Dosen Pengampu : Prof. Dr. Suhartono, M.Kom

Lembaga : Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang

Jurusan : Teknik Informatika

Fakultas : Sains dan Teknologi

9.3 Metode Integrasi Newton-Cotes

Metode integrasi Newton-Cotes secara umum merupakan metode integrasi yang dilakukan dengan membagi area di bawah kurva suatu fungsi menjadi beberapa panel dengan terlebih dahulu menetapkan batas atas dan batas bawah interval. Integral atau luas area di bawah kurva ditentukan berdasarkan jumlah luas panel yang digunakan untuk mendekati luas area di bawah kurva.

Terdapat beberapa metode yang akan penulis jelaskan pada sub-Chapter ini. Metode-metode tersebut antara lain:

  • Metode integral Riemann
  • Metode trapezoida
  • Metode Simpson 1/3
  • Metode Simpson 3/8

Untuk Pembahasan kali ini kita akan fokus kepada Metode Integral Reiman.

9.3.1 Metode Integral Riemann

Metode integral Riemann dilakukan dengan membagi interval di bawah kurva suatu fungsi matematik sebanyak
m subinterval sama besar. Pada setiap subinterval dibentuk persegi panjang setinggi kurva pada setiap titik tengah persegi panjang tersebut. Area setiap subinterval diperoleh dengan mengalikan panjang dan lebar masing-masing persegi panjang. Jumlah masing-masing area tersebut digunakan untuk menaksir interval integral suatu fungsi dengan interval tertentu. Fungsi proses integrasi menggunakan metode titik tengah dapat dituliskan pada Persamaan (9.8).

dimana b dan a masing-masing merupakan batas atas dan bawah interval kurva yang hendak dihitung integralnya.

Error dari metode ini dapat diestimasi menggunakan Persamaan (9.9).

dimana ξ merupakan nilai antara a dan b.

Contoh 9.2 Hitunglah intergral fungsi di bawah ini menggunakan metode integral Reimann dengan interval 0 sampai 1 dan jumlah panel 2 dan 4!

Jawab:

Fungsi pada Contoh 9.2 dapat diselesaikan menggunakan metode analitik. Penyelesaian analitik fungsi tersebut adalah sebagai berikut:

Penyelesaian numerik menggunakan metode titik tengah dengan jumlah panel 2 dapat dilakukan dengan menentukan lokasi titik tengah kedua panel. Berdasarkan interval fungsi dapat kita tentukan titik tengah kedua panel berada pada x=0,25 dan x=0,75. Perhitungan dilakukan seperti berikut:

Untuk meningkatkan akurasi dari nilai yang dihasilkan, jumlah panel dapat ditingkatkan. Untuk jumlah panel 4, titik tengah berada pada x={0,125;0,375;0,625;0,875}.

Visualisasi proses integrasi dengan metode Riemann dapat dilihat pada Gambar 9.1.

Berdasarkan Persamaan (9.8), kita dapat mengembangkan fungsi R yang dapat digunakan untuk melakukan perhitungan integral Riemann. Sintaks fungsi tersebut adalah sebagai berikut:

riemann <- function(f, a, b, m = 100){
  n_width <- (b-a)/m
  x <- seq(a, b-n_width, length.out = m) + n_width/2
  y <- f(x)
  
  return(sum(y)*abs(b-a)/m)
}

Kita akan menghitung kembali fungsi pada Contoh 9.2 dengan menggunakan jumlah panel 2, 4 dan 100. Berikut adalah sintaks yang digunakan:

# m=2
riemann(function(x) x^2, a=0, b=1, m=2)
## [1] 0.3125
# m=4
riemann(function(x) x^2, a=0, b=1, m=4)
## [1] 0.328125
# m=40
riemann(function(x) x^2, a=0, b=1, m=40)
## [1] 0.3332812
# m=100
riemann(function(x) x^2, a=0, b=1, m=100)
## [1] 0.333325

Berdasarkan teori yang telah dipaparkan sebelumnya, kita ketahui bahwa untuk memperoleh nilai pendekatan integral yang sebenarnya kita dapat meningkatkan jumlah panel yang digunakan. Untuk mengetahui jumlah panel minimum yang diperlukan untuk memperoleh hasil integrasi yang stabil, kita akan melakukan simulasi menggunakan data yang disajikan pada Contoh 9.2 dengan memvariasikan jumlah panel yang akan digunakan. Pada simulasi yang akan dilakukan kita akan coba memvariasikan jumlah panel dari 2 hingga 100. Berikut adalah sintaks yang digunakan:

Berdasarkan hasil simulasi dapat disimpulkan jumlah panel minimum yang diperlukan untuk memperoleh hasil integrasi yang stabil kira-kira sebesar m=40.

Setelah kita mengetahui cara menggunakan metode integral reiman diatas mari kita menyelesaikan beberapa soal yang ada dalam buku matematika

Lembar Kerja Mahasiswa

  • Tentukan nilai dari ∫ 0 sampai 9 −x^2+3*x+2 dx
riemann <- function(f, a, b, m = 100){
  n_width <- (b-a)/m
  x <- seq(a, b-n_width, length.out = m) + n_width/2
  y <- f(x)
  
  return(sum(y)*abs(b-a)/m)
}
# m=2
riemann(function(x) x^2+3*x+2, a=0, b=9, m=2)
## [1] 367.3125
  • Tentukan nilai dari ∫ 1 sampai 7 √2+3 dx
# m=2
riemann(function(x)  2+3 , a=1, b=7, m=2)
## [1] 15

Jadi itulah tadi pembahasa tentang metode Integral Reiman.

Referensi

https://bookdown.org/moh_rosidi2610/Metode_Numerik/calculation.html#assigningvar

R Markdown

This is an R Markdown document. Markdown is a simple formatting syntax for authoring HTML, PDF, and MS Word documents. For more details on using R Markdown see http://rmarkdown.rstudio.com.

When you click the Knit button a document will be generated that includes both content as well as the output of any embedded R code chunks within the document. You can embed an R code chunk like this:

summary(cars)
##      speed           dist       
##  Min.   : 4.0   Min.   :  2.00  
##  1st Qu.:12.0   1st Qu.: 26.00  
##  Median :15.0   Median : 36.00  
##  Mean   :15.4   Mean   : 42.98  
##  3rd Qu.:19.0   3rd Qu.: 56.00  
##  Max.   :25.0   Max.   :120.00

Including Plots

You can also embed plots, for example:

Note that the echo = FALSE parameter was added to the code chunk to prevent printing of the R code that generated the plot.