Processing math: 100%

Dosen Pengampu : Prof. Dr. Suhartono, M.Kom

Lembaga : Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang

Jurusan : Teknik Informatika

Fakultas : Sains dan Teknologi

Siapa itu Jordan ?

Camille Jordan (1838-1922) adalah seorang matematikawan berkebangsaan Prancis yang juga seorang profesor di Ecole polytechnique, Paris. Konstribusinya didalam teori matriks dan terkenal dengan teorema buatannya, yaitu Teorema Kurva Jordan yang ditulis dalam bukunya yang berjudul Cours d’Analyse

Eliminasi Gauss-Jordan

Eliminasi Gauss-Jordan adalah prosedur pemecahan sistem persamaan linear dengan mengubahnya menjadi bentuk matriks eselon baris tereduksi dengan Operasi Baris Elementer

Perhatikan ilutrasi berikut :

6.3.2 Eliminasi Gauss-Jordan

Berbeda dengan metode eliminasi Gauss yang telah dijelaskan pada Chapter 6.3.1, metode eliminasi Gauss-Jordan membentuk matriks menjadi bentuk reduced row echelon form. Metode ini merupakan pengembangan metode eliminasi Gauss, dimana matriks sebelah kiri augmented matrix diubah menjadi matriks diagonal (lihat Persamaan (6.17)

Jawab:

Augmented matrix dari persamaan linier tersebut adalah sebagai berikut:

——————————————————————————————————–

Algoritma Metode Eliminasi Gauss-Jordan

(1). Masukkan matriks A dan vektor B beserta ukurannya n

(2). Buat augmented matrix [A|B] namakan dengan A

(3). Untuk baris ke- i dimana i=1 s/d n

  • Perhatikan apakah nilai ai.i sama dengan nol:

    • Bila ya: pertukakan baris ke- i dan baris ke- i+k≤n , dimana ai+ki tidak sama dengan nol, bila tidak ada berarti perhitungan tidak bisa dilanjutkan dan proses dihentikan dengan tanpa penyelesaian.

    • Bila tidak: lanjutkan

  • Jadikan nilai diagonalnya menjadi satu dengan cara untuk setiap kolom k dimana k= s/d n+1 ,hitung ai.k=ai.kai.i

(4). Untuk baris ke- j , dimana j=i+1 s/d n . Lakukan operasi baris elementer untuk kolom k dimana k=1 s/d n .

  • Hitung c=aj.i

  • Hitung aj.k=aj.k−c.ai.k

(5). Penyelesaian untuk i=n s/d 1 disajikan pada Persamaan (6.18)

——————————————————————————————————–

Dari algoritma tersebut, kita dapat membangun sebuah fungsi menggunakan R. Fungsi tersebut adalah sebagai berikut:

gauss_jordan <- function (a){
    m <- nrow (a)
    n <- ncol (a)
    piv <- 1
    
# cek elemen diagonal utama apakah bernilai nol
    for(row_curr in 1:m){
        if(piv <= n){
            i <- row_curr
            while(a[i, piv] == 0 && i < m){
                i <- i + 1
                if(i > m){
                    i <- row_curr
                    piv <- piv + 1
                    if(piv > n)
                        return (a)
                }
            }

# jika diagonal utama bernilai nol,lakukan row swapping
            if(i != row_curr)
                a <- swap_row(a, i, row_curr)
            
# proses pembentukan matriks reduced row echelon form
            piv_val <- a[row_curr , piv]
            a <- scale_row (a, row_curr , 1 / piv_val)
            for(j in 1: m){
                if(j != row_curr){
                    k <- a[j, piv]/a[row_curr, piv]
                    a <- replace_row (a, row_curr, j, -k)
                }
            }
            piv <- piv + 1
        }
    }
    return (a)
}

Dengan menggunakan fungsi gauss_jordan(), sistem persamaan linier pada Contoh 6.3:

(m <- matrix(c(1,2,1,4,3,8), nrow=2))
##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]    1    1    3
## [2,]    2    4    8
gauss_jordan(m)
##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]    1    0    2
## [2,]    0    1    1

Contoh 6.4 Dengan menggunakan fungsi gauss_jordan(), carilah penyelesaian sistem persamaan linier pada Contoh 6.1 dan Contoh 6.2:

Jawab:

Untuk Contoh 6.1:

am <- c(1,1,2,
        1,2,1,
        1,-1,2,
        6,2,10)
m <- matrix(am, nrow=3)

gauss_jordan(m)
##      [,1] [,2] [,3] [,4]
## [1,]    1    0    0    1
## [2,]    0    1    0    2
## [3,]    0    0    1    3

Untuk Contoh 6.2:

m <- matrix(c(2,3,1,1,2,-5,
              -1,-2,4,1,1,3), 
            nrow=3)
gauss_jordan(m)
##      [,1] [,2] [,3] [,4]
## [1,]    1    0    0    1
## [2,]    0    1    0    2
## [3,]    0    0    1    3

Referensi