Dosen Pembimbing : Prof. Dr. Suhartono, M.Kom

Lembaga : Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang

Jurusan : Teknik Informatika

Fakultas : Sains dan Teknologi

Pada artikel sebelumnya, telah dibahas tentang materi persamaan kuadrat dan cara mengaplikasikannya di aplikasi RStudio. Oleh karena itu, artikel ini akan melanjutkan materi di artikel sebelumnya yaitu berisi soal - soal persamaan kuadrat yang kemudian akan dicarikan solusi untuk penyelesaiannya dengan menggunakan grafik dan tabel di aplikasi RStudio ini.

Soal - Soal

Soal - soal ini saya ambil dari buku Dr. Suhartono (2015) yang berjudul Memahami Kalkulus Dasar Menggunakan Wolfram Mathematica 9 yaitu pada halaman 11 dan 12.

1. (x - 3)(x + 7) = 0
2. (3x^2 + 7x - 2) - (5x^2 + 3x - 8) = 0
3. x + 3/x - 1/5 = 0
4. 2x^2 + 5x - 12 = 0

Solusi Penyelesaian

1. (x - 3)(x + 7) = 0

Penyelesaiannya :

Penyelesaian Secara Manual
(x - 3)(x + 7) = 0
X^2 + 7x - 3x - 21 = 0
x^2 + 4x - 21 = 0
# Menggunakan cara faktorisasi
(x - 3)(x + 7) = 0
sehingga x1 = 3 dan x2 = -7
Himpunan penyelesaiannya (3,0) dan (-7,0) -> Ini merupakan salah satu titik

# Mencari nilai diskriminan
D = b^2 - 4ac
D = 4*4 - 4*1*(-21)
D = 16 - 84
D = 100
Sehingga D > 0 maka grafiknya melewati dua titik di sumbu x

# Mencari titik puncak pada sumbi x
xp = -b / 2*a
xp = -4 / 2*1
xp = -4/2
xp = -2
sehingga yp = -25 maka titik puncaknya (-2,-25)

Dari penyelesaian manual diatas dapat disimpulkan bahwa grafik yang dihasilkan akan melewati 2 titik di sumbu x serta akan mengarah ke atas. Mari kita buktikan

Rumus tabel

# Rumus Membuat Tabel
root_table <- function(f, a, b, N=10){
    h <- abs((a+b)/N)
    x <- seq(from=a, to=b, by=h)
    fx <- rep(0, N+1)
    for(i in 1:(N+1)){
      fx[i] <- f(x[i])
    }
    data <- data.frame(x=x, fx=fx)
    return(data)
}

Membuat Tabel

# Membuat Tabel
tabel <- root_table(f=function(x){x^2 + 4*x - 21},
                     a=0, b=10, N=10)

print(tabel)
##     x  fx
## 1   0 -21
## 2   1 -16
## 3   2  -9
## 4   3   0
## 5   4  11
## 6   5  24
## 7   6  39
## 8   7  56
## 9   8  75
## 10  9  96
## 11 10 119

Membuat Tabel

# Membuat Tabel
tabel <- root_table(f=function(x){x^2 + 4*x - 21},
                     a=-10, b=0, N=10)

print(tabel)
##      x  fx
## 1  -10  39
## 2   -9  24
## 3   -8  11
## 4   -7   0
## 5   -6  -9
## 6   -5 -16
## 7   -4 -21
## 8   -3 -24
## 9   -2 -25
## 10  -1 -24
## 11   0 -21

Membuat Vektor

# Membuat Vektor
x <- c(-15:10); y <- x^2 + 4*x - 21

Membuat Grafik

plot(x, y, type="o")

Berdasarkan grafik di atas dapat dilihat bahwa grafik melewati sumbu (3,0) dan (-7,0) serta titik puncak (-2,-25) (bisa dilihat di tabel). Selain itu, dari hasil perhitungan didapatkan hasil D > 0. Hal itu dibuktikan dari grafiknya yang melewati 2 titik pada sumbu x.

2. (3x^2 + 7x - 2) - (5x^2 + 3x - 8) = 0

Penyelesaiannya :

Penyelesaian Secara Manual
(3x^2 + 7x - 2) - (5x^2 + 3x - 8) = 0
-2x^2 + 5x + 6 = 0
Himpunan penyelesaiannya (3,3) dan (4,-6) -> Ini merupakan salah satu titik

# Mencari nilai diskriminan
D = b^2 - 4ac
D = 5*5 - 4*(-2)*(6)
D = 25 + 48
D = 73
Sehingga D > 0 maka grafiknya melewati dua titik di sumbu x

# Mencari titik puncak pada sumbi x
xp = -b / 2*a
xp = -5 / 2*(-2)
xp = 5/2
xp = 2.5
sehingga yp = 6 maka titik puncaknya (2.5,6)

Dari penyelesaian manual diatas dapat disimpulkan bahwa grafik yang dihasilkan akan melewati 2 titik di sumbu x serta akan mengarah ke bawah. Mari kita buktikan

Rumus tabel

# Rumus Membuat Tabel
root_table <- function(f, a, b, N=10){
    h <- abs((a+b)/N)
    x <- seq(from=a, to=b, by=h)
    fx <- rep(0, N+1)
    for(i in 1:(N+1)){
      fx[i] <- f(x[i])
    }
    data <- data.frame(x=x, fx=fx)
    return(data)
}

Membuat Tabel

# Membuat Tabel
tabel <- root_table(f=function(x){-2*(x^2) + 5*x + 6},
                     a=0, b=5, N=10)

print(tabel)
##      x  fx
## 1  0.0   6
## 2  0.5   8
## 3  1.0   9
## 4  1.5   9
## 5  2.0   8
## 6  2.5   6
## 7  3.0   3
## 8  3.5  -1
## 9  4.0  -6
## 10 4.5 -12
## 11 5.0 -19

Membuat Tabel

# Membuat Tabel
tabel <- root_table(f=function(x){-2*(x^2) + 5*x + 6},
                     a=-3, b=0, N=10)

print(tabel)
##       x     fx
## 1  -3.0 -27.00
## 2  -2.7 -22.08
## 3  -2.4 -17.52
## 4  -2.1 -13.32
## 5  -1.8  -9.48
## 6  -1.5  -6.00
## 7  -1.2  -2.88
## 8  -0.9  -0.12
## 9  -0.6   2.28
## 10 -0.3   4.32
## 11  0.0   6.00

Membuat Vektor

# Membuat Vektor
x <- c(-10:15); y <- -2*(x^2) + 5*x + 6

Membuat Grafik

plot(x, y, type="o")

Berdasarkan grafik di atas dapat dilihat bahwa grafik melewati sumbu (3,3) dan (4,-6) serta titik puncak (2.5,6) (bisa dilihat di tabel). Selain itu, dari hasil perhitungan didapatkan hasil D > 0. Hal itu dibuktikan dari grafiknya yang melewati 2 titik pada sumbu x. Selain itu, grafik menghadap kebawah berbeda dengan yang lainnya karena a < 0.

3. x + 3/x - 1/5 = 0

Penyelesaiannya :

Penyelesaian Secara Manual
x + 3/x - 1/5 = 0
x^2 - 1/5x + 3 = 0
Himpunan penyelesaiannya (0,3) dan (1.2,4.2) -> Ini merupakan salah satu titik

# Mencari nilai diskriminan
D = b^2 - 4ac
D = (-1/5)*(-1/5) - 4*1*(3)
D = 1/25 - 12
D = 0.04 - 12
D = -8.04
Sehingga D < 0 maka grafiknya tidak melewati sumbu x

# Mencari titik puncak pada sumbi x
xp = -b / 2*a
xp = -(-1/5) / 2*1
xp = (1/5)/2
xp = 2/5
xp = 0.4
sehingga yp = 3.08 maka titik puncaknya (0.4,3.08)

Dari penyelesaian manual diatas dapat disimpulkan bahwa grafik yang dihasilkan tidak melewati sumbu x serta akan mengarah ke atas. Mari kita buktikan

Rumus tabel

# Rumus Membuat Tabel
root_table <- function(f, a, b, N=10){
    h <- abs((a+b)/N)
    x <- seq(from=a, to=b, by=h)
    fx <- rep(0, N+1)
    for(i in 1:(N+1)){
      fx[i] <- f(x[i])
    }
    data <- data.frame(x=x, fx=fx)
    return(data)
}

Membuat Tabel

# Membuat Tabel
tabel <- root_table(f=function(x){x^2 - 1/5*x + 3},
                     a=0, b=4, N=10)

print(tabel)
##      x    fx
## 1  0.0  3.00
## 2  0.4  3.08
## 3  0.8  3.48
## 4  1.2  4.20
## 5  1.6  5.24
## 6  2.0  6.60
## 7  2.4  8.28
## 8  2.8 10.28
## 9  3.2 12.60
## 10 3.6 15.24
## 11 4.0 18.20

Membuat Tabel

# Membuat Tabel
tabel <- root_table(f=function(x){x^2 - 1/5*x + 3},
                     a=-10, b=0, N=10)

print(tabel)
##      x    fx
## 1  -10 105.0
## 2   -9  85.8
## 3   -8  68.6
## 4   -7  53.4
## 5   -6  40.2
## 6   -5  29.0
## 7   -4  19.8
## 8   -3  12.6
## 9   -2   7.4
## 10  -1   4.2
## 11   0   3.0

Membuat Vektor

# Membuat Vektor
x <- c(-15:15); y <- x^2 - 1/5*x + 3

Membuat Grafik

plot(x, y, type="o")

Berdasarkan grafik di atas dapat dilihat bahwa grafik melewati sumbu (0,3) dan (1.2,4.2) serta titik puncak (0.4,3.08) (bisa dilihat di tabel). Selain itu, dari hasil perhitungan didapatkan hasil D < 0. Hal itu dibuktikan dari grafiknya tidak melewati sumbu x.

4. 2x^2 + 5x - 12 = 0

Penyelesaiannya :

Penyelesaian Secara Manual
2x^2 + 5x - 12 = 0
# Menggunakan cara faktorisasi
(x + 4)(2x - 3) = 0
sehingga x1 = -4 dan x2 = 3/2 = 1.5
Himpunan penyelesaiannya (-4,0) dan (1.5,0) -> Ini merupakan salah satu titik

# Mencari nilai diskriminan
D = b^2 - 4ac
D = 5*5 - 4*2*(-12)
D = 25 - 96
D = 121
Sehingga D > 0 maka grafiknya melewati dua titik di sumbu x

# Mencari titik puncak pada sumbi x
xp = -b / 2*a
xp = -5 / 2*2
xp = -5/4
xp = -1.25
sehingga yp = -15.125 maka titik puncaknya (-1.25,-15.125)

Dari penyelesaian manual diatas dapat disimpulkan bahwa grafik yang dihasilkan akan melewati 2 titik di sumbu x serta akan mengarah ke atas. Mari kita buktikan

Rumus tabel

# Rumus Membuat Tabel
root_table <- function(f, a, b, N=10){
    h <- abs((a+b)/N)
    x <- seq(from=a, to=b, by=h)
    fx <- rep(0, N+1)
    for(i in 1:(N+1)){
      fx[i] <- f(x[i])
    }
    data <- data.frame(x=x, fx=fx)
    return(data)
}

Membuat Tabel

# Membuat Tabel
tabel <- root_table(f=function(x){2*(x^2) + 5*x - 12},
                     a=0, b=5, N=10)

print(tabel)
##      x  fx
## 1  0.0 -12
## 2  0.5  -9
## 3  1.0  -5
## 4  1.5   0
## 5  2.0   6
## 6  2.5  13
## 7  3.0  21
## 8  3.5  30
## 9  4.0  40
## 10 4.5  51
## 11 5.0  63

Membuat Tabel

# Membuat Tabel
tabel <- root_table(f=function(x){2*(x^2) + 5*x - 12},
                     a=-10, b=0, N=10)

print(tabel)
##      x  fx
## 1  -10 138
## 2   -9 105
## 3   -8  76
## 4   -7  51
## 5   -6  30
## 6   -5  13
## 7   -4   0
## 8   -3  -9
## 9   -2 -14
## 10  -1 -15
## 11   0 -12

Membuat Tabel

# Membuat Tabel
tabel <- root_table(f=function(x){2*(x^2) + 5*x - 12},
                     a=-1.25, b=0, N=10)

print(tabel)
##         x        fx
## 1  -1.250 -15.12500
## 2  -1.125 -15.09375
## 3  -1.000 -15.00000
## 4  -0.875 -14.84375
## 5  -0.750 -14.62500
## 6  -0.625 -14.34375
## 7  -0.500 -14.00000
## 8  -0.375 -13.59375
## 9  -0.250 -13.12500
## 10 -0.125 -12.59375
## 11  0.000 -12.00000

Membuat Vektor

# Membuat Vektor
x <- c(-15:13); y <- 2*(x^2) + 5*x - 12

Membuat Grafik

plot(x, y, type="o")

Berdasarkan grafik di atas dapat dilihat bahwa grafik melewati sumbu (-4,0) dan (1.5,0) serta titik puncak (-1.25,-15.125) (bisa dilihat di tabel). Selain itu, dari hasil perhitungan didapatkan hasil D > 0. Hal itu dibuktikan dari grafiknya yang melewati 2 titik pada sumbu x.

Dari uraian di atas dapat disimpulkan bahwa R Studio dapat menyelesaikan soal-soal persamaan kuadrat.

Demikian, solusi penyelesaian soal-soal persamaan kuadrat pada R Markdown di aplikasi R Studio. Semoga bermanfaat.

Daftar Pustaka

  • Rosidi, M. (2019). Metode Numerik Menggunakan R Untuk Teknik Lingkungan. Bandung.
  • Suhartono. (2015). Memahami Kalkulus Dasar Menggunakan Wolfram Mathematica 9. Malang: Suhartono.