Caso 14. Variable aletorias continuas
Ivan Moreno Galindo
27/10/2021
1 Objetivo
Identificar variables aleatorias continuas y calcular la función de densidad y probabilidades con la distribución de probabilidad uniforme.
2 Descripción
Realizar ejercicios del uso de variables continuas mediante la distribución de probabilidad uniforme.
3 Fundamento teórico
Una diferencia fundamental entre las variables aleatorias discretas y las variables aleatorias continuas es cómo se calculan las probabilidades.
En las variables aleatorias discretas la función de probabilidad \(f(x)\) da la probabilidad de que la variable aleatoria tome un valor determinado.
En las variables aleatorias continuas, la contraparte de la función de probabilidad es la función de densidad de probabilidad, que también se denota \(f(x)\).
Cuando se calculan probabilidades de variables aleatorias continuas se calcula la probabilidad de que la variable aleatoria tome alguno de los valores dentro de un intervalo.
La diferencia está en que la función de densidad de probabilidad no da probabilidades directamente. Si no que el área bajo la curva de \(f(x)\) que corresponde a un intervalo determinado proporciona la probabilidad de que la variable aleatoria tome uno de los valores de ese intervalo[@anderson_estadistica_2008].
3.1 Distribución de probabilidad uniforme
Siempre que una probabilidad sea proporcional a la longitud del intervalo, la variable aleatoria estará distribuida uniformemente [@anderson_estadistica_2008].
La distribución uniforme continua es una familia de distribuciones de probabilidad para variables aleatorias continuas, tales que para cada miembro de la familia, todos los intérvalos de igual longitud en la distribución en su rango son igualmente probables. El dominio está definido por dos parámetros, \(a\) y \(b\), que son sus valores mínimo y máximo respectivamente.
La distribución o modelo uniforme puede considerarse como proveniente de un proceso de extracción aleatoria .El planteamiento radica en el hecho de que la probabilidad se distribuye uniformemente a lo largo de un intérvalo . Así : dada una variable aleatoria continua, \(x\) , definida en el intervalo \([a,b]\) de la recta real, se dice que \(x\) tiene una distribución uniforme en el intérvalo \([a,b]\).
3.1.1 Función de densidad de distribución de probabilidad uniforme
\[ f(x) = \begin{cases} \frac{1}{b-a} &,\, \text{para }a\leq x \leq b ,\\ 0&,\, \text{en cualquier otro caso } \end{cases} \]
La gráfica de esta función, conocida como curva o función de densidad, es un rectángulo, por ello la distribución uniforme continua se conoce también como distribución rectangular y es la más simple de las distribuciones continuas.[@lifeder]
3.1.2 Función de probabilidad F(x)
Para calcular probabilidades se puede determinar a función de la distribución \(F(X)\) o lo que es lo mismo la Función Acumulada de probabilidad de la distribución uniforme con la siguiente fórmula:
\[ F(x) = \begin{cases}0; \text{ para }x \le a \\\frac{x-a}{b-a} \text{ para } a\le x \le b \\1 ; \text{ para } x >b \end{cases} \]
La probabilidad únicamente depende del valor de \((x-a)\)
En donde:
\(F(x)\)es la función de distribución o función de probabilidad acumulada
\(x\) es la variable aleatoria uniforme
\(a\) y \(b\) son los valores del intérvalo mínimo y máximo respectivamente.
3.1.3 Valor Esperado
El cálculo del valor esperado y de la varianza de una variable aleatoria continua es análogo al de una variable aleatoria discreta. Sin embargo, como en este caso interviene el cálculo integral la deducción de estas fórmulas queda fuera de los ejercicios de este caso.
\[E(x) = \frac{(a+b)}{2}\]
3.1.4 Varianza
\[Var(x) = \frac{(b-a)^2}{12}\]
3.1.5 Desviación
\[\alpha = \sqrt{Var(x)}\]
4 Desarrollo
4.1 Cargar librerías
- Posiblemente se utilicen algunas de ellas
library(ggplot2)
library(dplyr)
library(knitr)
options(scipen = 999) # Notación normalCargar funciones preparadas de las cuales interesa una función para visualizar gráficas de distribuciones uniformes plotunif().
source ("https://raw.githubusercontent.com/rpizarrog/Trabajos-en-R-AD2021/main/funciones/funciones.para.distribuciones.r")4.2 Densidad en R
Con R, se puede determinar las probabilidades de la distribución uniforme calculando el área bajo el rectángulo haciendo las operaciones siguientes:
\[ prob = (b - a) \times f.dens(x) \]
siempre y cuando se haya determinado el valor de la densidad f.dens que es precisamente la altura del rectángulo.
o utilizar la función dunif() para calcular la densidad del área
\[ prob = (b-a) \times dunif(x = a:b, min = min, max = max) \]
[@rcoder]
o bien por medio de la función punif() que calcula y encuentra la probabilidad acumulada \(\frac{x-a}{b-a}\)
\[ prob = punif(q=\text{vector de valores}, min = min.intervalo, max=max.intervalo) \]
4.3 Solución de ejercicios
Se identifican ejercicios de distribución de probabilidad uniforme.
4.3.1 Vuelo de un avión
Considere una variable aleatoria \(x\) que representa el tiempo de vuelo de un avión que viaja de Chicago a Nueva York. Suponga que el tiempo de vuelo es cualquier valor en el intervalo de 120 minutos a 140 minutos [@anderson_estadistica_2008].
Dado que la variable aleatoria \(x\) toma cualquier valor en este intervalo, \(x\) es una variable aleatoria continua y no una variable aleatoria discreta.
Hay que razonar que se cuenta con datos suficientes como para concluir que la probabilidad de que el tiempo de vuelo esté en cualquier intervalo de 1 minuto es el mismo que la probabilidad de que el tiempo de vuelo esté en cualquier otro intervalo de 1 minuto dentro del intervalo que va de 120 a 140 minutos.
Como cualquier intervalo de 1 minuto es igual de probable, se dice que la variable aleatoria \(x\) tiene una distribución de probabilidad uniforme [@anderson_estadistica_2008].
4.3.1.1 Función de densidad
La función de densidad de la distribución uniforme se calcula mediante al fórmula y ésta como tal no da la probabilidad, pero sirve para obtener la probabilidad determinando el área bajo la curva.
Tratándose de una distribución uniforme el área bajo la curva es la parte proporcional del rectángulo.
La variable f.dens que se utiliza, es la función de densidad o la altura del rectángulo.
a.min <- 120
b.max <- 140
f.dens <- 1 / (b.max -a.min) # Es la altura\[ f(x) = \begin{cases} \frac{1}{140-120}=\frac{1}{20} &,\, \text{para }120\leq x \leq 140,\\ 0&,\, \text{en cualquier otro caso } \end{cases} \]
Se inicializan y utiliza las variables a.min y b.max como coordenadas de x, y, y la altura que es la función de densidad previamente calculada.
altura <- f.dens
x <- c(a.min, b.max) # 120, 140
y <- c(altura, altura) # 0.5, 0.5
datos <- data.frame(x, y)
datos## x y
## 1 120 0.05
## 2 140 0.05Se muestra el área bajo la curva usando geom_area() en la función ggplot() en programación R.
ggplot(data = datos, aes(x,y )) +
geom_area(fill = "lightblue") +
xlim(100, 160) +
ggtitle(label = "Distribución uniforme continua", subtitle = paste("f(x) = ",f.dens))
4.3.1.2 ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo de vuelo se encuentre entre 120 y 130 minutos?
¿cuál es \(P(120 \leq x \leq 130)\)?
La \(P(120 \leq x \leq 130) = 0.50\)
4.3.1.2.1 Gráfica del área bajo el rectángulo con plotunif() y unif_area()
Densidad 120-140
ggplot(datos) +
geom_area(aes(x = x, y = y),
fill = 'lightblue') +
xlim(100, 160) +
ggtitle(label = "Distribución uniforme continua", subtitle = paste("f(x) = ",f.dens))
Densidad 120-130
Se agregan nuevas coordenadas para el rectángulo de color rosa
datos <- cbind(datos, x2=c(120,130), y2=y)
datos## x y x2 y2
## 1 120 0.05 120 0.05
## 2 140 0.05 130 0.05ggplot(datos) +
geom_area(aes(x = x, y = y),
fill = 'lightblue') +
geom_area(aes(x = x2, y = y2),
fill = 'pink') +
xlim(100, 160) +
ggtitle(label = "Distribución uniforme continua", subtitle = paste("f(x) = ",f.dens))
Se busca saber cual es la densidad de el área de color rosa
4.3.1.2.2 Solución aritmética
Para encontrar la probabilidad de vuelo entre 130 y 120 es encontrar el área bajo la curva (el rectángulo en la distribución uniforme).
Si el área total de manera uniforme en un intérvalo de 120 a 140 es es 0.05, entonces en un intérvalo de 120 a 130 es la mitad del área.
La variable altura es igual al valor de la función de densidad en la distribución uniforme, las variables a y b son los valores del nuevo intérvalo que por supuesto están dentro del intérvalo original de 120 y 140.
Esta área es rectangular y el área de un rectángulo es simplemente el ancho multiplicado por la altura. Si el ancho del intervalo es igual a \(130 - 120 = 10\) y la altura es igual al valor de la función de densidad de probabilidad \[f(x) = 1/20=0.05\], se tiene, \[ área = ancho \times alto \] entonces, \[10 \times (\frac{1}{20}) = 10 \times 0.05 = .50\]. [@anderson_estadistica_2008].
a <- 120
b <- 130
prob.x <- (b-a) * f.dens
paste("La probabilidad de que el tiempo de vuelo se encuentre entre ", a , " y ", b, " minutos es del:", prob.x * 100, "%")## [1] "La probabilidad de que el tiempo de vuelo se encuentre entre 120 y 130 minutos es del: 50 %"4.3.1.2.3 Solución por medio de la función de densidad dunif()
Da el mismo resultado que usando la solución aritmética encontrando el área del rectángulo correspondiente.
prob.x <- (b - a) * dunif(x = a, min = a.min, max = b.max)
prob.x## [1] 0.54.3.1.2.4 Solución por medio de la función de probabilidad punif()
Significa las probabilidad de que el vuelo tarde menos que \(130\) minutos o lo que es lo mismo que esté entre \(120\) y \(130\) minutos
punif(q = 130, min = 120, max = 140) - punif(q = 120, min = 120, max = 140)## [1] 0.5o de conforme a la fórmula de la probabilidad acumulada.
\(prob = \frac{x-a}{b-a}\)
prob <- (130 - 120) / (140-120)
prob## [1] 0.54.3.1.3 ¿cuál es la probabilidad de un tiempo de vuelo entre 128 y 136 minutos?
- ¿cuál es \(P(128 \leq x \leq 136)\)?
- La \(P(128 \leq x \leq 136) = 0.40\)
4.3.1.3.1 Solución aritmética
a <- 128
b <- 136
prob.x <- altura * (b-a)
prob.x## [1] 0.4paste("La probabilidad de que el tiempo de vuelo se encuentre entre ", a , " y ", b, " minutos es del:", prob.x * 100, "%")## [1] "La probabilidad de que el tiempo de vuelo se encuentre entre 128 y 136 minutos es del: 40 %"x2 <- c(a, b)
y2 <- c(altura, altura)
datos$x2 <- x2
datos$y2 <- y2
datos## x y x2 y2
## 1 120 0.05 128 0.05
## 2 140 0.05 136 0.05ggplot(datos) +
geom_area(aes(x = x, y = y),
fill = 'lightblue') +
geom_area(aes(x = x2, y = y2),
fill = 'pink') +
xlim(100, 160) +
ggtitle(label = "Distribución uniforme continua", subtitle = paste("f(x) = ",f.dens))
4.3.1.3.2 Solución por medio de la función de densidad dunif()
Debe dar el mismo resultado
prob.x <- (b - a) * dunif(x = a, min = a.min, max = b.max)
prob.x## [1] 0.44.3.1.3.3 Solución por medio de la función de probabilidad punif()
Se muestran todas las probabilidades acumuladas desde 120 a 140 bajo la distribución uniforme.
distribucion <- data.frame(x=120:140, prob = dunif(x = 120:140, min = a.min, max = b.max), prob.acum = punif(q = 120:140, min = a.min, max = b.max))
distribucion## x prob prob.acum
## 1 120 0.05 0.00
## 2 121 0.05 0.05
## 3 122 0.05 0.10
## 4 123 0.05 0.15
## 5 124 0.05 0.20
## 6 125 0.05 0.25
## 7 126 0.05 0.30
## 8 127 0.05 0.35
## 9 128 0.05 0.40
## 10 129 0.05 0.45
## 11 130 0.05 0.50
## 12 131 0.05 0.55
## 13 132 0.05 0.60
## 14 133 0.05 0.65
## 15 134 0.05 0.70
## 16 135 0.05 0.75
## 17 136 0.05 0.80
## 18 137 0.05 0.85
## 19 138 0.05 0.90
## 20 139 0.05 0.95
## 21 140 0.05 1.00punif() determina la probabilidad acumulada, entonces de la probabilidad acumulada hasta 136 se le resta la probabilidad acumulada hasta 128 y con ello la diferencia es la probabilidad entre 128 y 136.
ggplot(data = distribucion, mapping = aes(x = x, y = prob.acum)) +
geom_line()
con punif()
punif(q = b, min = 120, max = 140) - punif(q = a, min = 120, max = 140)## [1] 0.4\(prob = \frac{x=136-a}{b-a} - \frac{x=128-a}{b-a}\)
prob <- (136-120)/(140-120) - (128-120)/(140-120)
prob## [1] 0.44.3.1.4 Valor esperado
\[E(x) = \frac{(120+ 140)}{2}=130\]
VE <- (a.min + b.max) / 2
paste("El valor esperado es de: ", VE)## [1] "El valor esperado es de: 130"- El valor esperado es el tiempo medio en que puede llegar el avión.
4.3.1.5 Varianza
\[Var(x) = \frac{(140-120)^2}{12}=33.33\]
varianza.x <- (b.max - a.min)^2 / 12
paste("La varianza es: ", round(varianza.x,2))## [1] "La varianza es: 33.33"4.3.1.6 Desviación
\[\alpha = \sqrt{Var(x)} = \sqrt{33.33} = 5.77\]
ds <- sqrt(varianza.x)
paste("La desviación estándard es igual a : ", round(ds, 2), " que significa que ese valor se dispersa conforme al valor medio esperado de ", VE)## [1] "La desviación estándard es igual a : 5.77 que significa que ese valor se dispersa conforme al valor medio esperado de 130"4.3.1.6.1 Interpretación del ejercicio
El ejercicio del avion es una distribución uniforme dado que presenta un intérvalo de 120 a 140 minutos el tiempo que tarda el vuelo de una ciudad a otra, es decir los valores iniciales de \(a\) y \(b\) respectivaente.
La probabilidad de que el vuelo tarde \(130\) minutos es de \(50%\) dado que densidad es de \(0.05\) y el intérvalo es de \(10\) o sea \(130 -120\) entonces el área bajo la curva es de \(0.05 * 10 = 0.50\).
La probabilidad de que el vuelo tarde de \(128 \text{ a } 136\) minutos, significa que hay un intérvalo de \(8\) minutos y si se multiplica por la altura de \(0.05\) entonces la probabilidad es del \(40%\).
La densidad de una distribución uniforme puede encontrare por medio de la función base de dunif() y la probabilidad acumula o la función de probabilidad se puede encontrar por medio de la función punif().
Otra alternativa para calcular la densidad y probabilidades de una distribución uniforme es mediante la fórmula \(f(x) = \frac {1} {b-a}\) y el cálculo de probabilidades puede hacer mediante la fórmula \(F(x) = \frac{x-a}{b-a}\)
4.3.2 Caso de Licitaciones
Al estudiar licitaciones de embarque, una empresa dedicada a la fabricación de circuitos impresos, encuentra que los contratos nacionales tienen licitaciones distribuidas uniformemente entre 20 y 25 unidades (en miles de dólares).[@aqueronte_r_2009]
Se determina lo siguiente:
Función de densidad
¿Cuál es la probabilidad de que la licitación esté entre 22 y 24 (mil dólares)?
¿Cuál es la probabilidad de que sea inferior a 22 (mil dólares)?
¿Cuál es la probabilidad de que rebase los 24 (mil dólares)?
¿Cuál es el valor esperado?
¿Cuál es la varianza?
¿Cuál es la desviación estándard?
4.3.2.1 Función de densidad
a.min <- 20
b.max <- 25
f.dens <- 1 / (b.max - a.min)
f.dens## [1] 0.2\[ f(x) = \begin{cases} \frac{1}{25-20}=\frac{1}{5} &,\, \text{para }20\leq x \leq 25,\\ 0&,\, \text{en cualquier otro caso } \end{cases} \]
4.3.2.2 ¿Cuál es la probabilidad de que la licitación esté entre 22 y 24 (mil dólares)?
¿\(P(22 \leq x \leq 24)\)?
La \(P(22 \leq x \leq 24) = 0.40\)
4.3.2.2.1 Solución aritmética
a <- 22
b <- 24
p.x <- f.dens * (b-a)
paste("La probabilidad de que la licitación esté entre ", a , " y ", b, " es del:", p.x * 100, "%")## [1] "La probabilidad de que la licitación esté entre 22 y 24 es del: 40 %"4.3.2.2.2 Solución por medio de la función de densidad punif()
p.x <- (b - a) * dunif(x = a, min = a.min, max = b.max)
p.x## [1] 0.44.3.2.2.3 Solución con punif()
prob <- punif(q = 24, min = 20, max = 25) - punif(q = 22, min = 20, max = 25)
prob## [1] 0.44.3.2.2.4 Solución con F(x)
a <- 20
b <- 25
prob <- (x=24-a) / (b-a) - (x=22-a) / (b-a)
prob## [1] 0.44.3.2.3 Cuál es la probabilidad de que sea inferior a 22 (mil dólares)?
4.3.2.3.1 Solución aritmética
a <- 20
b <- 22
p.x <- f.dens * (b-a)
paste("La probabilidad de que sea inferior a ", b , " (mil dólares) es del: ", p.x * 100, "%")## [1] "La probabilidad de que sea inferior a 22 (mil dólares) es del: 40 %"4.3.2.3.2 Solución por medio de la función de densidad dunif()
a <- 20
b <- 22
p.x <- (b - a) * dunif(x = a, min = a.min, max = b.max) 4.3.2.4 Probabilidad de que rebase los 24 (mil dólares)
Pendiente
4.3.3 Taxis en Durango
En la zona centro de la ciudad de Durango, México el tiempo de espera para tomar un taxi es de 0 a 15 minutos.
Valor mínimo es 0
Valor máximo es de 15
4.3.3.1 Función de densidad
f.dens <- dunif(0, min = 0, max = 15)
f.dens## [1] 0.066666674.3.3.2 ¿Cuál es la probabilidad de tomar un taxi en menos de 5 minutos?
unif_area(min = 0, max = 15, lb = 0, ub = 5,main = paste('f(x)=',f.dens), acolor = "lightblue")
4.3.3.2.1 Solución aritmética
a <- 0
b <- 5
prob <- (b-a) * f.dens
prob## [1] 0.33333334.3.3.2.2 Solución con dunif()
prob <- (b-a) * dunif(0, min = 0, max = 15)
prob## [1] 0.33333334.3.3.2.3 Solución con punif()
prob <- punif(q = 5, min = 0, max = 15) - punif(q = 0, min = 0, max = 15)
prob## [1] 0.33333334.3.3.2.4 Solución F(x)
x <- 5
a <- 0
b <- 15
prob <- (x-a)/(b-a)
prob## [1] 0.33333334.3.4 Compañía de luz
Una compañía que brinda servicio eléctrico provee niveles de voltajes uniformemente distribuidos, entre 123.0 V y 125.0 V. Esto significa que en la toma doméstica es posible obtener cualquier valor de voltaje que pertenezca a dicho intervalo.
4.3.4.1 ¿Cual es el valor de la función de densidad?
a <- 123
b <- 125
1 / (b-a)## [1] 0.5f.dens <- dunif(123, min = 123, max = 125)
f.dens## [1] 0.54.3.4.2 ¿Cuál es la probabilidad de que la compañía envíe un voltaje menor a 123.5 V?
unif_area(min = 123, max = 125, lb = 123, ub = 123.5,main = paste('f(123 <= x <= 125) = ? y F(x<123.5) = ?' ), acolor = "lightblue")
4.3.4.2.1 Solución aritmética calculando el área con dunif()
b <- 123.5
a <- 123
prob <- (b-a) * f.dens
prob## [1] 0.254.3.4.2.2 Solución con punif()
Se muestra la tabla de distribución con la probabilidad acumulada con valores de variables aleatorias generados por una secuencia a con valor inicial de \(123\) con saltos de \(0.1\) en \(0.1\) hasta llegar a un valor de \(125\).
variables <- seq(from=123, to=125, by=0.1)
tabla <- data.frame(variables, prob.acum = punif(q = variables, min = 123, max = 125))
tabla## variables prob.acum
## 1 123.0 0.00
## 2 123.1 0.05
## 3 123.2 0.10
## 4 123.3 0.15
## 5 123.4 0.20
## 6 123.5 0.25
## 7 123.6 0.30
## 8 123.7 0.35
## 9 123.8 0.40
## 10 123.9 0.45
## 11 124.0 0.50
## 12 124.1 0.55
## 13 124.2 0.60
## 14 124.3 0.65
## 15 124.4 0.70
## 16 124.5 0.75
## 17 124.6 0.80
## 18 124.7 0.85
## 19 124.8 0.90
## 20 124.9 0.95
## 21 125.0 1.00prob <- punif(q = 123.5, min = 123, max = 125) - punif(q = 123, min = 123, max = 125)
prob## [1] 0.254.3.4.2.3 Solución con \((x-a)/(b-a)\)
prob <- (x=123.5 - 123) / (125 - 123) - (x=123 - 123) / (125 - 123)
prob## [1] 0.25