Materi tentang Operasi Aljabar dan beberapa tugas penyelesaian

Dosen Pengampu : Prof. Dr. Suhartono, M.Kom

Lembaga : Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang

Jurusan : Teknik Informatika

Pengertian Aljabar

Aljabar merupakan salah satu cabang dari Matematika yang mempelajari tentang penyederhanaan serta pemecahan masalah menggunakan simbol yang menjadi pengganti konstanta atau variabel. Aljabar ditemukan oleh seorang cendekiawan bernama Al – Khawarizmi. Aljabar digunakan untuk menyelesaikan permasalahan di banyak bidang studi, seperti Matematika, Kimia, Biologi, Ekonomi, dan lain - lain.

Bentuk Aljabar

Bentuk aljabar adalah teknik yang digunakan untuk menyajikan suatu masalah Matematika dengan simbol atau huruf sebagai peubah suatu objek dalam masalah tersebut. Bentuk aljabar terdiri dari konstanta (nilai tetap) dan variabel (nilai peubah) melalui operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, perpangkatan, dan pengakaran.

Unsur - Unsur Pembentuk Aljabar

Berikut ini merupakan unsur – unsur pembentuk aljabar:

Rumus Persamaan

Persamaan adalah suatu teknik Matematika yang digunakan untuk menyamakan suatu permasalahan ke dalam bentuk Matematika dengan tanda persamaan atau sama dengan (=). Bentuk ini dapat berupa bentuk yang paling sederhana hingga bentuk yang kompleks. Persamaan dapat digunakan untuk membentuk suatu rumus Matematika berdasarkan suatu masalah.

Variabel (Peubah)

Variabel atau peubah adalah suatu simbol atau huruf yang digunakan untuk menggantikan suatu nilai yang sifatnya tidak tetap (berubah – ubah tergantung persamaan yang memuatnya). Variabel pada umumnya disimbolkan dengan huruf latin (a, A, b, B, c, D dst).

Koefisien

Koefisien adalah nilai yang digunakan untuk mengalikan suatu variabel. Koefisien yang bernilai 1 pada umunya tidak perlu ditulis.

Konstanta

Konstanta adalah suatu nilai yang bersifat tetap pada suatu bentuk aljabar. Ciri – ciri paling umum dari sebuah konstanta adalah tidak berikatan dengan suatu variabel. Untuk beberapa rumus khusus, konstanta dapat disimbolkan dengan suatu huruf (seperti a, b, dsb) atau berupa simbol khusus (seperti II).

Eksponen (Pangkat)

Suatu variabel dalam suatu bentuk aljabar dapat memuat pangkat (eksponen). Operasi pangkat memiliki prioritas kedua sejajar dengan operaso akar setelah tanda kurung dalam operasi hitung Matematika.

Derajat

Derajat pada suatu bentuk aljabar adalah nilai pangkat tertinggi yang dimuat suatu variabel.

Suku

Suku pada bentuk aljabar adalah total elemen yang dimuat oleh suatu bentuk aljabar. Suku digunakan untuk mempermudah mengkomunikasikan bentuk aljabar.

Penyelesaian Menggunakan Tabel Rstudio :

Fungsi root_secant() merupakan fungsi yang penulis buat untuk melakukan iterasi menggunakan metode Secant. Berikut merupakan sintaks dari fungsi tersebut:

root_secant <- function(f, x, tol=1e-7, N=100){
  iter <- 0
  
  xold <- x
  fxold <- f(x)
  x <- xold+10*tol
  
  while(abs(x-xold)>tol){
    iter <- iter+1
    if(iter>N)
      stop("No solutions found")
    
    fx <- f(x)
    xnew <- x - fx*((x-xold)/(fx-fxold))
    xold <- x
    fxold <- fx
    x <- xnew
  }

  root<-xnew
  return(list(`function`=f, root=root, iter=iter))
}

Latihan Kerja Mahasiswa

1. Cari hasil perkalian dari tiga persamaan berikut (x + 2)²(x − 1)⁴(x + 5).

Penyelesaian:

  root_secant(function(x) {((x + 2)^2)*((x - 1)^4)*(x + 5)}, x=0)

## $`function`
## function(x) {((x + 2)^2)*((x - 1)^4)*(x + 5)}
## <bytecode: 0x0000000013ca8970>
## 
## $root
## [1] 0.9999996
## 
## $iter
## [1] 72

Berdasarkan hasil iterasi diperoleh nilai akar penyelesaian adalah x=0,9999996 dengan iterasi dilakukan sebanyak 72 kali.

---

2. Cari faktor dari persamaan 6x⁴ + 11x³ − 56x² − x + 60

Penyelesaian:

root_secant(function(x) {6*(x^4)+11*(x^3)-56*(x^2)+60}, x=0)

## $`function`
## function(x) {6*(x^4)+11*(x^3)-56*(x^2)+60}
## <bytecode: 0x000000001521dee8>
## 
## $root
## [1] 1.000008e-06
## 
## $iter
## [1] 3

Berdasarkan hasil iterasi diperoleh nilai akar penyelesaian adalah x=1.000008e-06 dengan iterasi dilakukan sebanyak 3 kali.

---

3. Cari penyelesaian persamaan x⁴ − 5x³ + 3x² + x = 0

Penyelesaian:

root_secant(function(x) {x^4-5*(x^3)+3*(x^2)+x}, x=0)

## $`function`
## function(x) {x^4-5*(x^3)+3*(x^2)+x}
## <bytecode: 0x00000000147ad8c0>
## 
## $root
## [1] 0
## 
## $iter
## [1] 2

Berdasarkan hasil iterasi diperoleh nilai akar penyelesaian adalah x=0 dengan iterasi dilakukan sebanyak 2 kali.

---

4. Cari penyelesaian dari pertidaksamaan 7x – 1 < 2x + 3

Penyelesaian:

  root_secant(function(x) {7*x + 2*x - 1 - 3}, x=0)

## $`function`
## function(x) {7*x + 2*x - 1 - 3}
## <bytecode: 0x0000000014e712d8>
## 
## $root
## [1] 0.4444444
## 
## $iter
## [1] 2

Berdasarkan hasil iterasi diperoleh nilai akar penyelesaian adalah x= 0.4444444 dengan iterasi dilakukan sebanyak 2 kali. ```

Referensi

https://edura.id/blog/matematika/bentuk-dan-operasi-aljabar/

https://bookdown.org/moh_rosidi2610/Metode_Numerik/rootfinding.html#secant