1. \(X\) tiene una distribución de Pareto tipo 2 con parámetros \(\alpha=2\) y \(\theta=10,000\). De misma manera, Y tiene una distribución Burr con sus parámetros \(\alpha=2\), \(\gamma=2\) y \(\theta = \sqrt{20,000}\). Sea r la razón de \(P_r(X > d)/P_r(Y > d)\). Calcule el \(\lim_{d \to \infty}(r)\) sólo sí exíste.
Queremos
\[ \frac{P_r(X > d)}{P_r(Y > d)} = \frac{S_X(d)}{S_Y(d)} = \frac{1-F_X(d)}{1-F_y(d)} \]
donde
\[ F_X(d) = \int_{0}^{d} \frac{\alpha ~ \theta ^{\alpha}}{(u+\theta)^{\alpha+1}}~du = \frac{(d+ \theta)^{\alpha}-\theta ^{\alpha}}{(d+\theta)^{\alpha}} \] y
\[ F_Y(y)= \int_{0}^{d^{\gamma}} \frac{\gamma \alpha \theta ^\alpha u^{\gamma-1}}{(u^{\gamma} + \theta)^{\alpha+1}} ~ du= -\frac{\theta ^{\alpha}}{(d^{\gamma}+\theta)^{\alpha}} +1 \] Entonces para \(\alpha = 2, ~\gamma = 2,~ \theta_1 = 10,000\)~ y ~\(\theta_2 = \sqrt{20,000}\)
\[ \begin{equation*} \begin{split} \frac{P_r(X > d)}{P_r(Y > d)} & = \frac{1- \frac{(d+ \theta_{1})^{\alpha}-\theta_{1} ^{\alpha}}{(d+\theta_{1})^{\alpha}}}{1-(-\frac{\theta_{2} ^{\alpha}}{(d^{\gamma}+\theta_{2})^{\alpha}} +1)} = \frac{\frac{\theta^{\alpha}_{1}}{(d+\theta_{1})^{\alpha}}}{\frac{\theta ^{\alpha}_{2}}{(d^{\gamma}+\theta_{2})^{\alpha}}} \\\\ & = \frac{\theta_{1}^{\alpha}(d^{\gamma}+\theta_2)^{\alpha}}{\theta_{2}^{\alpha}(d +\theta_1)^{\alpha}} = \left( \frac{\theta_{1}(d^{\gamma}+\theta_2)}{\theta_{2}(d +\theta_1)} \right)^{\alpha} \end{split} \end{equation*} \] Por lo tanto
\[ \begin{equation*} \begin{split} \lim_{d \to \infty} \frac{P_r(X > d)}{P_r(Y > d)} & = \lim_{d \to \infty} \left( \frac{\theta_{1}(d^{\gamma}+\theta_2)}{\theta_{2}(d +\theta_1)} \right)^{\alpha} = \lim_{d \to \infty} \left( \frac{10,000(d^{2}+\sqrt{20,000})}{\sqrt{20,000}(d +10,000)} \right)^{2} \\\\ & = \left( \frac{10,000}{\sqrt{20,000}} \right)^2 \lim_{d \to \infty} \left( \frac{d + \frac{\sqrt{20,000}}{d}}{1+\frac{10,000}{d}} \right)^{2}\\\\ & = \infty \end{split} \end{equation*} \]
2. Cierta variable aleatoria no negativa tiene una función \((f(x))\) de tasa de riesgo (hazard rate) de \(h(x) = A + e^{2x}\), \(x ≥ 0\). También se tiene que \(S(0.4) = 0.5\). Calcule el valor de \(A\).
HINT: Dado que \(h(t)\) también es igual al negativo de la derivada de \(\log[S(t)]\), tenemos la identidad útil:
\[F(t)=1-e^{-\int_{0}^{t} h(u) du}\]
De acuerdo al hint
\[ F\left(x\right)=1-e^{-\int_{0}^{x}h\left(s\right)ds} =1-e^{-\int_{0}^{x}{A+e^{2s}ds}} \]
Al resolver la integral obtenemos
\[\int_{0}^{x}\left(A+e^{2s}\right)ds=\left[As+\frac{1}{2}\left(e^{2s}-1\right)\right]_0^x=Ax+\frac{1}{2}\left(e^{2x}-1\right)\]
\[F\left(x\right)=1-e^{-\left(Ax+\frac{1}{2}\left(e^{2x}-1\right)\right)}\] \[\Rightarrow S\left(x\right)=1-F\left(x\right)=1-\left(1-e^{-\left(Ax+\frac{1}{2}\left(e^{2x}-1\right)\right)}\right)=e^{-\left(Ax+\frac{1}{2}\left(e^{2x}-1\right)\right)}\]
Y tenemos que
\[S\left(x\right)=e^{-\left(Ax+\frac{1}{2}\left(e^{2x}-1\right)\right)}\ ~ y~\ S\left(0.4\right)=0.5\]
\[\Rightarrow ~~~e^{-\left(0.4A+\frac{1}{2}\left(e^{2(0.4)}-1\right)\right)}=0.5\] \[\Rightarrow ~~~ e^{-0.4A}=0.5e^{\frac{1}{2}\left(e^{0.8}-1\right)}\]
\[\Rightarrow ~~~ -0.4A=ln(0.5)+\frac{1}{2}\left(e^{0.8}-1\right)\]
\[\Rightarrow ~~~ 0.4A=-ln\left(0.5\right)-\frac{1}{2}\left(e^{0.8}-1\right)\] \[\Rightarrow ~~~ A=\frac{-ln\left(0.5\right)-\frac{1}{2}\left(e^{0.8}-1\right)}{0.4}\] \[\therefore ~~~ A=\ 0.2009417907842789\]
3. Sean dos variables aleatorias \(X\) e \(Y\) , donde sabemos que \(e_Y (40) = e_X(40) + 6\). Sabemos que \(X\) tiene una distribución uniforme en el intervalo \([0,100]\) y además \(Y\) tiene una distribución uniforme en el intervalo \([0,ω]\). Calcule \(ω\).
Sabemos que la función de excesos de pérdida es
\[e_X\left(u\right)=\frac{\int_{u}^{\infty}S\left(t\right)dt}{S\left(u\right)}\]
Y si calculamos \(e_x(40)\):
\[ e_X\left(40\right)=\frac{\int_{40}^{100}S\left(t\right)dt}{S\left(40\right)} =\frac{\int_{40}^{100}{1-F\left(t\right)dt}}{1-F\left(40\right)}=\frac{\int_{40}^{100}{1-\frac{t}{100}dt}}{1-\frac{40}{100}} \]
Resolviendo la integral
\[ \int_{40}^{100}{1-\frac{t}{100}dt} =\ \left[t-\frac{t^2}{200}\right]_{40}^{100} =100-\left(\frac{{100}^2}{200}\right)-40+\frac{{40}^2}{200}=18 \]
\[ \Rightarrow~~~ e_X(40)=\frac{\int_{40}^{100}{1-\frac{t}{100}dt}}{1-\frac{40}{100}}=\frac{18}{\frac{60}{100}}=30 \]
\[ \Rightarrow ~~~ e_x\left(40\right)=30 \] \[ \therefore ~~~ e_Y\left(40\right)=e_X\left(40\right)+6=36 \]
Como \(~~e_Y\left(30\right)=36\):
\[ \Rightarrow~~~ 36=\frac{\int_{40}^{w}S\left(t\right)dt}{S\left(40\right)}=\frac{\int_{40}^{w}{1-\frac{t}{w}dt}}{1-\frac{40}{w}} \]
\[\Rightarrow~~~ 36=\frac{w-40-\left(\frac{w^2}{2w}-\frac{{40}^2}{2w}\right)}{1-\frac{40}{w}}\] \[ \Rightarrow~~~ 36=\frac{w}{w-40}\left((w-40)-\left(\frac{w^2-{40}^2}{2w}\right)\right) \] \[\Rightarrow~~~ 36=w-\frac{w}{w-40}\left(\frac{w^2-{40}^2}{2w}\right)\] \[ \Rightarrow~~~36=w-\frac{w+40}{2} \]
\[ \Rightarrow~~~36=\frac{w-40}{2} \]
\[\Rightarrow~~~ w = 36(2)+40\] \[ \therefore ~~~ w=112\]
4. Las pérdidas siguen una distribución \(Pareto(α = 0.6 ; θ = 12,000)\) tipo \(2\). Calcula la función media de exceso de pérdida en \(θ\).
HINT: Los momentos de la variable izquierda censurada y desplazada \(E[(X-d)_{+}]\) es definida como,
\[E[(X-d)_{+}]=\int_{d}^{\infty} (x-d) f(x) \quad dx = E(X)-E(X \wedge d)=e_{X}(d)[1-F(d)]\] y además, recordar que para una distribución \(Pareto(\alpha,\theta)\)
\[E(X \wedge d)=\int_0^{d} [1-F(x)] \quad dx= \frac{\theta}{\alpha-1}\left[1-\left(\frac{\theta}{\theta+d}\right)^{\alpha-1} \right]\]
Tenemos que la Función Media de Exceso es
\[e(x) = E(X-d ~ | X>d)\]
\[\begin{equation*} \begin{split} \Rightarrow ~~ e(x) & = E(X-d ~ | X>u)\\\\ & = \frac{E[(X-d) ~1_{\{x>d\}}]}{P(X > d)} \\\\ & = \frac{E[(X-d)_+]}{S_X(d)} \\\\ & = \frac{E(X)-E(X \wedge d)}{1 - F_X(d)} \\\\ \end{split} \end{equation*}\]
donde
\(F_X(x) = \int_{0}^{x} \frac{\alpha ~ \theta ^{\alpha}}{(u+\theta)^{\alpha+1}}~du = \frac{(x+ \theta)^{\alpha}-\theta ^{\alpha}}{(x+\theta)^{\alpha}}\)
Y tenemos que \(~~~E(X)= \frac{\theta}{\alpha -1}\)
Por lo tanto
\[\begin{equation*} \begin{split} \Rightarrow ~~ e(x) & = \frac{E(X)-E(X \wedge d)}{1 - F_X(d)}\\\\ & = \frac{\frac{\theta}{\alpha -1}- \frac{\theta}{\alpha-1}\left[1-\left(\frac{\theta}{\theta+d}\right)^{\alpha-1} \right]}{1-\frac{(d+ \theta)^{\alpha}-\theta ^{\alpha}}{(d+\theta)^{\alpha}}} \\\\ & = \frac{\frac{\theta}{\alpha -1}- \frac{\theta}{\alpha-1}\left[1-\left(\frac{\theta}{\theta+d}\right)^{\alpha-1} \right]}{\frac{\theta ^{\alpha}}{(d+\theta)^{\alpha}}} \\\\ & = \frac{\frac{\theta ^{\alpha}}{(\alpha -1)( \theta + d)^{\alpha -1}}}{\frac{\theta ^{\alpha}}{(d+\theta)^{\alpha}}} \\\\ & = \frac{d + \theta}{\alpha -1} \end{split} \end{equation*}\]
Por lo tanto, con \(α = 0.6\) y \(θ = 12, 000\), la Función Media de Exceso de pérdida en \(\theta\) es \(e(x) = \frac{d+12000}{-0.4}\)
5. Las pérdidas de cierta compañia siguen una distribución \(Weibull(α, θ)\). El percentil \(25\) es \(1,000\) y el percentil \(75\) es \(100,000\). Calcule el valor de \(α\).
Sabemos que si \(X\sim Weibull\left(\theta,\alpha\right)\) entonces \(F\left(x\right)=1-e^{-\left(x/\theta\right)^\alpha}\). Entonces para los dos percentiles tenemos
\[0.25=1-e^{-\left(1,000/\theta\right)^\alpha}\]
\[0.75=1-e^{-\left(100,000/\theta\right)^\alpha}\]
Simplificando y sacando logaritmo de ambos lados obtenemos:
\[ln\left(0.75\right)=-\left(1,000/\theta\right)^\alpha\]
\[ln\left(0.25\right)=-\left(100,000/\theta\right)^\alpha\]
Dividiendo ambas igualdades, obtenemos
\[\frac{ln(0.25)}{ln(0.75)}=\frac{-\left(100,000/\theta\right)^\alpha}{-\left(1,000/\theta\right)^\alpha}\]
\[\Rightarrow~~~\frac{ln\left(0.25\right)}{ln\left(0.75\right)}=\frac{-\frac{{100,000}^\alpha}{\theta^\alpha}}{-\frac{{1,000}^\alpha}{\theta^\alpha}}\]
\[\Rightarrow~~~\frac{ln\left(0.25\right)}{ln\left(0.75\right)}=\frac{{100,000}^\alpha}{{1,000}^\alpha}\]
\[\Rightarrow~~~\frac{ln\left(0.25\right)}{ln\left(0.75\right)}={100}^\alpha\]
\[\Rightarrow ~~~ ln\left(\frac{ln\left(0.25\right)}{ln\left(0.75\right)}\right)=\alpha ln\left(100\right)\]
\[\Rightarrow~~~ \frac{ ln\left(\frac{ln\left(0.25\right)}{ln\left(0.75\right)}\right)}{ln\left(100\right)}=\alpha\] \[\therefore~~~ \alpha=0.3415\]
6. Calcula el \(VaR\) y \(TVaR\) al \(90%\) para las siguientes distribuciones:
• \(U(0, 300)\)
• \(Pareto(α = 1.8, θ = 2)\)
• \(Exp(media = 2000)\)
• \(Lognormal(µ = 10, σ = 4)\)
—\(U(0, 300)\)—:
Si \(X\sim U\left(0,\theta\right)\) entonces
\[F\left(x\right)=\frac{x}{\theta}\]
\[VaR_p\left(x\right)=\theta p\]
\[TVaR_p=\frac{\theta\left(1+p\right)}{2}\]
Sustituyendo
\[VaR_p=\theta p=300\ast0.9=270\]
\[TVaR_p=\frac{\theta\left(1+p\right)}{2}=\frac{300\left(1+.9\right)}{2}=285\]
—\(Pareto(α = 1.8, θ = 2)\)—:
Si \(X\sim Pareto\left(\alpha\ ,\theta\right)\)
entonces
\[F\left(x\right)=1-\left(\frac{x}{\theta}\right)^\alpha\]
\[VaR_p\left(x\right)=\frac{\theta}{\left(1-p\right)^{1/\alpha}}\]
\[TVaR_p\left(x\right)=\frac{\theta\ \alpha}{\left(\alpha-1\right)\left(1-p\right)^{1/\alpha}}\]
Sustituyendo
\[F\left(x\right)=1-\left(\frac{x}{\theta}\right)^\alpha\]
\[VaR_p\left(x\right)=\frac{2}{\left(1-.9\right)^{1/1.8}}=7.18763\]
\[TVaR_p\left(x\right)=\frac{2\ \cdot\ \ 1.8}{\left(1.8-1\right)\left(1-.9\right)^{1/1.8}}=16.1722\]
— \(Exp(media = 2000)\) —:
Si \(X\sim Exp\left(\theta=1/\lambda\right)\)
entonces
\[F\left(x\right)=1-e^{-\theta x}\]
\[VaR_p\left(x\right)=-\theta ln\left(1-p\right)\]
\[TVaR_p\left(x\right)=-\theta ln\left(1-p\right)+\theta\]
Sustituyendo
\[\theta=1/\lambda=1/2000\]
\[VaR_p\left(x\right)=-\theta ln\left(1-p\right)=-\left(1/2000\right)\cdot ln\left(1-.9\right)=0.00115129\]
\[TVaR_p\left(x\right)=-\left(1/2000\right)\cdot ln\left(1-.9\right)+1/2000=0.00165129\]
—\(Lognormal(µ = 10, σ = 4)\)—:
7. Una compañía aseguradora de autos ofrece cobertura para conductores de todas las edades. Se saben las siguientes estadísticas al respecto:
\[ \begin{array}{|c |c |c |c | c | c|} \hline \textbf{Edad del Conductor} & \textbf{Probabilidad de Accidente} & \textbf{Proporción de Asegurados respecto al Total} \\ \hline 16-20 & 0.06 & 0.08 \\ \hline 21-30 & 0.03 & 0.15 \\ \hline 31-65 & 0.02 & 0.49 \\ \hline 66-99 & 0.04 & 0.28 \\ \hline \end{array}\]
Se selecciona a un conductor de forma aleatoria que haya tenido un accidente y esté asegurado. Calcula la probabilidad de que pertenezca al rango de edad \(16-21\).
Ya que sabemos que ocurrirá un evento condicionado a que ha ocurrido a otro, podemos utilizar el teorema de Bayes:\
Sea \(A\) el evento de que un conductor asegurado tenga un accidente y sean
\(B_1=\) el evento de que el conductor tenga entre 16-20 años
\(B_2=\) el evento de que el conductor tenga entre 21-30 años
\(B_3=\) el evento de que el conductor tenga entre 31-65 años
\(B_4=\) el evento de que el conductor tenga entre 66-99 años
Entonces, por el teorema de Bayes tenemos:
\[P\left(B_1\middle| A\right)=\frac{P\left(A\middle| B_1\right)P\left(B_1\right)}{P\left(A\middle| B_1\right)P\left(B_1\right)+P\left(A\middle| B_2\right)P\left(B_2\right)+P\left(A\middle| B_3\right)P\left(B_3\right)+P\left(A\middle| B_4\right)P\left(B_4\right)}\] Sustituyendo:
\[ P\left(B_1\middle| A\right)=\frac{0.06\cdot0.08}{0.06\cdot0.08+0.03\cdot0.15+0.02\cdot0.49+0.04\cdot0.28}\] \[\Rightarrow ~~P\left(B_1\middle| A\right)=\frac{0.0048}{0.0303}\] \[\therefore ~~P\left(B_1\middle| A\right)=0.1584\]
8. Un monto de pérdida derivado de incendios de un edificio comercial es modelado por una variable aleatoria X con función de densidad: \(f(x) = 0.005 · (20 − x) · 1_{0<x<20}\). Dado que la pérdida por incendio excede el valor \(8\), ¿cuál es la probabilidad de que exceda el valor \(16\)?
Sabemos que si \(f\left(x\right)=0.005\left(20-x\right)\) podemos obtener la función de distribución integrando. Es decir,
\[F(x)=\int_{0}^{x}0.005\left(20-t\right)dt=\left[0.1t\ -\frac{t^2}{400}\right]_0^x=0.1x-\frac{x^2}{400}\]
Buscamos, la probabilidad de que \[P\left(X>16\middle| X>8\right)\]
Y por probailidad sabemos que es igual a
\[\frac{P\left(X>16\right)}{P\left(X>8\right)}\]
Como conocemos su función de distribución, calculamos
\[P\left(X>16\right)=1-P\left(16<X\right)=1-F\left(16\right)\]
\[=1-\left(0.1\left(16\right)-\frac{\left(16\right)^2}{400}\right)=1-0.96=0.04\]
Y por otro lado,
\[P\left(X>8\right)=1-P\left(8<X\right)=1-F\left(8\right)\] \[=1-\left(0.1\left(8\right)-\frac{\left(8\right)^2}{400}\right)=1-0.64=0.36\]
Asi,
\[\frac{P\left(X>16\right)}{P\left(X>8\right)}=\frac{0.04}{0.36}=1/9\]
9. . Una compañía aseguradora tiene cobertura sobre casas en tres ciudades de la república: Guadalajara, Monterrey y CDMX. Dado que la distancia entre las ciudades es considerable, es natural asumir que los siniestros que ocurren en las mismas son independientes entre sí. Las funciones generadoras de momentos de las variables de pérdidas de cada ciudad son:
• CDMX: \(M_{CDMX}(t) = (1 − 2t)^{−3}\)
• Guadalajara: \(M_{Guadalajara}(t) = (1 − 2t)^{−2.5}\)
• Monterrey: \(M_{Monterrey}(t) = (1 − 2t)^{−4.5}\)
Suponga que \(X\) representa las pérdidas combinadas de las tres ciudades. Calcula \(E(X^3)\).
Por probabilidad sabemos que para dos v.a. independientes, con funciones generadoras de momentos \(M_x\left(t\right) y M_y\left(t\right)\) que
\[M_{x+y}=M_x\left(t\right)M_y\left(t\right)\]
Asi, para la ciudad de México, Guadalajara y Monterrey tenemos:
\[M_{CDMX+Guadalajara+Monterrey}=M_{CDMX}\left(t\right)\cdot M_{Guadalajara}(t)\cdot M_{Monterrey}(t)\]
\[=(1-2t)^{-3}\cdot (1-2t)^{-2.5}\cdot (1-2t)^{-4.5}\]
\[\therefore{\ M}_{CDMX+Guadalajara+Monterrey}=\ \left(1-2t\right)^{-10}\]
Derivamos 3 veces y evaluamos en t=0 para encontrar \(E\left(x^3\right)\)
\[\frac{d}{dt}\left({\ M}_{CDMX+Guadalajara+Monterrey}\right)=\frac{d}{dt}\left(\left(1-2t\right)^{-10}\right)\]
\[\Rightarrow\frac{d}{dt}\left(\left(1-2t\right)^{-10}\right)=20\left(1-2t\right)^{-11}\]
\[\Rightarrow\frac{d^2}{dt^2}\left(\left(1-2t\right)^{-10}\right)=\frac{d}{dt}20\left(1-2t\right)^{-11}=440\left(1-2t\right)^{-12}\] \[\Rightarrow\frac{d^3}{dt^3}\left(\left(1-2t\right)^{-10}\right)=\frac{d}{dt}440\left(1-2t\right)^{-12}=10,560\left(1-2t\right)^{-13}\] Y al evaluar en \(t=0\):
\[E\left(x^3\right)=10,560\left(1-2\left(0\right)\right)^{-13} =10,560\]
\[\therefore E\left(x^3\right)=10,560\]
10. Una compañía aseguradora sobre aparatos electrónicos paga un beneficio de \(4000\) si el aparato en cuestión falla durante el primer año. La cantidad del beneficio decrece en mil cada año sucesivo hasta alcanzar cero. Si el aparato no ha fallado hasta el inicio de cada año, la probabilidad de falla durante el año en curso es de \(0.4\). ¿Cuál es el beneficio esperado de la póliza?
Sea \(X\) la variable aleatoria del beneficio que paga la aseguradora.
Sea \(A\) el evento de que el aparto falle en curso del año i, con i =1,2,3,4,5,… Y sea \(B\) el evento de que el aparato no falle en curso del año i, con i =1,2,3,4,5,…
Se tiene la siguiente información:
\[ \begin{array}{|c |c |c |c | c | c|} \hline Año & 1 & 2 & 3 & 4 & 5+\\ \hline x & 4000 & 3000 & 2000 & 1000 & 0\\ \hline P(X = x) & 0.4 & (0.6)(0.4) = 0.24 & (0.6)^2(0.4)=0.144 & (0.6)^3(0.4)=0.0864 & 1-(0.4+0.24+0.144+0.0864) = 0.1296\\ \hline \end{array}\]
Por lo tanto:
\[E(X) =\sum x P(X = x) = 4000(0.4)+3000(0.24)+2000(0.144)+1000(0.0864)+0(0.1296) = 2,694.4\]
Es decir, el beneficio esperado de la póliza es \(\textbf{2,694.4}\).
11. . Una compañía acuerda aceptar el precio más alto que se le ofrezca en una subasta de una propiedad. Hasta el momento, ha recibido cuatro ofertas, mismas que se distribuyen de forma independiente e idéntica con función de distribución dada por \(F(x) = \frac{1}{2} (1+ sen \pi x)\) para \(\frac{3}{2} ≤ x ≤ \frac{5}{2}\). ¿Cuál es el valor esperado del precio más alto?
Sean \(X_1, X_2, X_3\) y \(X_4\) las ofertas del precio del precio de la propiedad.
Sea \(Y = máx(X_1,X_2,X_3,X_4)\) la variable aleatoria que representa la oferta más alta que la compañía acuerda aceptar.
Como \(X_i\) para \(i = 1,2,3,4\) son iid se tiene lo siguiente, para \(\frac{3}{2} \leq y \leq \frac{5}{2}\):
\[ \begin{equation*} \begin{split} \Rightarrow ~~ F_Y(y) & = P(Y \leq y)\\\ & = P(X_1 \leq y, X_2 \leq y, X_3 \leq y, X_4 \leq y) \\\ & = P(X_1 \leq y) \cdot P(X_2 \leq y) \cdot P(X_3 \leq y) \cdot P(X_4 \leq y)\\\ & = [~\frac{1}{2}~~ (1+ sen \pi y)~]^{~4}\\\ & = \frac{1}{16}~~ (1+ sen \pi y)^{~4} \end{split} \end{equation*} \] Con función de densidad, para \(\frac{3}{2} \leq y \leq \frac{5}{2}\)
\[ \begin{equation*} \begin{split} \Rightarrow ~~ f_Y(y) & = F'_Y(y)) = \frac{\pi ~cos\pi y ~(1+sin\pi y)^3}{4} \end{split} \end{equation*} \] Finalmente:
\[ \begin{equation*} \begin{split} E(Y) & = \int_{\frac{3}{2}}^{\frac{5}{2}} y \cdot f_Y(y) ~dy\\\ & = \int_{\frac{3}{2}}^{\frac{5}{2}} y \cdot \frac{\pi ~cos\pi y ~(1+sin\pi y)^3}{4}~ dy = \frac{285}{128} \end{split} \end{equation*} \] Por lo tanto, el valor esperado del precio más alto es \(\frac{285}{128} \approx 2.2265\)
12. Una aseguradora ha recibido \(2025\) reclamaciones, mismas que son asumidas como independientes e idénticamente distribuídas con media \(3125\) y desviación estándar \(250\). Calcula una aproximación del percentil 90-ésimo de la distribución del monto total de reclamaciones.
Sean \(X_1,X_2,...,X_2025\) las reclamaciones con \(E(X)=3,125\) y \(\sigma(X) = 250\). Tenemos que el número total de las reclamaciones es
\[N = \sum_{j=1}^{2025}X_{j}\] Como las \(X_j's\) son iid tenemos que
\[Z = \frac{N-3125}{\frac{250}{\sqrt{2025}}} \sim N(0,1)\] Entonces
\[P(\frac{N-3125}{\frac{250}{\sqrt{2025}}} \leq X_p) =0.90\] Donde
qnorm(0.90)## [1] 1.281552\[\Rightarrow ~~ P(\frac{N-3125}{\frac{250}{\sqrt{2025}}} \leq 1.28) =0.90\] \[\Rightarrow ~~ P(N \leq 1.28 \cdot \frac{\sqrt{2025}}{250} + 3125 ) =0.90\] Por lo tanto, el cuantil al \(90\%\) de \(N\) es
\[ 1.28 \cdot \frac{\sqrt{2025}}{250} + 3125 = \textbf{3,125.2304}\]
13. Ejercicio en R: De la paquetería insuranceData, obtenga los datos de la base AutoClaims, la cual contiene \(6,773\) observaciones, cada una con cinco variables. La base trata acerca de la experiencia en reclamaciones de una aseguradora de propiedad y accidentes del medio oeste (EE. UU.) para pasajeros privados de seguro de automóvil. Ejercicio completo, página 3
15. Ejercicio en R: Calcula el V aR y el T V aR al \(95%\) de confianza de las siguientes distribuciones
• \(Normal(μ = 25, σ = 5)\)
• \(Exponencial(λ = 10)\)
• \(Poisson(λ = 15)\)
• \(Pareto(θ = 10, α = 3), tipo 2\)
• \(Log−Normal(μ = 25, σ = 10)\)