Soal 1: Penjumlahan Deret

Susunlah sintaks R untuk penjumlahan deret berikut!

\(Z = 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \frac{1}{8} + ...\)

Untuk menjumlahkan deret takhingga (\(\infty\)), kita terlebih dahulu harus menemukenali pola dari deret tersebut. Untuk mendapatkan \(Z\) di atas, pola deret dapat diuraikan sebagai berikut:

\[ \begin{aligned} Z &= 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \frac{1}{8} + ... \\ &= \frac{1}{1} + \frac{1}{1} + \frac{1}{1+1} + \frac{1}{1+2} + \frac{1}{2+3} + \frac{1}{3+5} + ... \end{aligned} \] Terlihat bahwa deret tersebut membentuk pola \(\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \frac{1}{x_1 + x_2} + \frac{1}{x_2 + x_3} + \frac{1}{x_3 + x_4} + \frac{1}{x_4 + x_5} + ...\).

Dengan kata lain, kita membutuhkan dua nilai awal (initial values) \(x_1\) dan \(x_2\), sedangkan untuk elemen ketiga dan seterusnya, merupakan penjumlahan dari dua elemen sebelumnya. Atau dapat ditulis dalam notasi sigma sebagai berikut :

\[ Z = \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \sum_{i=3}^{\infty} \left(\frac{1}{x_{i-2} + x_{i-1}}\right) \]

series.sum1 <- function(init.values = c(1,1), tolerance = 1e-6 ){
  
  series.sum <- sum(1/init.values)
  
  end.loop <- FALSE
  while(!end.loop){
    new.value <- sum(init.values) 
    new.value.inv <- 1/new.value
    series.sum <- series.sum + new.value.inv
  
    init.values <- c(init.values, new.value)[-1]

    # periksa kriteria stoping
    if(new.value.inv < tolerance){ end.loop <- TRUE }
    
    }
  
  return(series.sum)
  
}

Z <- series.sum1()
Z

## [1] 3.359884

Soal 2: Penjumlahan Deret

Susunlah sintaks R untuk penjumlahan deret berikut!

\(Z = 10 - 2 + 0.4 - 0.08 + ...\)

Deret tersebut membentuk pola

\[ Z = 10\left(-\frac{1}{5} \right)^0 + 10 \left(-\frac{1}{5} \right)^1 + 10 \left(-\frac{1}{5} \right)^2 + 10 \left(-\frac{1}{5} \right)^3 + ... \] Dan dapat ditulis dalam notasi sigma sebagai berikut

\[ Z = \sum_{i=0}^{\infty} 10 \times \left(-\frac{1}{5} \right)^i \]

series.sum2 <- function(i=0, tolerance = 1e-6){
  
  series.sum <- 0
  
  end.loop <- FALSE
  while(!end.loop){
    new.value <- (10)*(-1/5)^i
    series.sum <- series.sum + new.value
  
  i <- i+1
  
  if(abs(new.value) < tolerance){ end.loop <- TRUE }
  
  }
  
  return(series.sum)
  
}

Z <- series.sum2()
Z

## [1] 8.333333

Soal 3: Mengurutkan Bilangan

Buatlah fungsi untuk mengurutkan vektor Berikut dari besar ke kecil. Bandingkan hasilnya dengan mengguakan fungsi sort yang ada di R.

\(X=[13, 7, 6, 45, 21, 9, 101, 102]\)

Ada banyak algoritma yang dapat digunakan untuk mengurutkan bilangan (Wikipedia), antara lain:

• Quick sort,
• Selection sort,
• Bubble sort,
• Insertion sort,
• Merge sort, dan lain-lain

Untuk tugas ini, akan dicoba dua algoritma yaitu bubble sort dan insertion sort.

bubble.sort <- function(vec, mode = "asc"){
  
  n <- length(vec)
  for(i in 1:(n-1)) {
    for(j in (i+1):n) {
      
      if((mode == "asc"  && vec[i] > vec[j]) || 
         (mode == "desc" && vec[i] < vec[j])) {
        
        t <- vec[i]
        vec[i] <- vec[j]
        vec[j] <- t
      }
      
    }
  }
  
  return(vec)
}

x <- c(13, 7, 6, 45, 21, 9, 101, 102)

# ascending
bubble.sort(x)

## [1]   6   7   9  13  21  45 101 102

# descending
bubble.sort(x, "desc")

## [1] 102 101  45  21  13   9   7   6

insertion.sort <- function(vec, mode = "asc"){
  
  n <- length(vec)
  for(i in 2:n){
    
    temp <- vec[i]
    j <- i-1

    while((mode == "asc"  && vec[j] > temp && j > 0) || 
          (mode == "desc" && vec[j] < temp && j > 0)) {
      
      vec[j+1] <- vec[j]
      j <- j-1
      vec[j+1] <- temp
    }
    
  }
  return(vec)
  
}

# ascending
insertion.sort(x)

## [1]   6   7   9  13  21  45 101 102

# descending
insertion.sort(x, "desc")

## [1] 102 101  45  21  13   9   7   6

# ascending
sort(x)

## [1]   6   7   9  13  21  45 101 102

# descending
sort(x, TRUE)

## [1] 102 101  45  21  13   9   7   6