Dosen Pembimbing : Prof. Dr. Suhartono, M.Kom

Lembaga : Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang

Jurusan : Teknik Informatika

Fakultas : Sains dan Teknologi

Pada artikel sebelumnya, telah dibahas tentang materi pertidaksamaan linear dan cara menggunakannya di aplikasi RStudio, serta beberapa soal-soal terkait materi tersebut. Artikel ini akan melanjutkan artikel - artikel sebelumnya yaitu berisi penyelesaian soal - soal pertidaksamaan linear satu variabel dengan menggunakan grafik dan tabel di aplikasi R Studio. Berikut penjelasannya.

Soal - Soal

Soal - soal ini saya ambil dari buku Dr. Suhartono (2015) yang berjudul Memahami Kalkulus Dasar Menggunakan Wolfram Mathematica 9 yaitu pada halaman 28.

1. 4x - 7 < 3x - 5
2. 2x - 4 ≤ 6 - 7x ≤ 3x + 6
3. x^2 + x - 12 < 0
4. 3x^2 - 11x - 4 ≤ 0
5. (x + 5)/(2x - 1) < 0

Solusi Penyelesaian

1. 4x - 7 < 3x - 5

Penyelesaiannya :

Penyelesaian Secara Manual
4x - 7 < 3x - 5
4x - 3x < -5 + 7
x < 2
sehingga x < 2
Himpunan penyelesaiannya (HP) = {x < 2}

Dari penyelesaian manual diatas dapat disimpulkan bahwa Himpunan penyelesaiannya (HP) adalah {x < 2}, sehingga yang bagian tersebut yang seharusnya diarsir.

Rumus tabel

# Rumus Membuat Tabel
root_table <- function(f, a, b, N=10){
    h <- abs((a+b)/N)
    x <- seq(from=a, to=b, by=h)
    fx <- rep(0, N+1)
    for(i in 1:(N+1)){
      fx[i] <- f(x[i])
    }
    data <- data.frame(x=x, fx=fx)
    return(data)
}

Membuat Tabel

# Membuat Tabel
tabel <- root_table(f=function(x){x - 2},
                     a=0, b=10, N=10)

print(tabel)
##     x fx
## 1   0 -2
## 2   1 -1
## 3   2  0
## 4   3  1
## 5   4  2
## 6   5  3
## 7   6  4
## 8   7  5
## 9   8  6
## 10  9  7
## 11 10  8

Membuat Vektor

# Membuat Vektor
x <- c(-5:5); y <- x - 2

Membuat Grafik

plot(x, y, type="o")

Dari gambar tersebut dapat dilihat bahwa dalam grafik terdapat himpunan penyelesaian (HP) variabel x yaitu {x < 2} yang seharusnya diarsir. Namun, hal itu tidak tampak di grafik tersebut karena pada R Studio hanya dapat menggambar grafik tanpa arsiran saja. Selain itu, seharusnya grafik benbentuk garis lurus horizontal, tetapi saya belum mengerti bagaimana membuat grafik berbentuk lurus horizontal di aplikasi R Studio.

2. 2x - 4 ≤ 6 - 7x ≤ 3x + 6

Penyelesaiannya :

Penyelesaian Secara Manual
2x - 4 ≤ 6 - 7x ≤ 3x + 6

# Himpunan Penyelesaian Pertama
2x - 4 ≤ 6 - 7x
2x + 7x ≤ 6 + 4
9x ≤ 10
x ≤ 10/9

# Himpunan Penyelesaian Kedua
6 - 7x ≤ 3x + 6
3x + 7x ≥ 6 - 6
10x ≥ 0
x ≥ 0 
sehingga x ≤ 10/9 dan x ≤ 0 
Himpunan penyelesaiannya (HP) = {0 ≤ x ≤ 10/9}

Dari penyelesaian manual diatas dapat disimpulkan bahwa Himpunan penyelesaiannya (HP) adalah {0 ≤ x ≤ 10/9}, sehingga yang bagian tersebut yang seharusnya diarsir.

3. x^2 + x - 12 < 0

Penyelesaiannya :

Penyelesaian Secara Manual
x^2 + x - 12 < 0

# Menggunakan Pemfaktoran
(x + 4)(x - 3) < 0

# Pembuat Nol Pertama
x + 4 = 0
x = -4
sehingga titiknya (-4,0)

# Pembuat Nol Kedua
x - 3 = 0
x = 3
sehingga titiknya (3,0)

# Uji Titik (0,0)
Himpunan penyelesaiannya (HP) = {-4 < x < 3}

Dari penyelesaian manual diatas dapat disimpulkan bahwa Himpunan penyelesaiannya (HP) adalah {-4 < x < 3}, sehingga yang bagian tersebut yang seharusnya diarsir.

Rumus tabel

# Rumus Membuat Tabel
root_table <- function(f, a, b, N=10){
    h <- abs((a+b)/N)
    x <- seq(from=a, to=b, by=h)
    fx <- rep(0, N+1)
    for(i in 1:(N+1)){
      fx[i] <- f(x[i])
    }
    data <- data.frame(x=x, fx=fx)
    return(data)
}

Membuat Tabel

# Membuat Tabel
tabel <- root_table(f=function(x){x^2 + x - 12},
                     a=0, b=10, N=10)

print(tabel)
##     x  fx
## 1   0 -12
## 2   1 -10
## 3   2  -6
## 4   3   0
## 5   4   8
## 6   5  18
## 7   6  30
## 8   7  44
## 9   8  60
## 10  9  78
## 11 10  98

Membuat Tabel

# Membuat Tabel
tabel <- root_table(f=function(x){x^2 + x - 12},
                     a=-10, b=0, N=10)

print(tabel)
##      x  fx
## 1  -10  78
## 2   -9  60
## 3   -8  44
## 4   -7  30
## 5   -6  18
## 6   -5   8
## 7   -4   0
## 8   -3  -6
## 9   -2 -10
## 10  -1 -12
## 11   0 -12

Membuat Vektor

# Membuat Vektor
x <- c(-5:5); y <- x^2 + x - 12

Membuat Grafik

plot(x, y, type="o")

Berdasarkan grafik di atas dapat dilihat bahwa grafik melewati sumbu (3,0) dan (-4,0). Selain itu, dari gambar tersebut dapat dilihat bahwa dalam grafik terdapat himpunan penyelesaian (HP) variabel x yaitu {-4 < x < 3} yang seharusnya diarsir. Namun, hal itu tidak tampak di grafik tersebut karena pada R Studio hanya dapat menggambar grafik tanpa arsiran saja.

4. 3x^2 - 11x - 4 ≤ 0

Penyelesaiannya :

Penyelesaian Secara Manual
3x^2 - 11x - 4 ≤ 0

# Menggunakan Pemfaktoran
(x - 4)(3x + 1) ≤ 0

# Pembuat Nol Pertama
x - 4 = 0
x = 4
sehingga titiknya (4,0)

# Pembuat Nol Kedua
3x + 1 = 0
3x = -1
x = -1/3
sehingga titiknya (-1/3,0)

# Uji Titik (0,0)
Himpunan penyelesaiannya (HP) = {x ≤ -1/3 atau x ≥ 4}

Dari penyelesaian manual diatas dapat disimpulkan bahwa Himpunan penyelesaiannya (HP) adalah {x ≤ -1/3 atau x ≥ 4}, sehingga yang bagian tersebut yang seharusnya diarsir.

Rumus tabel

# Rumus Membuat Tabel
root_table <- function(f, a, b, N=10){
    h <- abs((a+b)/N)
    x <- seq(from=a, to=b, by=h)
    fx <- rep(0, N+1)
    for(i in 1:(N+1)){
      fx[i] <- f(x[i])
    }
    data <- data.frame(x=x, fx=fx)
    return(data)
}

Membuat Tabel

# Membuat Tabel
tabel <- root_table(f=function(x){3*(x^2) - 11*x - 4},
                     a=0, b=10, N=10)

print(tabel)
##     x  fx
## 1   0  -4
## 2   1 -12
## 3   2 -14
## 4   3 -10
## 5   4   0
## 6   5  16
## 7   6  38
## 8   7  66
## 9   8 100
## 10  9 140
## 11 10 186

Membuat Tabel

# Membuat Tabel
tabel <- root_table(f=function(x){3*(x^2) - 11*x - 4},
                     a=-1, b=0, N=10)

print(tabel)
##       x    fx
## 1  -1.0 10.00
## 2  -0.9  8.33
## 3  -0.8  6.72
## 4  -0.7  5.17
## 5  -0.6  3.68
## 6  -0.5  2.25
## 7  -0.4  0.88
## 8  -0.3 -0.43
## 9  -0.2 -1.68
## 10 -0.1 -2.87
## 11  0.0 -4.00

Membuat Vektor

# Membuat Vektor
x <- c(-7:10); y <- 3*(x^2) - 11*x - 4

Membuat Grafik

plot(x, y, type="o")

Berdasarkan grafik di atas dapat dilihat bahwa grafik melewati sumbu (4,0) dan (-1/3,0). Selain itu, dari gambar dapat dilihat bahwa dalam grafik terdapat himpunan penyelesaian (HP) variabel x yaitu {x ≤ -1/3 atau x ≥ 4} yang seharusnya diarsir. Namun, hal itu tidak tampak di grafik tersebut karena pada R Studio hanya dapat menggambar grafik tanpa arsiran saja.

5. (x + 5)/(2x - 1) ≤ 0

Penyelesaiannya :

Penyelesaian Secara Manual
(x + 5)/(2x - 1) ≤ 0

# Nilai Nol Bagian Pembilang
x + 5 = 0
x = -5

# Nilai Nol Bagian Penyebut
2x - 1  = 0
x = 1/2

# Nilai Nol Bagian Penyebut != 0
2x - 1  != 0
x != 1/2

# Uji titik (0,0)
sehingga himpunan penyelesaiannya (HP) = {-5 ≤ x < 1/2}

Dari penyelesaian manual diatas dapat disimpulkan bahwa Himpunan penyelesaiannya (HP) adalah {-5 ≤ x < 1/2}, sehingga yang bagian tersebut yang seharusnya diarsir.

Rumus tabel

# Rumus Membuat Tabel
root_table <- function(f, a, b, N=10){
    h <- abs((a+b)/N)
    x <- seq(from=a, to=b, by=h)
    fx <- rep(0, N+1)
    for(i in 1:(N+1)){
      fx[i] <- f(x[i])
    }
    data <- data.frame(x=x, fx=fx)
    return(data)
}

Membuat Tabel

# Membuat Tabel
tabel <- root_table(f=function(x){(x + 5)/(2*x - 1)},
                     a=-5, b=0, N=10)

print(tabel)
##       x         fx
## 1  -5.0  0.0000000
## 2  -4.5 -0.0500000
## 3  -4.0 -0.1111111
## 4  -3.5 -0.1875000
## 5  -3.0 -0.2857143
## 6  -2.5 -0.4166667
## 7  -2.0 -0.6000000
## 8  -1.5 -0.8750000
## 9  -1.0 -1.3333333
## 10 -0.5 -2.2500000
## 11  0.0 -5.0000000

Membuat Tabel

# Membuat Tabel
tabel <- root_table(f=function(x){(x + 5)/(2*x - 1)},
                     a=0, b=5, N=10)

print(tabel)
##      x        fx
## 1  0.0 -5.000000
## 2  0.5       Inf
## 3  1.0  6.000000
## 4  1.5  3.250000
## 5  2.0  2.333333
## 6  2.5  1.875000
## 7  3.0  1.600000
## 8  3.5  1.416667
## 9  4.0  1.285714
## 10 4.5  1.187500
## 11 5.0  1.111111

Membuat Vektor

# Membuat Vektor
x <- c(-5:0.5); y <- (x + 5)/(2*x - 1)

Membuat Grafik

plot(x, y, type="o")

Dari gambar tersebut dapat dilihat bahwa dalam grafik terdapat himpunan penyelesaian (HP) variabel x yaitu {-5 ≤ x < 1/2} yang seharusnya diarsir. Namun, hal itu tidak tampak di grafik tersebut karena pada R Studio hanya dapat menggambar grafik tanpa arsiran saja.

Dari uraian di atas dapat disimpulkan bahwa R Studio dapat menyelesaikan soal-soal pertidaksamaan linear.

Demikian, solusi penyelesaian soal-soal pertidaksamaan linear satu variabel pada R Markdown di aplikasi R Studio. Semoga bermanfaat.

Daftar Pustaka

  • Rosidi, M. (2019). Metode Numerik Menggunakan R Untuk Teknik Lingkungan. Bandung.
  • Suhartono. (2015). Memahami Kalkulus Dasar Menggunakan Wolfram Mathematica 9. Malang: Suhartono.