Dosen Pengampu : Prof. Dr. Suhartono, M.Kom

Mata Kuliah : Kalkulus

Prodi : Teknik Informatika

Lembaga : Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang

Pertidaksamaan Linear

Pertidaksamaan merupakan suatu kalimat terbuka yang memakai tanda <, >, ≤, ≥. Pertidaksamaan linier adalah kalimat terbuka dalam matematika. Ini terdiri dari variabel tingkat 1 dan dihubungkan dengan tanda pertidaksamaan. Bentuk-bentuk Pertidaksamaan Linear

ax + b < c

ax + b > c

ax + b ≤ c

ax + b ≥ c

x = variabel a = koefisien b dan c = konstanta dengan a ≠ 0 , a, b ∈ R

Sifat Pertidaksamaan Linear

  1. Suatu pertidaksamaan tidak akan berubah nilainya apabila ditambahkan atau dikurangkan dengan bilangan yang sama.

  2. Suatu pertidaksamaan tidak akan berubah nilainya apabila kedua ruasnya dikalikan atau dibagi dengan bilangan yang sama.

Dalam pertidaksamaan linear, jika terdapat kasus di mana kedua ruas dikali atau bagi dengan bilangan negatif (-), maka tanda yang sebelumnya akan berubah menjadi tanda sebaliknya.

Biasanya menggambar solusi pertidaksamaan linier, dan langkah-langkah menggambar diagram pertidaksamaan linier adalah sebagai berikut:

1. Ubah simbol pertidaksamaan menjadi persamaan
2. Tentukan perpotongan koordinat Kartesius dengan sumbu x dan sumbu y.
3. Gunakan titik uji untuk menentukan luas solusi.
4. Buatlah grafik dan isi area yang telah selesai.

Penyelesaian Mengggunakan R

Untuk menyelesaikan persoalan pertidaksamaan linear ini kita bisa mengggunakan metode yang ada pada R diantaranya dengan metode tabel dan plot.

Berikut adalah beberapa contoh soal yang diambil dari Buku Matematika Pak Suhartono (halaman 28)

  1. 4x – 7 < 3x – 5

  2. 2x – 4 ≤ 6 – 7x ≤ 3x + 6

  3. x2 + x – 12 < 0

  4. 3x2 - 11x - 4 < 0

  5. x+5/2−1 ≤ 0

Penyelesaian soal nomor 1

Metode Manual

4x – 7 < 3x – 5

4x - 7 < 3x - 5

4x-3x < 7-5

HP = {x < 2}

Metode Tabel

Untuk membuat tabel kita menggunakan fungsi root_tabel()

root_table <- function(f, a, b, N=20){
  h <- abs((a+b)/N)
  x <- seq(from=a, to=b, by=h)
  fx <- rep(0, N+1)
  for(i in 1:(N+1)){ 
    fx[i] <- f(x[i]) 
  } 
  data <- data.frame(x=x, fx=fx) 
  return(data)
} 

tabel <- root_table(f=function(x){4*x - 7 - 3*x - 5}, a=-1, b=0, N=10)

tabel
##       x    fx
## 1  -1.0 -13.0
## 2  -0.9 -12.9
## 3  -0.8 -12.8
## 4  -0.7 -12.7
## 5  -0.6 -12.6
## 6  -0.5 -12.5
## 7  -0.4 -12.4
## 8  -0.3 -12.3
## 9  -0.2 -12.2
## 10 -0.1 -12.1
## 11  0.0 -12.0

Plot

Penyelesaian menggunakan grafik dengan fungsi plot()

plot(tabel, type="l")

Penyelesaian soal nomor 2

Metode Manual

2x – 4 ≤ 6 – 7x ≤ 3x + 6

Persamaan pertama

2x - 4 ≤ 6 - 7x

2x + 7x ≤ 6 + 4

9x ≤ 10

x ≤ 10/9

Persamaan kedua

6 - 7x ≤ 3x + 6

-3x - 7x ≤ - 6 + 6

-10x ≤ 0

x ≤ 0

HP = {0≤x≤10/9}

Metode Tabel

tabe1l <- root_table(f=function(x){2*x - 4 - 6 - 7*x - 3*x + 6}, a=0, b=1, N=10)

tabe1l
##      x    fx
## 1  0.0  -4.0
## 2  0.1  -4.8
## 3  0.2  -5.6
## 4  0.3  -6.4
## 5  0.4  -7.2
## 6  0.5  -8.0
## 7  0.6  -8.8
## 8  0.7  -9.6
## 9  0.8 -10.4
## 10 0.9 -11.2
## 11 1.0 -12.0

Plot

plot(tabe1l, type="l")

Penyelesaian soal nomor 3

Metode Manual

x^2 + x – 12 < 0

x^2 + x - 12 < 0

(x + 4) (x - 3) < 0

x + 4 > 0

x > - 4

x - 3

x < 3

HP = {-4 < x < 3}

Metode Tabel

root_table <- function(f, a, b, N=20){
  h <- abs((a+b)/N)
  x <- seq(from=a, to=b, by=h)
  fx <- rep(0, N+1)
  for(i in 1:(N+1)){ 
    fx[i] <- f(x[i]) 
  } 
  data <- data.frame(x=x, fx=fx) 
  return(data)
} 

tabel <- root_table(f=function(x){x*2 + x - 12 }, a=-4, b=0, N=20)

print(tabel)
##       x    fx
## 1  -4.0 -24.0
## 2  -3.8 -23.4
## 3  -3.6 -22.8
## 4  -3.4 -22.2
## 5  -3.2 -21.6
## 6  -3.0 -21.0
## 7  -2.8 -20.4
## 8  -2.6 -19.8
## 9  -2.4 -19.2
## 10 -2.2 -18.6
## 11 -2.0 -18.0
## 12 -1.8 -17.4
## 13 -1.6 -16.8
## 14 -1.4 -16.2
## 15 -1.2 -15.6
## 16 -1.0 -15.0
## 17 -0.8 -14.4
## 18 -0.6 -13.8
## 19 -0.4 -13.2
## 20 -0.2 -12.6
## 21  0.0 -12.0

Plot

#Membuat vektor data 
x <- c(-4:3); y <- x^2 + x - 12

#Membagi jendela grafik menjadi 1 baris dan 1 kolom
par(mfrow=c(1,1))

#Output
plot(x, y, type="l")

Penyelesaian soal nomor 4

Metode Manual

3x2 - 11x - 4 < 0

(3x + 1) (x - 4) < 0

3x + 1 < 0

3x < -1

x < -1/3

x - 4 < 0

x < 4

HP = {-1/3 <x< 4}

Metode Tabel

root_table <- function(f, a, b, N=20){
  h <- abs((a+b)/N)
  x <- seq(from=a, to=b, by=h)
  fx <- rep(0, N+1)
  for(i in 1:(N+1)){ 
    fx[i] <- f(x[i]) 
  } 
  data <- data.frame(x=x, fx=fx) 
  return(data)
} 

tabel <- root_table(f=function(x){3*x^2 - 11*x - 4}, a=0, b=4, N=10)

print(tabel)
##      x     fx
## 1  0.0  -4.00
## 2  0.4  -7.92
## 3  0.8 -10.88
## 4  1.2 -12.88
## 5  1.6 -13.92
## 6  2.0 -14.00
## 7  2.4 -13.12
## 8  2.8 -11.28
## 9  3.2  -8.48
## 10 3.6  -4.72
## 11 4.0   0.00

Plot

#membuat vektor data 
x <- c(-0.33:4); y <- 3*x^2 - 11*x -4
#Membagi jendela grafik menjadi 1 baris dan 1 kolom
par(mfrow=c(1,1))

plot(x, y, type="l")

Penyelesaian soal nomor 5

Metode Manual

x+5/2x−1 ≤ 0

(x + 5) / (2x - 1) ≤ 0

2x - 1 < 0

2x < 1

x < 1/2

x + 5 ≤ 0

x ≤ -5

HP = {-5 ≤ x ≤ 1/2}

Metode Tabel

root_table <- function(f, a, b, N=20){
  h <- abs((a+b)/N)
  x <- seq(from=a, to=b, by=h)
  fx <- rep(0, N+1)
  for(i in 1:(N+1)){ 
    fx[i] <- f(x[i]) 
  } 
  data <- data.frame(x=x, fx=fx) 
  return(data)
} 

tabel <- root_table (f=function(x){x + 5/2*x-1}, a=-5, b=0, N=10)

print(tabel)
##       x     fx
## 1  -5.0 -18.50
## 2  -4.5 -16.75
## 3  -4.0 -15.00
## 4  -3.5 -13.25
## 5  -3.0 -11.50
## 6  -2.5  -9.75
## 7  -2.0  -8.00
## 8  -1.5  -6.25
## 9  -1.0  -4.50
## 10 -0.5  -2.75
## 11  0.0  -1.00

Plot

##Membuat vektor data
x <- c(-5:1.5); y <- x+5/2*x-1

#Membagi jendela grafik menjadi 1 baris dan 1 kolom
par(mfrow=c(1,1))

plot(x, y, type="l")

\(Penutup\)

Dalam matematika ada sebuah konsep namanya pertidaksamaan.Salah satu materi penting dalam matematika yaitu pertidaksamaan linear. Materi satu ini sangat erat kaitannya dengan pola berpikir logika yang mengulas tentang kalimat. Penyelesaian pertidaksamaan dapat langsung menggunakan sifat-sifat dari pertidaksamaan. Dengan adanya kemudahan pada program R ini kita bisa lebih efisien dalam menyelesaikan persoalan pertidaksamaan linear. Walaupun perlu disadari ada banyak variasi soal yang bisa menjebak sobat. Namun, dengan terus berlatih dan memahami konsep dasar dari pertidaksamaan, Anda pasti bisa menyelesaikan semua soal yang diberikan.

Referensi

https://www.yuksinau.id/persamaan-dan-pertidaksamaan-linier/

https://www.mapel.id/linear/

https://www.konsep-matematika.com/2015/09/pertidaksamaan-linear.html

https://www.ruangguru.com/blog/pengertian-dan-cara-penyelesaian-pertidaksamaan-bagian-1

https://mahirmatematika.com/pertidaksamaan-linear/