\frac{2^{2 n}}{\sqrt{\pi n}} \end{aligned} \]