Penerapan Polinomial Menggunakan Metode Secant Pada RStudio

Mata Kuliah : Kalkulus

Prodi : Teknik Informatika

Lembaga : Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang

Algoritma Metode Secant Pada RStudio

• Definisikan f(x)f(x) dan f′(x)f′(x)
• Tentukan nilai toleransi ee dan iterasi masimum (N)
• Tentukan tebakan awal x0x0 dan x1x1
• Hitung f(x0)f(x0) dan f(x1)f(x1)
• Untuk iterasi i=1i=1 s/d NN atau |f(x)|≥e|f(x)|≥e, hitung xx menggunakan Persamaan (7.14)
• Akar persamaan adalah nilai x yang terakhir.

Fungsi root_secant() merupakan fungsi yang penulis buat untuk melakukan iterasi menggunakan metode Secant. Berikut merupakan sintaks dari fungsi tersebut:

root_secant <- function(f, x, tol=1e-7, N=100){
  iter <- 0
  
  xold <- x
  fxold <- f(x)
  x <- xold+10*tol
  
  while(abs(x-xold)>tol){
    iter <- iter+1
    if(iter>N)
      stop("No solutions found")
    
    fx <- f(x)
    xnew <- x - fx*((x-xold)/(fx-fxold))
    xold <- x
    fxold <- fx
    x <- xnew
  }
  
  root<-xnew
  return(list(`function`=f, root=root, iter=iter))
}

Contoh 7.6 Selesaikan persamaan non-linier pada Contoh 7.5 menggunakan metode Secant?

Jawab:

Untuk menyelesaikan persamaan tersebut digunakan nilai pendekatan awal x0=0x0=0 dan x1=0+10∗10−7=10−6x1=0+10∗10−7=10−6.

Untuk mempercepat proses iterasi kita dapat menggunakan fungsi root_secant() pada R. Berikut sintaks yang digunakan:

root_secant(function(x){x-exp(-x)}, x=0)


## $`function`
## function (x) 
## {
##     x - exp(-x)
## }
## <bytecode: 0x000000001b4fc6b0>
## 
## $root
## [1] 0.5671
## 
## $iter
## [1] 66

Berdasarkan hasil iterasi diperoleh nilai akar penyelesaian adalah x=0,5671433 dengan iterasi dilakukan sebanyak 6 kali.

Secara umum metode Secant menawarkan sejumlah keuntungan dibanding metode lainnya. Pertama, seperti metode Newton-Raphson dan tidak seperti metode tertutup lainnya, metode ini tidak memerlukan rentang pencarian akar penyelesaian. Kedua, tidak seperti metode Newton-Raphson, metode ini tidak memerlukan pencarian turunan pertama persamaan non-linier secara analitik, dimana tidak dapat dilakukan otomasi pada setiap kasus.

Adapun kerugian dari metode ini adalah berpotensi menghasilkan hasil yang tidak konvergen sama seperti metode terbuka lainnya. Selain itu, kecepatan konvergensinya lebih lambat dibanding metode Newton-Raphson.

LEMBAR KERJA MAHASISWA

Jawablah soal dibawah ini menggunakan metode secant pada RStudio

1. Cari hasil perkalian dari tiga persamaan berikut (x + 2)²(x − 1)⁴(x + 5).
2. Cari faktor dari persamaan 6x⁴ + 11x³ − 56x² − x + 60
3. Cari penyelesaian persamaan x⁴ − 5x³ + 3x² + x = 0
4. Cari penyelesaian dari pertidaksamaan 7x – 1 < 2x + 3

________________________________________________________________________________________________________________

1. Cari hasil perkalian dari tiga persamaan berikut (x + 2)²(x − 1)⁴(x + 5).

Penyelesaian:

root_secant(function(x){((x + 2)^2)*((x − 1)^4)*(x + 5)}, x=0)

## $`function`
## function(x){((x + 2)^2)*((x - 1)^4)*(x + 5
## <bytecode: 0x0000000015b6f728>
## 
## $root
## [1] 0.9999996
## 
## $iter
## [1] 72

Berdasarkan hasil iterasi diperoleh nilai akar penyelesaian adalah x=0.9999996 dengan iterasi dilakukan sebanyak 72 kali.

________________________________________________________________________________________________________________

2. Cari faktor dari persamaan 6x⁴ + 11x³ − 56x² − x + 60

Penyelesaian:

root_secant(function(x){6*(x^4)+11*(x^3)-56*(x^2)+60}, x=0)

## $`function`
## function(x){6*(x^4)+11*(x^3)-56*(x^2)+60}
## <bytecode: 0x0000000013165cc8>
## 
## $root
## [1] 1.000008e-06
## 
## $iter
## [1] 3

Berdasarkan hasil iterasi diperoleh nilai akar penyelesaian adalah x=1.000008e-06 dengan iterasi dilakukan sebanyak 3 kali.

________________________________________________________________________________________________________________

3. Cari penyelesaian persamaan x⁴ − 5x³ + 3x² + x = 0

3. Penyelesaian:

root_secant(function(x){x^4-5*(x^3)+3*(x^2)+x}, x=0)

## $`function`
## function(x){x^4-5*(x^3)+3*(x^2)+x}
## <bytecode: 0x00000000153e3e90>
## 
## $root
## [1] 0
## 
## $iter
## [1] 2

Berdasarkan hasil iterasi diperoleh nilai akar penyelesaian adalah x=0 dengan iterasi dilakukan sebanyak 2 kali.

________________________________________________________________________________________________________________

4. Cari penyelesaian dari pertidaksamaan 7x – 1 < 2x + 3

Penyelesaian:

root_secant(function(x){7*x + 2*x - 1 - 3}, x=0)

## $`function`
## function(x){7*x + 2*x - 1 - 3}
## <bytecode: 0x0000000015e09f38>
## 
## $root
## [1] 0.4444444
## 
## $iter
## [1] 2

Berdasarkan hasil iterasi diperoleh nilai akar penyelesaian adalah x= 0.4444444 dengan iterasi dilakukan sebanyak 2 kali.

REFERENSI

Suhartono.2015.Memahami Kalkulus Dasar Menggunakan Wolfram Mathematica 9.UIN Maliki Malang: Malang.

https://bookdown.org/moh_rosidi2610/Metode_Numerik/rootfinding.html#akar-persamaan-polinomial-menggunakan-fungsi-polyroot