Dosen Pengampu : Prof.Dr.Suhartono,M.Kom

Lembaga : UIN Maliki Malang

Jurusan : Teknik Informatika

Fakultas : Sains Dan Teknologi

9.3 Metode Integrasi Newton-Cotes

Metode integrasi Newton-Cotes secara umum merupakan metode integrasi yang dilakukan dengan membagi area di bawah kurva suatu fungsi menjadi beberapa panel dengan terlebih dahulu menetapkan batas atas dan batas bawah interval. Integral atau luas area di bawah kurva ditentukan berdasarkan jumlah luas panel yang digunakan untuk mendekati luas area di bawah kurva.

Terdapat beberapa metode yang akan penulis jelaskan pada sub-Chapter ini. Metode-metode tersebut antara lain:

-Metode integral Riemann -Metode trapezoida -Metode Simpson 1/3 -Metode Simpson 3/8

Untuk Pembahasan kali ini kita akan fokus kepada Metode Integral Reiman.

9.3.1 Metode Integral Riemann

Metode integral Riemann dilakukan dengan membagi interval di bawah kurva suatu fungsi matematik sebanyak m subinterval sama besar. Pada setiap subinterval dibentuk persegi panjang setinggi kurva pada setiap titik tengah persegi panjang tersebut. Area setiap subinterval diperoleh dengan mengalikan panjang dan lebar masing-masing persegi panjang. Jumlah masing-masing area tersebut digunakan untuk menaksir interval integral suatu fungsi dengan interval tertentu. Fungsi proses integrasi menggunakan metode titik tengah dapat dituliskan pada Persamaan (9.8).

dimana b dan a masing-masing merupakan batas atas dan bawah interval kurva yang hendak dihitung integralnya.

Error dari metode ini dapat diestimasi menggunakan Persamaan (9.9).

dimana ξ merupakan nilai antara a dan b.

Contoh 9.2 Hitunglah intergral fungsi di bawah ini menggunakan metode integral Reimann dengan interval 0 sampai 1 dan jumlah panel 2 dan 4!

Jawab:

Fungsi pada Contoh 9.2 dapat diselesaikan menggunakan metode analitik. Penyelesaian analitik fungsi tersebut adalah sebagai berikut:

Penyelesaian numerik menggunakan metode titik tengah dengan jumlah panel 2 dapat dilakukan dengan menentukan lokasi titik tengah kedua panel. Berdasarkan interval fungsi dapat kita tentukan titik tengah kedua panel berada pada x=0,25 dan x=0,75. Perhitungan dilakukan seperti berikut:

Untuk meningkatkan akurasi dari nilai yang dihasilkan, jumlah panel dapat ditingkatkan. Untuk jumlah panel 4, titik tengah berada pada x={0,125;0,375;0,625;0,875}.

Visualisasi proses integrasi dengan metode Riemann dapat dilihat pada Gambar 9.1.

Berdasarkan Persamaan (9.8), kita dapat mengembangkan fungsi R yang dapat digunakan untuk melakukan perhitungan integral Riemann. Sintaks fungsi tersebut adalah sebagai berikut:

riemann <- function(f, a, b, m = 100){
  n_width <- (b-a)/m
  x <- seq(a, b-n_width, length.out = m) + n_width/2
  y <- f(x)
  
  return(sum(y)*abs(b-a)/m)
}

Kita akan menghitung kembali fungsi pada Contoh 9.2 dengan menggunakan jumlah panel 2, 4 dan 100. Berikut adalah sintaks yang digunakan:

# m=2
riemann(function(x) x^2, a=0, b=1, m=2)
## [1] 0.3125
# m=4
riemann(function(x) x^2, a=0, b=1, m=4)
## [1] 0.328125
# m=40
riemann(function(x) x^2, a=0, b=1, m=40)
## [1] 0.3332812
# m=100
riemann(function(x) x^2, a=0, b=1, m=100)
## [1] 0.333325

Berdasarkan teori yang telah dipaparkan sebelumnya, kita ketahui bahwa untuk memperoleh nilai pendekatan integral yang sebenarnya kita dapat meningkatkan jumlah panel yang digunakan. Untuk mengetahui jumlah panel minimum yang diperlukan untuk memperoleh hasil integrasi yang stabil, kita akan melakukan simulasi menggunakan data yang disajikan pada Contoh 9.2 dengan memvariasikan jumlah panel yang akan digunakan. Pada simulasi yang akan dilakukan kita akan coba memvariasikan jumlah panel dari 2 hingga 100. Berikut adalah sintaks yang digunakan:

alt text

Berdasarkan hasil simulasi dapat disimpulkan jumlah panel minimum yang diperlukan untuk memperoleh hasil integrasi yang stabil kira-kira sebesar m=40.

Setelah kita mengetahui cara menggunakan metode integral reiman diatas mari kita menyelesaikan beberapa soal yang ada dalam buku matematika

Lembar Kerja Mahasiswa

  • Tentukan nilai dari ∫ 0 sampai 9 −x^2+3*x+2 dx
riemann <- function(f, a, b, m = 100){
  n_width <- (b-a)/m
  x <- seq(a, b-n_width, length.out = m) + n_width/2
  y <- f(x)
  
  return(sum(y)*abs(b-a)/m)
}
# m=2
riemann(function(x) x^2+3*x+2, a=0, b=9, m=2)
## [1] 367.3125
  • Tentukan nilai dari ∫ 1 sampai 7 √2+3 dx
# m=2
riemann(function(x)  2+3 , a=1, b=7, m=2)
## [1] 15

Jadi itulah tadi pembahasa tentang metode Integral Reiman.

Referensi

https://bookdown.org/moh_rosidi2610/Metode_Numerik/calculation.html#assigningvar