Dosen Pembimbing : Prof. Dr. Suhartono, M.Kom

Lembaga : Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang

Jurusan : Teknik Informatika

Fakultas : Sains dan Teknologi

Pada artikel sebelumnya, telah dibahas tentang cara menggunakan persamaan linear yaitu persamaan yang pangkat variabelnya satu. Kali ini, kita akan belajar tentang mengaplikasikan persamaan kuadrat di Aplikasi R Studio. Berikut adalah penjelasannya.

Persamaan Kuadrat

Apa itu persamaan kuadrat? Persamaan kuadrat adalah sebuah persamaan polinomial (suku banyak) yang pangkat tertingginya 2 atau berorde 2. Berbeda dengan persamaan linier yang memiliki pangkat tertinggi 1 (satu). Bentuk umum persamaan kuadrat :

Berikut adalah contoh persamaan kuadrat,

1. x2 + 2x + 4 = 0
2. 2x2 + 4x + 2 = 0
3. x2 + 6x + 9

Dapat dilihat dari contoh di atas bahwa semua pangkat dari variabel x adalah dua sehingga ketiga contoh di atas dapat disebut sebagai persamaan kuadrat.

1. Bentuk Grafik Persamaan Kuadrat

Persamaan kuadrat jika digambarkan dalam bentuk koordinat kartesian (x,y) maka akan membentuk grafik parabolik. Oleh karena itu, persamaan kuadrat juga sering disebut sebagai persamaan parabola. Contoh grafik parabolanya yaitu sebagai berikut.

Pada persamaan kuadrat umum nilai a, b, c sangat berpengaruh terhadap grafik persamaan kuadrat tersebut.

A. Nilai a

Nilai a sangat berpengaruh terhadap arah hadap dari parabola. Jika a > 0, maka parabola akan terbuka ke atas (cekung). Sebaliknya, jika a < 0, maka parabola akan terbuka ke bawah (cembung).

B. Nilai b

Nilai b pada persamaan tersebut menentukan posisi puncak parabola.

C. Nilai c

Nilai konstanta c pada grafik persamaan menentukan titik potong fungsi parabola dengan sumbu y

2. Akar - Akar Persamaan Kuadrat

Penyelesaian dari persamaan kuadrat disebut sebagai akar-akar persamaan kuadrat biasanya disebut Diskriminan. Rumus untuk mnghitung diskriminan yaitu :

A. Akar Real (D > 0)

Jika nilai D > 0 dari suatu PK, maka akan menghasilkan akar-akar persamaan yang real namun memiliki akar-akar yang berlainan. Dengan kata lain x1 tidak sama dengan x2. Selain itu, bentuk grafiknya melewati dua titik pada sumbu x.

B. Akar Real x1= x2 (D = 0)

Jika nilai D > 0 dari suatu PK, maka akan menghasilkan akar-akar persamaan yang realdan menghasilkan akar-akar bernilai sama (x1=x2). Selain itu, bentuk grafiknya hanya melewati satu titik pada sumbu  atau menyinggung sumbu x.

C. Akar Imajiner/Tidak Real (D < 0)

Jika nilai D < 0 dari suatu PK, maka akan menghasilkan akar-akar persamaan yang berbentuk imajiner/ tidak real. Selain itu, bentuk grafiknya tidak melewati sumbu x.

3. Contoh Persamaan Kuadrat

1. x^2 + 4x + 2 = 0
Penyelesaian Secara Manual
x^2 + 3x + 2 = 0
# Menggunakan cara faktorisasi
(x + 2)(x + 1) = 0
sehingga x1 = -2 dan x2 = -1
Himpunan penyelesaiannya (-2,0) dan (-1,0) -> Ini merupakan salah satu titik

# Mencari nilai diskriminan
D = b^2 - 4ac
D = 3*3 - 4*1*2
D = 9 - 8
D = 1
Sehingga D > 0 maka grafiknya melewati dua titik di sumbu x

# Mencari titik puncak pada sumbi x
xp = -b / 2*a
xp = -3 / 2*1
xp = -3/2
xp = -0.5
sehingga yp = 0.75 maka titik puncaknya (-0.5,0.75)

Dari penyelesaian manual diatas dapat disimpulkan bahwa grafik yang dihasilkan akan melewati 2 titik di sumbu x serta akan mengarah ke atas. Mari kita buktikan

Rumus tabel

# Rumus Membuat Tabel
root_table <- function(f, a, b, N=10){
    h <- abs((a+b)/N)
    x <- seq(from=a, to=b, by=h)
    fx <- rep(0, N+1)
    for(i in 1:(N+1)){
      fx[i] <- f(x[i])
    }
    data <- data.frame(x=x, fx=fx)
    return(data)
}

Membuat Tabel

# Membuat Tabel
tabel <- root_table(f=function(x){x^2 + 3*x + 2},
                     a=-5, b=0, N=10)

print(tabel)
##       x    fx
## 1  -5.0 12.00
## 2  -4.5  8.75
## 3  -4.0  6.00
## 4  -3.5  3.75
## 5  -3.0  2.00
## 6  -2.5  0.75
## 7  -2.0  0.00
## 8  -1.5 -0.25
## 9  -1.0  0.00
## 10 -0.5  0.75
## 11  0.0  2.00

Membuat Vektor

# Membuat Vektor
x <- c(-5:0); y <- x^2 + 3*x + 2

Membuat Grafik

plot(x, y, type="o")

Dari grafik di atas dapat disimpulkan bahwa grafik melewati sumbu (-2,0) dan (-1,0) serta titik puncak (-0.5,0.75) (bisa dilihat di tabel). Namun, pada grafik tersebut titik puncak (-0.5,0.75) tidak terlihat karena pada grafik sumbu y hanya sampai nilai 0. Dari grafik dan tabel dapat dipastikan bahwa mengaplikasikan persamaan kuadrat bisa dilakukan di Aplikasi R Studio ini.

2. x^2 + 2x + 4 = 0
Penyelesaian Secara Manual
x^2 + 2x + 4 = 0
Himpunan penyelesaiannya (-2,4) dan (-3,7) -> Ini merupakan salah satu titik

# Mencari nilai diskriminan
D = b^2 - 4ac
D = 2*2 - 4*1*4
D = 4 - 16
D = -12
Sehingga D < 0 maka grafiknya tidak melewati sumbu x

# Mencari titik puncak pada sumbi x
xp = -b / 2*a
xp = -2 / 2*1
xp = -2/2
xp = -1
sehingga yp = 3 maka titik puncaknya (-1,3)

Dari penyelesaian manual diatas dapat disimpulkan bahwa grafik yang dihasilkan tidak akan melewati sumbu x serta akan mengarah ke atas. Mari kita buktikan.

Rumus tabel

# Rumus Membuat Tabel
root_table <- function(f, a, b, N=10){
    h <- abs((a+b)/N)
    x <- seq(from=a, to=b, by=h)
    fx <- rep(0, N+1)
    for(i in 1:(N+1)){
      fx[i] <- f(x[i])
    }
    data <- data.frame(x=x, fx=fx)
    return(data)
}

Membuat Tabel

# Membuat Tabel
tabel <- root_table(f=function(x){x^2 + 2*x + 4},
                     a=-10, b=0, N=10)

print(tabel)
##      x fx
## 1  -10 84
## 2   -9 67
## 3   -8 52
## 4   -7 39
## 5   -6 28
## 6   -5 19
## 7   -4 12
## 8   -3  7
## 9   -2  4
## 10  -1  3
## 11   0  4

Membuat Vektor

# Membuat Vektor
x <- c(-5:5); y <- x^2 + 2*x + 4

Membuat Grafik

plot(x, y, type="o")

Berdasarkan grafik di atas dapat dilihat grafik melewati sumbu (-2,4) dan (-3,7) serta titik puncak (-1,3) (bisa dilihat di tabel). Oleh karena itu, dapat disimpulkan bahwa grafik tidak melewati sumbu x atau melayang. Dari grafik dan tabel dapat dipastikan bahwa mengaplikasikan persamaan kuadrat bisa dilakukan di Aplikasi R Studio ini.

Demikian, pengaplikasian persamaan kuadrat pada R Markdown di aplikasi R Studio.

Daftar Pustaka

  • Rosidi, M. (2019). Metode Numerik Menggunakan R Untuk Teknik Lingkungan. Bandung.
  • Suhartono. (2015). Memahami Kalkulus Dasar Menggunakan Wolfram Mathematica 9. Malang: Suhartono.
  • Persamaan Kuadrat (LENGKAP) : Pengertian, Rumus, Contoh Soal. (n.d.). Retrieved from saintif.com: [https://saintif.com/persamaan-kuadrat/][id].