Problema 5-19

Se corre un diseño factorial 3 × 2 con 10 réplicas para investigar el hinchamiento del catalizador después de la extrusión en la fabricación de botellas de polietileno de alta densidad. El catalizador se utiliza en la obtención de dicho polietileno. Los factores investigados son: molde (con dos niveles) y B: catalizador (con tres niveles). Los datos obtenidos se muestran en la siguiente tabla:

Datos

Y=c(93,92,90,91,92,91,90,91,93,90,92,94,90,91,90,91,92,92,92,91,95,94,94,94,94,97,95,96,94,96,88,88,87,87,88,87,87,87,87,88,90,88,88,88,89,90,89,88,88,89,91,90,92,90,97,89,90,91,91,91)

A=rep(1:2,each=30)
B=rep(rep(1:3,each=10),2)
df=data.frame(A,B,Y)
df$A=factor(df$A)
df$B=factor(df$B)
df

##    A B  Y
## 1  1 1 93
## 2  1 1 92
## 3  1 1 90
## 4  1 1 91
## 5  1 1 92
## 6  1 1 91
## 7  1 1 90
## 8  1 1 91
## 9  1 1 93
## 10 1 1 90
## 11 1 2 92
## 12 1 2 94
## 13 1 2 90
## 14 1 2 91
## 15 1 2 90
## 16 1 2 91
## 17 1 2 92
## 18 1 2 92
## 19 1 2 92
## 20 1 2 91
## 21 1 3 95
## 22 1 3 94
## 23 1 3 94
## 24 1 3 94
## 25 1 3 94
## 26 1 3 97
## 27 1 3 95
## 28 1 3 96
## 29 1 3 94
## 30 1 3 96
## 31 2 1 88
## 32 2 1 88
## 33 2 1 87
## 34 2 1 87
## 35 2 1 88
## 36 2 1 87
## 37 2 1 87
## 38 2 1 87
## 39 2 1 87
## 40 2 1 88
## 41 2 2 90
## 42 2 2 88
## 43 2 2 88
## 44 2 2 88
## 45 2 2 89
## 46 2 2 90
## 47 2 2 89
## 48 2 2 88
## 49 2 2 88
## 50 2 2 89
## 51 2 3 91
## 52 2 3 90
## 53 2 3 92
## 54 2 3 90
## 55 2 3 97
## 56 2 3 89
## 57 2 3 90
## 58 2 3 91
## 59 2 3 91
## 60 2 3 91

Plantee las hipótesis de interés en este problema y el modelo estadístico correspondiente.

Hipótesis

Ho : Efecto de molde (A) = 0 Ha : Efecto de molde (A) no es igual a 0 Ho : Efecto de catalizador (B) = 0 Ha : Efecto de catalizador (B) no es igual a 0 Ho : molde × catalizador (AB) = 0 Ha : molde × catalizador (AB) no es igual a 0

Modelo estadístico

modelo=lm(Y~A*B,data=df)

Construya la tabla de análisis de varianza y determine cuáles efectos están activos.

anova=aov(modelo)
summary(anova)

##             Df Sum Sq Mean Sq F value   Pr(>F)    
## A            1 180.27  180.27 111.123 1.02e-14 ***
## B            2 153.03   76.52  47.168 1.42e-12 ***
## A:B          2   3.43    1.72   1.058    0.354    
## Residuals   54  87.60    1.62                     
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

R/. Se acepta la hipótesis alterna para molde y catalizador, mientras que en la interacción molde-catalizador no es significativa. Por tanto, molde (A) y catalizador (B) son los efectos activos.

Dibuje las gráficas de medias para los dos efectos principales con los métodos LSD y de Tukey. Compare los resultados de ambos métodos.

tk<-TukeyHSD(anova)
tk

##   Tukey multiple comparisons of means
##     95% family-wise confidence level
## 
## Fit: aov(formula = modelo)
## 
## $A
##          diff       lwr       upr p adj
## 2-1 -3.466667 -4.125989 -2.807344     0
## 
## $B
##     diff        lwr      upr     p adj
## 2-1 0.75 -0.2206649 1.720665 0.1596217
## 3-1 3.70  2.7293351 4.670665 0.0000000
## 3-2 2.95  1.9793351 3.920665 0.0000000
## 
## $`A:B`
##         diff        lwr        upr     p adj
## 2:1-1:1 -3.9 -5.5828724 -2.2171276 0.0000001
## 1:2-1:1  0.2 -1.4828724  1.8828724 0.9992576
## 2:2-1:1 -2.6 -4.2828724 -0.9171276 0.0004042
## 1:3-1:1  3.6  1.9171276  5.2828724 0.0000008
## 2:3-1:1 -0.1 -1.7828724  1.5828724 0.9999755
## 1:2-2:1  4.1  2.4171276  5.7828724 0.0000000
## 2:2-2:1  1.3 -0.3828724  2.9828724 0.2191487
## 1:3-2:1  7.5  5.8171276  9.1828724 0.0000000
## 2:3-2:1  3.8  2.1171276  5.4828724 0.0000002
## 2:2-1:2 -2.8 -4.4828724 -1.1171276 0.0001215
## 1:3-1:2  3.4  1.7171276  5.0828724 0.0000028
## 2:3-1:2 -0.3 -1.9828724  1.3828724 0.9948564
## 1:3-2:2  6.2  4.5171276  7.8828724 0.0000000
## 2:3-2:2  2.5  0.8171276  4.1828724 0.0007262
## 2:3-1:3 -3.7 -5.3828724 -2.0171276 0.0000004

plot(tk)

library(agricolae)
LSD<-LSD.test(anova,"A",group=T,console=T)

## 
## Study: anova ~ "A"
## 
## LSD t Test for Y 
## 
## Mean Square Error:  1.622222 
## 
## A,  means and individual ( 95 %) CI
## 
##          Y      std  r      LCL      UCL Min Max
## 1 92.56667 2.011747 30 92.10046 93.03288  90  97
## 2 89.10000 2.090207 30 88.63379 89.56621  87  97
## 
## Alpha: 0.05 ; DF Error: 54
## Critical Value of t: 2.004879 
## 
## least Significant Difference: 0.6593223 
## 
## Treatments with the same letter are not significantly different.
## 
##          Y groups
## 1 92.56667      a
## 2 89.10000      b

bar.group(x=LSD$groups,horiz=T,col="red",xlim=c(0,115),
          xlab="Y",ylab="Molde")

LSD<-LSD.test(anova,"B",group=T,console=T)

## 
## Study: anova ~ "B"
## 
## LSD t Test for Y 
## 
## Mean Square Error:  1.622222 
## 
## B,  means and individual ( 95 %) CI
## 
##       Y      std  r      LCL      UCL Min Max
## 1 89.35 2.183069 20 88.77901 89.92099  87  93
## 2 90.10 1.744163 20 89.52901 90.67099  88  94
## 3 93.05 2.543826 20 92.47901 93.62099  89  97
## 
## Alpha: 0.05 ; DF Error: 54
## Critical Value of t: 2.004879 
## 
## least Significant Difference: 0.8075016 
## 
## Treatments with the same letter are not significantly different.
## 
##       Y groups
## 3 93.05      a
## 2 90.10      b
## 1 89.35      b

bar.group(x=LSD$groups,horiz=T,col="blue",xlim=c(0,115),
          xlab="Y",ylab="catalizador")

R/. En ambas pruebas no hay diferencia significativa entre los catalizadores 2 y 1; y hay diferencia significativa entre los moldes.

Haga la gráfica de interacción con intervalos de confianza sobrepuestos.

boxplot(Y~A*B,data=df)

Determine cuál es el mejor tratamiento. ¿Cuál es el hinchamiento predicho en el mejor tratamiento?

par(mfrow=c(1,2))
interaction.plot(df$A,df$B,df$Y)
interaction.plot(df$B,df$A,df$Y)

f ) Verifique los supuestos de normalidad y varianza constante.

Normalidad

qqnorm(anova$residuals)
qqline(anova$residuals)

shapiro.test(anova$residuals)

## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  anova$residuals
## W = 0.86234, p-value = 7.186e-06

R/. Debido a un valor de p menor a 0.05, los valores no poseen una distribución normal.

Varianza

library(car)

## Loading required package: carData

leveneTest(Y~df$A)

## Levene's Test for Homogeneity of Variance (center = median)
##       Df F value Pr(>F)
## group  1  0.1322 0.7175
##       58

leveneTest(Y~df$B)

## Levene's Test for Homogeneity of Variance (center = median)
##       Df F value Pr(>F)
## group  2  2.0397 0.1394
##       57

R/. Los datos presentan homocedasticidad debido a los valores de p mayores a 0.05.

Utilice la gráfica de residuos contra factores para detectar posibles efectos sobre la dispersión del hinchamiento. ¿En cuál molde parece que es menor la dispersión?

plot(anova$residuals~A)
abline(h=0)

R/. El molde 2 presenta mayor dispersión en los datos.

Problema 5-22

En una fábrica de aceites vegetales comestibles la calidad resulta afectada por la cantidad de impurezas dentro del aceite, ya que éstas causan oxidación, y ello repercute a su vez en las características de sabor y color del producto final. El proceso de “blanqueo” es el responsable de eliminar tales impurezas, y una forma de medir su eficacia es midiendo el color del aceite. Para generar una primera aproximación a la solución del problema se decide estudiar el efecto de la temperatura y el porcentaje de arcilla en el color del aceite inicialmente a nivel laboratorio. El diseño y los datos de las pruebas experimentales se muestran a continuación.

Datos

Co=c(5.8,5.9,5,4.9,4.7,4.6,5.4,5.5,4.8,4.7,4.4,4.4,4.9,5.1,4.6,4.4,4.1,4,4.5,4.4,4.1,4.3,3.7,3.6)
Pa=rep(rep(1:4,each=2),3)
Te=rep(1:3,each=8)
df2<-data.frame(Pa,Te,Co)
df2$Pa<-factor(df2$Pa)
df2$Te<-factor(df2$Te)
df2

##    Pa Te  Co
## 1   1  1 5.8
## 2   1  1 5.9
## 3   2  1 5.0
## 4   2  1 4.9
## 5   3  1 4.7
## 6   3  1 4.6
## 7   4  1 5.4
## 8   4  1 5.5
## 9   1  2 4.8
## 10  1  2 4.7
## 11  2  2 4.4
## 12  2  2 4.4
## 13  3  2 4.9
## 14  3  2 5.1
## 15  4  2 4.6
## 16  4  2 4.4
## 17  1  3 4.1
## 18  1  3 4.0
## 19  2  3 4.5
## 20  2  3 4.4
## 21  3  3 4.1
## 22  3  3 4.3
## 23  4  3 3.7
## 24  4  3 3.6

Construya el modelo estadístico y formule las hipótesis pertinentes.

Hipótesis

Ho : Efecto de porcentaje de arcilla (Pa) = 0 Ha : Efecto de porcentaje de arcilla (Pa) no es igual a 0 Ho : Efecto de temperatura (Te) = 0 Ha : Efecto de temperatura (Te) no es igual a 0 Ho : Porcentaje de arcilla × temperatura (PaTe) = 0 Ha : Porcentaje de arcilla × temperatura (PaTe) no es igual a 0

Modelo estadístico

modelo2=lm(Co~Pa*Te,data=df2)
fit.aov<-aov(modelo2)
summary(fit.aov)

##             Df Sum Sq Mean Sq F value   Pr(>F)    
## Pa           3  0.428  0.1428   17.13 0.000123 ***
## Te           2  5.176  2.5879  310.55 4.64e-11 ***
## Pa:Te        6  2.374  0.3957   47.48 1.14e-07 ***
## Residuals   12  0.100  0.0083                     
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

R/. Existe diferencia significativa, por tanto se aceptan las tres hipótesis alternas.

Prueba de normalidad

qqnorm(fit.aov$residuals)
qqline(fit.aov$residuals)

shapiro.test(fit.aov$residuals)

## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  fit.aov$residuals
## W = 0.8784, p-value = 0.007716

R/. Tanto en la gráfica como en la prueba de shapiro, se observa que no se cumple la distribución normal.

Prueba de varianza

library(car)
leveneTest(Co~Pa,data=df2)

## Levene's Test for Homogeneity of Variance (center = median)
##       Df F value  Pr(>F)  
## group  3  2.4137 0.09673 .
##       20                  
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

leveneTest(Co~Te,data=df2)

## Levene's Test for Homogeneity of Variance (center = median)
##       Df F value  Pr(>F)  
## group  2  3.4732 0.04976 *
##       21                  
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

R/. No existe diferencia significativa en la varianza.

Gráfica de residuales

plot(fit.aov$residuals)
abline(h=0)

R/. Los residuales parecen seguir un comportamiento dado por tanto no son aleatorios y no son independientes.

Interacciones

boxplot(Co~Pa*Te,data=df2)

par(mfrow=c(1,2))
interaction.plot(df2$Pa,df2$Te,df2$Co)
interaction.plot(df2$Te,df2$Pa,df2$Co)

Prueba de comparaciones múltiples

tk<-TukeyHSD(fit.aov)
tk

##   Tukey multiple comparisons of means
##     95% family-wise confidence level
## 
## Fit: aov(formula = modelo2)
## 
## $Pa
##            diff        lwr         upr     p adj
## 2-1 -0.28333333 -0.4398082 -0.12685851 0.0008273
## 3-1 -0.26666667 -0.4231415 -0.11019184 0.0013783
## 4-1 -0.35000000 -0.5064748 -0.19352517 0.0001220
## 3-2  0.01666667 -0.1398082  0.17314149 0.9884960
## 4-2 -0.06666667 -0.2231415  0.08980816 0.6004628
## 4-3 -0.08333333 -0.2398082  0.07314149 0.4241896
## 
## $Te
##        diff        lwr        upr p adj
## 2-1 -0.5625 -0.6842708 -0.4407292 1e-07
## 3-1 -1.1375 -1.2592708 -1.0157292 0e+00
## 3-2 -0.5750 -0.6967708 -0.4532292 1e-07
## 
## $`Pa:Te`
##          diff        lwr        upr     p adj
## 2:1-1:1 -0.90 -1.2624239 -0.5375761 0.0000168
## 3:1-1:1 -1.20 -1.5624239 -0.8375761 0.0000007
## 4:1-1:1 -0.40 -0.7624239 -0.0375761 0.0260781
## 1:2-1:1 -1.10 -1.4624239 -0.7375761 0.0000019
## 2:2-1:1 -1.45 -1.8124239 -1.0875761 0.0000001
## 3:2-1:1 -0.85 -1.2124239 -0.4875761 0.0000306
## 4:2-1:1 -1.35 -1.7124239 -0.9875761 0.0000002
## 1:3-1:1 -1.80 -2.1624239 -1.4375761 0.0000000
## 2:3-1:1 -1.40 -1.7624239 -1.0375761 0.0000001
## 3:3-1:1 -1.65 -2.0124239 -1.2875761 0.0000000
## 4:3-1:1 -2.20 -2.5624239 -1.8375761 0.0000000
## 3:1-2:1 -0.30 -0.6624239  0.0624239 0.1435866
## 4:1-2:1  0.50  0.1375761  0.8624239 0.0047463
## 1:2-2:1 -0.20 -0.5624239  0.1624239 0.5810655
## 2:2-2:1 -0.55 -0.9124239 -0.1875761 0.0021008
## 3:2-2:1  0.05 -0.3124239  0.4124239 0.9999754
## 4:2-2:1 -0.45 -0.8124239 -0.0875761 0.0110198
## 1:3-2:1 -0.90 -1.2624239 -0.5375761 0.0000168
## 2:3-2:1 -0.50 -0.8624239 -0.1375761 0.0047463
## 3:3-2:1 -0.75 -1.1124239 -0.3875761 0.0001109
## 4:3-2:1 -1.30 -1.6624239 -0.9375761 0.0000003
## 4:1-3:1  0.80  0.4375761  1.1624239 0.0000575
## 1:2-3:1  0.10 -0.2624239  0.4624239 0.9888531
## 2:2-3:1 -0.25 -0.6124239  0.1124239 0.3102368
## 3:2-3:1  0.35 -0.0124239  0.7124239 0.0619315
## 4:2-3:1 -0.15 -0.5124239  0.2124239 0.8631044
## 1:3-3:1 -0.60 -0.9624239 -0.2375761 0.0009594
## 2:3-3:1 -0.20 -0.5624239  0.1624239 0.5810655
## 3:3-3:1 -0.45 -0.8124239 -0.0875761 0.0110198
## 4:3-3:1 -1.00 -1.3624239 -0.6375761 0.0000054
## 1:2-4:1 -0.70 -1.0624239 -0.3375761 0.0002206
## 2:2-4:1 -1.05 -1.4124239 -0.6875761 0.0000032
## 3:2-4:1 -0.45 -0.8124239 -0.0875761 0.0110198
## 4:2-4:1 -0.95 -1.3124239 -0.5875761 0.0000094
## 1:3-4:1 -1.40 -1.7624239 -1.0375761 0.0000001
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Taller 3

Huris Solis

10/18/2021

Problema 5-19

Datos

Hipótesis

Modelo estadístico

Normalidad

Varianza

Problema 5-22

Datos

Hipótesis

Modelo estadístico

Prueba de normalidad

Prueba de varianza

Gráfica de residuales

Interacciones

Prueba de comparaciones múltiples