Enunciat

El primer i tercer vèrtexs d’un pentàgon regular (comptant-los en sentit contrari a les agulles del rellotge) tenen coordenades (3,4) i (8,0). Trobeu les coordenades de tots els vèrtexs.

Indicació: Tot i que aquest problema es pot resoldre amb trigonometria i també amb operacions de matrius, és ràpid fer-lo fent servir operacions amb nombres complexos aprofitant que al pla complex una suma és una traslació i una multiplicació és una rotació i un canvi d’escala.

Solució

# pentàgon model
v0 <- complex(modulus=1, argument=(0:4)*2*pi/5)
# gràfic
plot(v0)
polygon(v0, lty=2)

# dades
p1 <- 3+4i
p2 <- 8+0i
# gràfic
plot(c(v0,p1, p2))
polygon(v0, lty=2)
points(c(p1,p2), col="red")

# rotació
rotacio <- (p2-p1)/(v0[3]-v0[1])
vr <- v0*rotacio
# gràfic
plot(c(v0,p1, p2,vr))
polygon(v0, lty=2)
polygon(vr, lty=2)
points(c(p1,p2), col="red")

# traslació a p1
traslacio <- p1-vr[1]
vt <- vr+traslacio
# gràfic
plot(c(v0,p1, p2, vr, vt))
polygon(v0, lty=2)
polygon(vr, lty=2)
polygon(vt, col="lightblue")
points(c(p1,p2), col="red")

# Solució
vt
## [1] 3.000000+4.000000i 4.046915+0.183644i 8.000000+0.000000i 9.396226+3.702858i
## [5] 6.306056+6.174994i