Prodi : Teknik Informatika

Lembaga : UIN Maulana Malik Ibrahim Malang

Metode Secant

Metode Secant merupakan perbaikan dari metode regula-falsi dan Newton Raphson, dimana kemiringan dua titik dinyatakan secara diskrit dengan mengambil bentuk garis lurus yang melalui satu titik.

Algoritma Metode Secant

  1. Definisikan f(x)f(x) dan f′(x)f′(x)

  2. Tentukan nilai toleransi ee dan iterasi masimum (N)

  3. Tentukan tebakan awal x0x0 dan x1x1

  4. Hitung f(x0)f(x0) dan f(x1)f(x1)

  5. Untuk iterasi i=1i=1 s/d NN atau |f(x)|≥e|f(x)|≥e, hitung xx menggunakan Persamaan (7.14)

  6. Akar persamaan adalah nilai x yang terakhir.

Fungsi root_secant() merupakan fungsi yang penulis buat untuk melakukan iterasi menggunakan metode Secant. Berikut merupakan sintaks dari fungsi tersebut:

root_secant <- function(f, x, tol=1e-7, N=100){
  iter <- 0
  
  xold <- x
  fxold <- f(x)
  x <- xold+10*tol
  
  while(abs(x-xold)>tol){
    iter <- iter+1
    if(iter>N)
      stop("No solutions found")
    
    fx <- f(x)
    xnew <- x - fx*((x-xold)/(fx-fxold))
    xold <- x
    fxold <- fx
    x <- xnew
  }
  
  root<-xnew
  return(list(`function`=f, root=root, iter=iter))
}

Contoh 7.6 Selesaikan persamaan non-linier pada Contoh 7.5 menggunakan metode Secant?

Untuk menyelesaikan persamaan tersebut digunakan nilai pendekatan awal x0=0x0=0 dan x1=0+10∗10−7=10−6x1=0+10∗10−7=10−6.

Hitung nilai x2x2 dan f(x2)f(x2).

Untuk mempercepat proses iterasi kita dapat menggunakan fungsi root_secant() pada R. Berikut sintaks yang digunakan:

root_secant(function(x)
    {x-exp(-x)},
    x=0)

## $`function`
## function (x) 
## {
##     x - exp(-x)
## }
## <bytecode: 0x000000001b4fc6b0>
## 
## $root
## [1] 0.5671
## 
## $iter
## [1] 6

Berdasarkan hasil iterasi diperoleh nilai akar penyelesaian adalah x=0,5671433x=0,5671433 dengan iterasi dilakukan sebanyak 66 kali.

Secara umum metode Secant menawarkan sejumlah keuntungan dibanding metode lainnya. Pertama, seperti metode Newton-Raphson dan tidak seperti metode tertutup lainnya, metode ini tidak memerlukan rentang pencarian akar penyelesaian. Kedua, tidak seperti metode Newton-Raphson, metode ini tidak memerlukan pencarian turunan pertama persamaan non-linier secara analitik, dimana tidak dapat dilakukan otomasi pada setiap kasus.

Adapun kerugian dari metode ini adalah berpotensi menghasilkan hasil yang tidak konvergen sama seperti metode terbuka lainnya. Selain itu, kecepatan konvergensinya lebih lambat dibanding metode Newton-Raphson.

Latihan Kerja Mahasiswa

1. Cari hasil perkalian dari tiga persamaan berikut (x + 2)2(x − 1)4(x + 5).

Penyelesaian:

root_secant(function(x)
  {((x + 2)^2)*((x - 1)^4)*(x + 5)},
  x=0)
## $`function`
## function(x)
##   {((x + 2)^2)*((x - 1)^4)*(x + 5)}
## <bytecode: 0x000000001359d920>
## 
## $root
## [1] 0.9999996
## 
## $iter
## [1] 72

Berdasarkan hasil iterasi diperoleh nilai akar penyelesaian adalah x=0,9999996 dengan iterasi dilakukan sebanyak 72 kali.

2. Cari faktor dari persamaan 6x4 + 11x3 − 56x2 − x + 60

Penyelesaian:

root_secant(function(x)
  {6*(x^4)+11*(x^3)-56*(x^2)+60},
            x=0)
## $`function`
## function(x)
##   {6*(x^4)+11*(x^3)-56*(x^2)+60}
## <bytecode: 0x0000000014eafdb0>
## 
## $root
## [1] 1.000008e-06
## 
## $iter
## [1] 3

Berdasarkan hasil iterasi diperoleh nilai akar penyelesaian adalah x=1.000008e-06 dengan iterasi dilakukan sebanyak 3 kali.

3. Cari penyelesaian persamaan x4 − 5x3 + 3x2 + x = 0

Penyelesaian:

root_secant(function(x)
  {x^4-5*(x^3)+3*(x^2)+x},
  x=0)
## $`function`
## function(x)
##   {x^4-5*(x^3)+3*(x^2)+x}
## <bytecode: 0x000000001395e0a0>
## 
## $root
## [1] 0
## 
## $iter
## [1] 2

Berdasarkan hasil iterasi diperoleh nilai akar penyelesaian adalah x=0 dengan iterasi dilakukan sebanyak 2 kali.

4. Cari penyelesaian dari pertidaksamaan 7x – 1 < 2x + 3

Penyelesaian:

root_secant(function(x)
  {7*x + 2*x - 1 - 3}, 
  x=0)
## $`function`
## function(x)
##   {7*x + 2*x - 1 - 3}
## <bytecode: 0x0000000014ad6190>
## 
## $root
## [1] 0.4444444
## 
## $iter
## [1] 2

Berdasarkan hasil iterasi diperoleh nilai akar penyelesaian adalah x= 0.4444444 dengan iterasi dilakukan sebanyak 2 kali.

REFERENSI

Suhartono.2015.Memahami Kalkulus Dasar Menggunakan Wolfram Mathematica 9.UIN Maliki Malang: Malang.

https://bookdown.org/moh_rosidi2610/Metode_Numerik/rootfinding.html#secant