1. Sean \(x\), \(y\), y \(z\) variables aleatorias con función de densidad conjunta (discreta o continua) dada por \(p(x,y,z) \propto p(x,z)p(y,z)p(z)\). Muestre que:

    1. \(p(x\mid y,z)\propto p(x,z)\), i.e., \(p(x\mid y,z)\) es función de \(x\) y \(z\).
    2. \(p(y\mid x,z)\propto p(y,z)\), i.e., \(p(y\mid x,z)\) es función de \(y\) y \(z\).
    3. \(x\) y \(y\) son condicionalmente independientes dado \(z\).

  2. Sean \(A\), \(B\), y \(C\) proposiciones de falso-verdadero. Suponga que \(A\) y \(B\) son condicionalmente independientes, dado \(C\). Muestre que:

    1. \(A\) y \(B^C\) son condicionalmente independientes, dado \(C\).
    2. \(A^C\) y \(B^C\) son condicionalmente independientes, dado \(C\).

  3. Sea \(y\mid x\sim\textsf{Poi}(x)\) y \(x\mid\lambda\sim\textsf{Exp}(\lambda)\).

    1. Muestre que la distribución marginal de \(y\) es: \[ p(y\mid\lambda) = \frac{\lambda}{(\lambda+1)^{y+1}}\,,\qquad y = 0,1,\ldots\qquad\lambda>0\,. \] Sugerencia: considere el núcleo de la densidad de la distribución .
    2. Simule \(N=100,000\) muestras independientes e idénticamente distribuidas de \(y\mid\lambda\) con \(\lambda = 1\), y compare la distribución empírica correspondiente con la distribución exacta obtenida en el numeral anterior.

  4. Muestre que si \(y\mid\theta\) se distribuye exponencialmente con parámetro \(\theta\), entonces la distribución \(\textsf{Gamma}\) sirve como distribución previa conjugada para hacer inferencias sobre \(\theta\), dada una muestra aleatoria de valores de \(y\).

  5. Suponga que Su estado de información previo para \(\theta\), la proporción de individuos que apoyan la pena de muerte en California, es con media \(\textsf{E}(\theta) = 0.6\) y desviación estándar \(\textsf{DE}(\theta) = 0.3\).

    1. Determine los hiperparámetros de Su distribución previa y dibuje la función de densidad correspondiente.
    2. Se toma una muestra aleatoria de 1,000 californianos y el 65% apoya la pena de muerte. Calcule tanto la media como la desviación estándar posterior para \(\theta\). Dibuje la función de densidad posterior correspondiente.
    3. Examine la sensibilidad de la distribución posterior a diferentes valores de la media y de la desviación estándar a priori, incluyendo una distribución previa no informativa.

  6. Un ingeniero está inspeccionando un gran envío de piezas con fines de control de calidad y decide probar diez elementos seleccionados al azar. Históricamente, la proporción de artículos defectuosos \(\theta\) ha sido de alrededor del 1% y muy rara vez ha estado por encima del 2%.

    1. Determine una distribución previa conjugada para \(\theta\) de acuerdo con la información histórica, y además, usando esta distribución previa, encuentre la distribución posterior de \(\theta\) dada una muestra aleatoria de tamaño diez.
    2. Suponga que el ingeniero no encuentra componentes defectuosos en su proceso de observación. ¿Cuál es la distribución posterior de \(\theta\)? ¿Cuál es la media posterior de \(\theta\)?
    3. Calcule el estimador de máxima verosimilitud para \(\theta\). Como estimador puntual , ¿en este caso es preferible el estimador máximo verosímil o la media posterior? ¿Por qué?

  7. Jeffreys (1961) sugirió una regla para generar una distribución previa de un parámetro \(\theta\) asociado con la distribución muestral \(p(y\mid\theta)\). La distribución previa de Jeffreys es de la forma \(p_J(\theta)\propto\sqrt{I(\theta)}\), donde \[ I(\theta) = -\textsf{E}\left( \frac{\text{d}^2}{\text{d}\theta^2}\log p(y\mid\theta) \,\Big|\,\theta\right) \] es la información esperada de Fisher.

    1. Sea \(y\mid\theta\sim\textsf{Bin}(n,\theta)\). Muestre que la distribución previa de Jeffreys para esta distribución muestral es \[ p_J(\theta)\propto \theta^{-\frac12} (1-\theta)^{-\frac12}\,. \]
    2. Reparametrice la distribución Binomial con \(\psi = \textsf{logit}(\theta)\), de forma que \[p(y\mid\psi) \propto e^{\psi y}(1+e^\psi)^{-n}\,.\] Obtenga la distribución previa de Jeffreys para esta distribución muestral.
    3. Tome la distribución previa de la parte a. y aplique la fórmula del cambio de variables para obtener la densidad previa de \(\psi\). Esta densidad debe coincidir con la obtenida en el inciso b.. Esta propiedad de invarianza bajo reparametrización es la característica fundamental de la previa de Jeffreys.