Akar Persamaan Polinomial Menggunakan Fungsi polyroot pada R/RStudio

Universitas : UIN Maulana Malik Ibrahim Malang

Jurusan : Teknik Informatika

Fungsi polyroot() pada paket base dapat digunakan untuk memperoleh akar dari suatu polinomial. Algortima yang digunakan dalam fungsi tersebut adalah algoritma Jenkins dan Traub.

Untuk dapat menggunakannya kita hanya perlu memasukkan vektor koefisien dari polinomial. Pengisian elemen dalam vektor dimulai dari variabel dengan pangkat tertinggi menuju variabel dengan pangkat terendah. Berikut adalah contoh bagaimana fungsi polyroot() digunakan untuk mencari akar polinomial f(x) = x² + 1 :

polyroot(c(1,0,1))

## [1] 0+1i 0-1i

Contoh lainnya adalah mencari akar polinomial f(x) = 4x² + 5x + 6 :

polyroot(c(4,5,6))

## [1] -0.4166667+0.7021791i -0.4166667-0.7021791i

Metode Secant

Metode Secant merupakan perbaikan dari metode regula-falsi dan Newton Raphson, dimana kemiringan dua titik dinyatakan secara diskrit dengan mengambil bentuk garis lurus yang melalui satu titik. Persamaan yang dihasilkan disajikan pada Persamaan.

Algoritma Metode Secant

• Definisikan f(x) dan f’(x)
• Tentukan nilai toleransi e dan iterasi masimum (N)
• Tentukan tebakan awal x₀ dan x₁
• Hitung f(x₀) dan f(x₁)
• Untuk iterasi i = 1 s/d N atau |f(x)| ≥ e, hitung x menggunakan
• Persamaan Akar persamaan adalah nilai x yang terakhir.

Fungsi root_secant() merupakan fungsi yang penulis buat untuk melakukan iterasi menggunakan metode Secant. Berikut merupakan sintaks dari fungsi tersebut :

root_secant <- function(f, x, tol=1e-7, N=100){
  iter <- 0
  
  xold <- x
  fxold <- f(x)
  x <- xold+10*tol
  
  while(abs(x-xold)>tol){
    iter <- iter+1
    if(iter>N)
      stop("No solutions found")
    
    fx <- f(x)
    xnew <- x - fx*((x-xold)/(fx-fxold))
    xold <- x
    fxold <- fx
    x <- xnew
  }
  
  root<-xnew
  return(list(`function`=f, root=root, iter=iter))
}

Latihan Kerja Mahasiswa

1. Cari hasil perkalian dari tiga persamaan berikut (x + 2)^2 (x − 1)^4 (x + 5)

Penyelesaian dengan menggunakan Matematika Wolfram

root_secant(function(x)
  {((x + 2)^2)*((x - 1)^4)*(x + 5)},
  x=0)

## $`function`
## function(x)
##   {((x + 2)^2)*((x - 1)^4)*(x + 5)}
## <bytecode: 0x00000000135e9e88>
## 
## $root
## [1] 0.9999996
## 
## $iter
## [1] 72

2. Cari faktor dari persamaan 6x^4^ + 11x^3^ − 56x^2^ − x + 60

Penyelesaian dengan menggunakan Matematika Wolfram

root_secant(function(x)
  {6*(x^4)+11*(x^3)-56*(x^2)+60},
            x=0)

## $`function`
## function(x)
##   {6*(x^4)+11*(x^3)-56*(x^2)+60}
## <bytecode: 0x00000000142f2060>
## 
## $root
## [1] 1.000008e-06
## 
## $iter
## [1] 3

3. Cari penyelesaian persamaan x^4^ − 5x^3^ + 3x^2^ + x = 0

Penyelesaian dengan menggunakan Matematika Wolfram

root_secant(function(x)
  {x^4-5*(x^3)+3*(x^2)+x},
  x=0)

## $`function`
## function(x)
##   {x^4-5*(x^3)+3*(x^2)+x}
## <bytecode: 0x00000000144d6d60>
## 
## $root
## [1] 0
## 
## $iter
## [1] 2

4. Cari penyelesaian dari pertidaksamaan 7x – 1 \< 2x + 3

Penyelesaian dengan menggunakan Matematika Wolfram

root_secant(function(x)
  {7*x + 2*x - 1 - 3}, 
  x=0)

## $`function`
## function(x)
##   {7*x + 2*x - 1 - 3}
## <bytecode: 0x00000000151c1b08>
## 
## $root
## [1] 0.4444444
## 
## $iter
## [1] 2

Referensi

Suhartono.2015.Memahami Kalkulus Dasar Menggunakan Wolfram Mathematica 9.UIN Maliki Malang: Malang.