Objetivo

Determina probabilidades para eventos dependientes e independientes

Descripción

Se cargan librerías necesarias Se definen los conceptos eventos dependientes e independientes Se desarrollan ejercicios para eventos dependientes e independientes.

Desarrollo

Ejercicio 1

Al final del semestre John se va a graduar en la facultad de ingeniería industrial de una universidad. Después de tener entrevistas en dos empresas en donde quiere trabajar, determina que la probabilidad que tiene de lograr una oferta de empleo en la empresa A es 0.8, y que la probabilidad de obtenerla en la empresa B es 0.6. Si, por otro lado, considera que la probabilidad de recibir ofertas de ambas empresas es 0.5,

¿Qué probabilidad tiene de obtener al menos una oferta de esas dos empresas? La respuesta a la pregunta se refiere a la unión de los dos eventos.

¿Son eventos excluyentes o incluyentes? Son incluyentes, porque hay una probabilidad de que sucedan al mismo tiempo. Entonces:

\[ P(A) = 0.8 \\ P(B) = 0.6 \\ P(A\cap B) = 0.5 \\ \therefore \\ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B) = 0.8 + 0.6 - 0.5 = 0.9 \]

Ejercicio 2

¿Cuál es la probabilidad de obtener un total de 7 u 11 cuando se lanza un par de dados?

La respuesta es nuevamente la unión de ambos eventos.

Sea A el evento de que resulte 7 y B el evento de que salga 11. Ahora bien, para 6 de los 36 puntos muestrales ocurre un total de 7 y sólo para 2 de ellos ocurre un total de 11.

Como todos los puntos muestrales tienen la misma probabilidad, se tiene P(A) = 1/6 y P(B) = 1/18.

Los eventos A y B son mutuamente excluyentes, ya que un total de 7 y uno de 11 no pueden ocurrir en el mismo lanzamiento.

\[ P(A) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6} \\ P(B) = \frac{2}{36} = \frac{1}{18} \\ \therefore \\ P(A\cup B) = P(A) + P(B) = \frac{1}{6} + \frac{1}{18} = \frac{2}{9} = 0.22 = 22% \]

Ejercicio 3

Eventos independientes

Dos eventos son independientes si el resultado del segundo evento no es afectado por el resultado del primer evento. Si A y B son eventos independientes, la probabilidad de que ambos eventos ocurran es el producto de las probabilidades de los eventos individuales.

\[ P(A \text {y}B) = P(A)\cdot P(B) \]

Una caja contiene 4 canicas rojas, 3 canicas verdes y 2 canicas azules. Una canica es eliminada de la caja y luego reemplazada. Otra canica se saca de la caja.

¿Cuál es la probabilidad de que la primera canica sea azul y la segunda canica sea verde?

rojas <- 4
verdes <- 3
azules <- 2
S.muestral <- sum(rojas, verdes, azules)
S.muestral
## [1] 9
P.roja <- rojas / S.muestral 
P.verde <- verdes / S.muestral
P.azul <- azules /S.muestral
P.roja; P.verde; P.azul
## [1] 0.4444444
## [1] 0.3333333
## [1] 0.2222222

\[ Prob = \frac{n}{N} \ \therefore \ Prob = \frac{canicas}{S.muestral} \]

Ya que la primera canica es reemplazada, el tamaño del espacio muestral (9) no cambia de la primera sacada a la segunda así los eventos son independientes.

\[ P(Azul) = \frac{3}{9} = 0.3333 \ P(Verde) = \frac{2}{9} = 0.2222 \ \therefore\ P(Azul \text{ y } Verde) = 0.3333 \times 0.2222 = 0.0740 \]

P.verde.y.azul <- P.verde * P.azul
P.verde.y.azul
## [1] 0.07407407

Eventos dependientes

Dos eventos son dependientes si el resultado del primer evento afecta el resultado del segundo evento así que la probabilidad es cambiada. En el ejemplo anterior, si la primera canica no es reemplazada, el espacio muestral para el segundo evento cambia y así los eventos son dependientes.

La probabilidad de que ambos eventos ocurran es el producto de las probabilidades de los eventos individuales:

Una caja contiene 4 canicas rojas, 3 canicas verdes y 2 canicas azules. Una canica es eliminada de la caja y no es reemplazada. Otra canica se saca de la caja.

¿Cuál es la probabilidad de que la primera canica sea azul y la segunda canica sea verde?

Ya que la primera canica no es reemplazada, el tamaño del espacio muestral para la primera canica (9) es cambiado para la segunda canica (8) así los eventos son dependientes.

\[ P(Azul) = \frac{3}{9} = 0.3333 \ P(Verde) = \frac{2}{8} = 0.2500 \ \therefore\ P(Azul \text{ y } Verde) = 0.3333 \times 0.2500 = 0.0833 \]

P.verde <- 3/9
P.azul <- 2/8
P.verde.y.azul <- P.verde * P.azul
P.verde.y.azul
## [1] 0.08333333

Ejercicio 4. Quiniela deportiva

La probabilidad de que gane un equipo de fútbol en un partido no tiene que ver con la probabilidad de que gane otro equipo de fútbol. Son eventos independientes.

América tiene una probabilidad de ganarle al Atlas del 0.33, Cruz Azul tiene una probabilidad de ganarle al Guadalajara de 0.33, Santos tiene una probabilidad de ganarle al Monterrey de 0.33

¿Cuál es la probabilidad de que ganen América, Cruz Azul y Santos?

Se multiplican las probabilidades porque son eventos independientes en donde el resultado de un partido no afecta al resultado del otro partido.

P.America <- 0.3333
P.CruzAul <- 0.3333
P.Santos <- 0.3333
P.America.CruzAzul.Santos <- P.America * P.CruzAul* P.Santos
P.America.CruzAzul.Santos
## [1] 0.03702593
paste("La probabilidad de que ganen los tres equipos es de ", round(P.America.CruzAzul.Santos * 100,2  ), "%")
## [1] "La probabilidad de que ganen los tres equipos es de  3.7 %"

Ejercicio 5

Carlos tiene un mazo de 15 cartas numeradas del 1 al 15. Saca una carta al azar, ve el número, y la revuelve de nuevo en el mazo.

¿Cuál es la probabilidad de que NO le salga una carta menor o igual a 5 en el primer intento, pero que SÍ le salga una carta menor o igual a 5 en el segundo intento? Fuente: https://content.nroc.org/Algebra.HTML5/U12L2T2/TopicText/es/text.html

Se trata de eventos independientes porque la carta se devuelve.

Interpretación

Los eventos independientes no presentarán impacto alguno sobre eventos que podrían pasar, lo que podría ser de utilidad para hacer dos o más consideraciones por individual sin que estas jueguen un papel en contra de las demás. Así, en caso de perder o no tener un evento que cumpla con lo pensado o pedido, se podría ganar o coincidir con ello en algún otro evento de todas maneras.

Por otro lado y respecto a los eventos dependientes, su cálculo se tiene que hacer estando consciente de que lo que pase en un primer evento puede perjudicar al resultado del otro, entonces se tienen qué considerar más aspectos antes de hacer la correspondiente toma de decisiones. Esto a su vez involucra una limitación de los posibles eventos a ocurrir debido a la reducción del espacio muestral que se establece en un principio, solamente si esa condición se lleva a cabo.

Bibliografía

content.nroc.org. n.d. “Probabilidad de Eventos Independientes.” https://content.nroc.org/Algebra.HTML5/U12L2T2/TopicText/es/text.html. Data Science, Team. 2019. “DATA SCIENCE. Evento Mutuamente Excluyente.” https://datascience.eu/es/matematica-y-estadistica/evento-mutuamente-excluyente-definicion-ejemplos-sindicatos/. HotMath. n.d. “HotMath.” https://www.varsitytutors.com/hotmath/hotmath_help/spanish/topics/conditional-probability. Walpole, Ronald E., Raymond H. Myers, and Sharon L. Myers. 2012. Probabilidad y Estadística Para Ingeniería y Ciencias. Novena Edición. México: Pearson.