1. La siguiente tabla muestra el número de accidentes mortales por año asociados con aerolíneas en todo el mundo durante un período de diez años (Fuente: Statistical Abstract of the United States). Suponga que el número de accidentes mortales en cada año son condicionalmente independientes y siguen una distribución Poisson con parámetro \(\theta\). Establezca una distribución previa para \(\theta\) y determine la distribución posterior con base en los datos de 1976 a 1985. Bajo este modelo, calcule un intervalo predictivo al 95% para el número de accidentes fatales en 1986.
Año Accidentes mortales
1976 24
1977 25
1978 31
1979 31
1980 22
1981 21
1982 26
1983 20
1984 16
1985 22
  1. Un laboratorio está estimando la tasa de tumorigenesis en dos cepas de ratones, A y B. Se tienen datos de conteo de tumores para 10 ratones en la cepa A y 13 ratones en la cepa B. Los ratones tipo A han sido bien estudiados e información de otros laboratorios sugiere que los ratones de tipo A tienen conteos de tumores aproximadamente distribuidos de acuerdo con una distribución de Poisson con media \(\theta_A \approx 12\). Se desconoce la tasa promedio de los tumores para los ratones de tipo B, \(\theta_B\), pero existe suficiente evidencia empírica para asegurar que los ratones de tipo B están relacionados con los ratones de tipo A. Los conteos de tumores observados para las dos cepas de ratones son \[ \boldsymbol{y}_A = (12, 9, 12, 14, 13, 13, 15, 8, 15, 6)\qquad\text{y}\qquad\boldsymbol{y}_B = (11, 11, 10, 9, 9, 8, 7, 10, 6, 8, 8, 9, 7)\,. \]
  1. Encuentre las distribuciones posteriores, las medias posteriores, las varianzas posteriores y los intervalos de credibilidad del 95% para \(\theta_A\) y \(\theta_B\), asumiendo modelos Gamma-Poisson independientes para cada grupo, con las siguientes distribuciones previas: \[ \theta_A\sim\textsf{Gamma}(120,10)\qquad\text{y}\qquad\theta_B\sim\textsf{Gamma}(12,1)\,. \]
  2. Calcule y grafique la media posterior de \(\theta_B\) bajo la distribución previa \[ \theta_B\sim \textsf{Gamma}(12m,m) \] para cada valor de \(m\in\{1, 2,\ldots,50\}\). Describa qué tipo de creencias previas sobre \(\theta_B\) serían necesarias para que la media posterior de \(\theta_B\) sea cercana a la de \(\theta_A\).
  1. La variable aleatoria \(X\) tiene distribución Galenshore con parámetros \(\alpha,\beta > 0\), i.e., \(X\mid\alpha,\beta\sim\textsf{Galenshore}(\alpha,\beta)\), si su función de densidad de probabilidad es \[ p(x\mid\alpha,\beta) = \frac{2}{\Gamma(\alpha)}\,\beta^{2\alpha}\,x^{2\alpha-1}\,e^{-\beta^2x^2}\,,\qquad x>0\,. \] Para esta distribución se tiene que \[ \textsf{E}(X\mid\alpha,\beta) = \frac{\Gamma(\alpha+\tfrac12)}{\beta\Gamma(\alpha)} \qquad\text{y}\qquad\textsf{E}(X^2\mid\alpha,\beta) = \frac{\alpha}{\beta^2}\,. \] Asumiendo que \(\alpha\) es conocido:
  1. Identifique una clase de densidades previas conjugadas para \(\beta\).
  2. Sea \(y_1,\ldots,y_n\mid\beta\stackrel{\text{iid}}{\sim}\textsf{Galenshore}(\alpha,\beta)\). Encuentre la distribución posterior de \(\beta\) dado \(\boldsymbol{y}=(y_1,\ldots,y_n)\) usando la distribución previa de la clase conjugada del numeral anterior.
  3. Identifique un estadístico suficiente para \(\beta\) a partir de la distribución muestral conjunta \(p(\boldsymbol{y}\mid\beta)\).
  4. Determine \(\textsf{E}(\beta\mid\boldsymbol{y})\).