Dosen Pembimbing : Prof. Dr. Suhartono, M.Kom

Lembaga : Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang

Jurusan : Teknik Informatika

Fakultas : Sains dan Teknologi

Pada artikel sebelumnya, telah dibahas tentang materi pertidaksamaan linear dan di aplikasi RStudio. Oleh karena itu, artikel ini akan melanjutkan materi di artikel sebelumnya yaitu berisi soal - soal pertidaksamaan linear yang kemudian akan dicarikan solusi untuk penyelesaiannya dengan menggunakan grafik dan tabel di aplikasi RStudio ini.

Soal - Soal

Soal - soal ini saya ambil dari buku Dr. Suhartono (2015) yang berjudul Memahami Kalkulus Dasar Menggunakan Wolfram Mathematica 9 yaitu pada halaman 22 sampai 27.

1. -6 < 2x + 3 < -1
2. 3x + 2 < 5x + 1 < 16 
3. x^2 + x - 12 < 0
4. (x + 5)/(2x - 1) ≤ 0
5. (x - 2)/(x + 4) < 2

Solusi Penyelesaian

1. -6 < 2x + 3 < -1

Penyelesaiannya :

Penyelesaian Secara Manual
-6 < 2x + 3 < -1
-6 -3 < 2x + 3 - 3 < -1 -3
-9 < 2x < -4
-9/2 < x < -2
sehingga x > -9/2 dan x < -2
Himpunan penyelesaiannya (HP) = {-9/2 < x < -2}

Dari penyelesaian manual diatas dapat disimpulkan bahwa Himpunan penyelesaiannya (HP) adalah {-9/2 < x < -2}, sehingga yang bagian tersebut yang seharusnya diarsir.

Rumus tabel

# Rumus Membuat Tabel
root_table <- function(f, a, b, N=10){
    h <- abs((a+b)/N)
    x <- seq(from=a, to=b, by=h)
    fx <- rep(0, N+1)
    for(i in 1:(N+1)){
      fx[i] <- f(x[i])
    }
    data <- data.frame(x=x, fx=fx)
    return(data)
}

Membuat Tabel

# Membuat Tabel
tabel <- root_table(f=function(x){2*x + 3},
                     a=-5, b=0, N=10)

print(tabel)
##       x fx
## 1  -5.0 -7
## 2  -4.5 -6
## 3  -4.0 -5
## 4  -3.5 -4
## 5  -3.0 -3
## 6  -2.5 -2
## 7  -2.0 -1
## 8  -1.5  0
## 9  -1.0  1
## 10 -0.5  2
## 11  0.0  3

Membuat Vektor

# Membuat Vektor
x <- c(-5:5); y <- 2*x +3

Membuat Grafik

plot(x, y, type="o")

Dari gambar tersebut dapat dilihat bahwa dalam grafik terdapat himpunan penyelesaian (HP) variabel x yaitu {-9/2 < x < -2} yang seharusnya diarsir. Namun, hal itu tidak tampak di grafik tersebut karena pada R Studio hanya dapat menggambar grafik tanpa arsiran saja.

2. 3x + 2 < 5x + 1 < 16

Penyelesaiannya :

Penyelesaian Secara Manual
3x + 2 < 5x + 1 < 16 

# Himpunan Penyelesaian Pertama
3x + 2 < 5x + 1
5x - 3x > 2 - 1
2x > 1
x > 1/2

# Himpunan Penyelesaian Kedua
5x + 1 < 16 
5x < 16 -1
5x < 15
x < 3
sehingga x > 1/2 dan x < 3
Himpunan penyelesaiannya (HP) = {1/2 < x < 3}

Dari penyelesaian manual diatas dapat disimpulkan bahwa Himpunan penyelesaiannya (HP) adalah {-9/2 < x < -2}, sehingga yang bagian tersebut yang seharusnya diarsir.

3. x^2 + x - 12 < 0

Penyelesaiannya :

Penyelesaian Secara Manual
x^2 + x - 12 < 0

# Menggunakan pemfaktoran
x^2 + x - 12 < 0
(x + 4)(x - 3)< 0

# Pembuat nol pertama
x + 4 = 0
x = -4

# Pembuat nol pertama
x - 3 = 0
x = 3

# Uji titik (0,0)
sehingga himpunan penyelesaiannya (HP) = {-4 < x < 3}

Dari penyelesaian manual diatas dapat disimpulkan bahwa Himpunan penyelesaiannya (HP) adalah {-4 < x < 3}, sehingga yang bagian tersebut yang seharusnya diarsir.

Rumus tabel

# Rumus Membuat Tabel
root_table <- function(f, a, b, N=10){
    h <- abs((a+b)/N)
    x <- seq(from=a, to=b, by=h)
    fx <- rep(0, N+1)
    for(i in 1:(N+1)){
      fx[i] <- f(x[i])
    }
    data <- data.frame(x=x, fx=fx)
    return(data)
}

Membuat Tabel

# Membuat Tabel
tabel <- root_table(f=function(x){x^2 + x - 12},
                     a=-5, b=0, N=10)

print(tabel)
##       x     fx
## 1  -5.0   8.00
## 2  -4.5   3.75
## 3  -4.0   0.00
## 4  -3.5  -3.25
## 5  -3.0  -6.00
## 6  -2.5  -8.25
## 7  -2.0 -10.00
## 8  -1.5 -11.25
## 9  -1.0 -12.00
## 10 -0.5 -12.25
## 11  0.0 -12.00

Membuat Tabel

# Membuat Tabel
tabel <- root_table(f=function(x){x^2 + x - 12},
                     a=0, b=5, N=10)

print(tabel)
##      x     fx
## 1  0.0 -12.00
## 2  0.5 -11.25
## 3  1.0 -10.00
## 4  1.5  -8.25
## 5  2.0  -6.00
## 6  2.5  -3.25
## 7  3.0   0.00
## 8  3.5   3.75
## 9  4.0   8.00
## 10 4.5  12.75
## 11 5.0  18.00

Membuat Vektor

# Membuat Vektor
x <- c(-5:5); y <- x^2 + x - 12

Membuat Grafik

plot(x, y, type="o")

Dari gambar tersebut dapat dilihat bahwa dalam grafik terdapat himpunan penyelesaian (HP) variabel x yaitu {-4 < x < 3} yang seharusnya diarsir. Namun, hal itu tidak tampak di grafik tersebut karena pada R Studio hanya dapat menggambar grafik tanpa arsiran saja.

4. (x + 5)/(2x - 1) ≤ 0

Penyelesaiannya :

Penyelesaian Secara Manual
(x + 5)/(2x - 1) ≤ 0

# Nilai Nol Bagian Pembilang
x + 5 = 0
x = -5

# Nilai Nol Bagian Penyebut
2x - 1  = 0
x = 1/2

# Nilai Nol Bagian Penyebut != 0
2x - 1  != 0
x != 1/2

# Uji titik (0,0)
sehingga himpunan penyelesaiannya (HP) = {-5 ≤ x < 1/2}

Dari penyelesaian manual diatas dapat disimpulkan bahwa Himpunan penyelesaiannya (HP) adalah {-5 ≤ x < 1/2}, sehingga yang bagian tersebut yang seharusnya diarsir.

Rumus tabel

# Rumus Membuat Tabel
root_table <- function(f, a, b, N=10){
    h <- abs((a+b)/N)
    x <- seq(from=a, to=b, by=h)
    fx <- rep(0, N+1)
    for(i in 1:(N+1)){
      fx[i] <- f(x[i])
    }
    data <- data.frame(x=x, fx=fx)
    return(data)
}

Membuat Tabel

# Membuat Tabel
tabel <- root_table(f=function(x){(x + 5)/(2*x - 1)},
                     a=-5, b=0, N=10)

print(tabel)
##       x         fx
## 1  -5.0  0.0000000
## 2  -4.5 -0.0500000
## 3  -4.0 -0.1111111
## 4  -3.5 -0.1875000
## 5  -3.0 -0.2857143
## 6  -2.5 -0.4166667
## 7  -2.0 -0.6000000
## 8  -1.5 -0.8750000
## 9  -1.0 -1.3333333
## 10 -0.5 -2.2500000
## 11  0.0 -5.0000000

Membuat Tabel

# Membuat Tabel
tabel <- root_table(f=function(x){(x + 5)/(2*x - 1)},
                     a=0, b=5, N=10)

print(tabel)
##      x        fx
## 1  0.0 -5.000000
## 2  0.5       Inf
## 3  1.0  6.000000
## 4  1.5  3.250000
## 5  2.0  2.333333
## 6  2.5  1.875000
## 7  3.0  1.600000
## 8  3.5  1.416667
## 9  4.0  1.285714
## 10 4.5  1.187500
## 11 5.0  1.111111

Membuat Vektor

# Membuat Vektor
x <- c(-5:0.5); y <- (x + 5)/(2*x - 1)

Membuat Grafik

plot(x, y, type="o")

Dari gambar tersebut dapat dilihat bahwa dalam grafik terdapat himpunan penyelesaian (HP) variabel x yaitu {-5 ≤ x < 1/2} yang seharusnya diarsir. Namun, hal itu tidak tampak di grafik tersebut karena pada R Studio hanya dapat menggambar grafik tanpa arsiran saja.

5. (x - 2)/(x + 4) < 2

Penyelesaiannya :

Penyelesaian Secara Manual
(x - 2)/(x + 4) < 2
((x - 2)/(x + 4)) - 2 < 0
(x - 2 - 2(x + 4))/(X + 4) < 0
(x - 2 - 2x - 8)/(x + 4) < 0
(-x - 10)/(x + 4) < 0

# Nilai Nol Bagian Pembilang
-x - 10 = 0
x = -10

# Nilai Nol Bagian Penyebut
x + 4  = 0
x = -4

# Nilai Nol Bagian Penyebut != 0
x + 4 != 0
x != -4

# Uji titik (0,0)
sehingga himpunan penyelesaiannya (HP) = {x < -10 atau x > -4}

Dari penyelesaian manual diatas dapat disimpulkan bahwa Himpunan penyelesaiannya (HP) adalah {-5 ≤ x < 1/2}, sehingga yang bagian tersebut yang seharusnya diarsir.

Rumus tabel

# Rumus Membuat Tabel
root_table <- function(f, a, b, N=10){
    h <- abs((a+b)/N)
    x <- seq(from=a, to=b, by=h)
    fx <- rep(0, N+1)
    for(i in 1:(N+1)){
      fx[i] <- f(x[i])
    }
    data <- data.frame(x=x, fx=fx)
    return(data)
}

Membuat Tabel

# Membuat Tabel
tabel <- root_table(f=function(x){(-x - 10)/(x + 4)},
                     a=-10, b=0, N=10)

print(tabel)
##      x   fx
## 1  -10  0.0
## 2   -9  0.2
## 3   -8  0.5
## 4   -7  1.0
## 5   -6  2.0
## 6   -5  5.0
## 7   -4 -Inf
## 8   -3 -7.0
## 9   -2 -4.0
## 10  -1 -3.0
## 11   0 -2.5

Membuat Vektor

# Membuat Vektor
x <- c(-15:10); y <- (-x - 10)/(x + 4)

Membuat Grafik

plot(x, y, type="o")

Dari gambar tersebut dapat dilihat bahwa dalam grafik terdapat himpunan penyelesaian (HP) variabel x yaitu {x < -10 atau x > -4} yang seharusnya diarsir. Namun, hal itu tidak tampak di grafik tersebut karena pada R Studio hanya dapat menggambar grafik tanpa arsiran saja.

Dari uraian di atas dapat disimpulkan bahwa R Studio dapat menyelesaikan soal-soal pertidaksamaan linear.

Demikian, solusi penyelesaian soal-soal pertidaksamaan linear pada R Markdown di aplikasi R Studio. Semoga bermanfaat.

Daftar Pustaka

  • Rosidi, M. (2019). Metode Numerik Menggunakan R Untuk Teknik Lingkungan. Bandung.
  • Suhartono. (2015). Memahami Kalkulus Dasar Menggunakan Wolfram Mathematica 9. Malang: Suhartono.