DISEÑO FACTORIAL FRACCIONADO
Ingeniero. Sujey Misulivan Rios Parra
2021-10-13
Diseño Factorial Fraccinoado
Ejercicio 8-6
Montgomery (2004) R.D.Snee (“Experimentación con un número grande de variables”, en Experiments in industry: Desegn, Analysis and Interpretation of Results, de R.D. Snee, L:.B. Hare y J.B. Trout, editores, ASQC) describe un experimento en el que se usó un diseño \(2^5-1\) con I=ABCDE para investigar los efectos de cinco factores sobre el color de un producto química. Los factores son A= solventes/reactivo, B=catalizador/reactivo, C=temperatura, D=pureza del reactivo y E= pH del reactivo. Los resultados obtenidos fueron los siguientes:
| e=-0.63 | d=6.79 |
| a=2.51 | ade=5.47 |
| b=-2.68 | bde=3.45 |
| abe=1.66 | adb=5.68 |
| c=2.06 | cde=5.22 |
| ace=1.22 | acd=4.38 |
| bce=-2.09 | bcd=4.30 |
| abc=1.93 | abcde=4.05 |
a) Construir una gráfica de probabilidad normal de los efectos. ¿Qué efectos parecen estar activos?
b) Calcular los residuales. Construir una gráfica de probabilidad normal de los residuales y graficar los residuales contra los valores ajustados. Comentar las gráficas.
c) Si algunos de los factores son insignificantes plegar el diseño \(2^5-1\) un diseño factorial completo en los factores activos. Comentar el diseño resultante e interpretar los resultados.
Solución
library(printr)## Warning: package 'printr' was built under R version 4.0.5datos=read.table("dataset.txt",header = TRUE)
str(datos)## 'data.frame': 16 obs. of 6 variables:
## $ Solvente_Reactivo_A : int -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 ...
## $ Catalizador_Reactivo_B: int -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 ...
## $ Temperatura_C : int -1 -1 -1 -1 1 1 1 1 -1 -1 ...
## $ Pureza_Reactivo_D : int -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 1 ...
## $ PH_Reactivo_E : int 1 -1 -1 1 -1 1 1 -1 1 1 ...
## $ Resultados : num -0.63 2.51 -2.68 1.66 2.06 1.22 -2.09 1.93 6.79 5.47 ...View(datos)a) Construir una gráfica de probabilidad normal de los efectos. ¿Qué efectos parecen estar activos? Con respecto a la gráfica de Pareto y la gráfica de Daniel, se visualizará cuales son los efectos relevantes del experimento, con respecto al principio de escazes.
f_rA=factor('Solvente_Reactivo_A')
f_rB=factor('Catalizador_Reactivo_B')
f=rC=factor('Temperatura_C')
f_rD=factor('Pureza_Reactivo_D')
f_rE=factor('PH_Reactivo_E')attach(datos)
head(datos,n=16L)| Solvente_Reactivo_A | Catalizador_Reactivo_B | Temperatura_C | Pureza_Reactivo_D | PH_Reactivo_E | Resultados |
|---|---|---|---|---|---|
| -1 | -1 | -1 | -1 | 1 | -0.63 |
| 1 | -1 | -1 | -1 | -1 | 2.51 |
| -1 | 1 | -1 | -1 | -1 | -2.68 |
| 1 | 1 | -1 | -1 | 1 | 1.66 |
| -1 | -1 | 1 | -1 | -1 | 2.06 |
| 1 | -1 | 1 | -1 | 1 | 1.22 |
| -1 | 1 | 1 | -1 | 1 | -2.09 |
| 1 | 1 | 1 | -1 | -1 | 1.93 |
| -1 | -1 | -1 | -1 | 1 | 6.79 |
| 1 | -1 | -1 | 1 | 1 | 5.47 |
| -1 | 1 | -1 | 1 | 1 | 3.45 |
| 1 | 1 | -1 | 1 | -1 | 5.68 |
| -1 | -1 | 1 | 1 | 1 | 5.22 |
| 1 | -1 | 1 | 1 | -1 | 4.38 |
| -1 | 1 | 1 | 1 | -1 | 4.30 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 4.05 |
library(FrF2)## Warning: package 'FrF2' was built under R version 4.0.5## Warning: package 'DoE.base' was built under R version 4.0.5Experimento= FrF2(nruns = 16, nfactors = 5, factor.names= list(Solvente_Reactivo_A=c(-1,1), Catalizador_Reactivo_B=c(-1,1), Temperatura_C=c(-1,1), Pureza_Reactivo_D=c(-1,1), PH_Reactivo_E=c(-1,1)), replications = 1, randomize = FALSE)
Experimento_respuesta=add.response(design = Experimento,response = Resultados)
halfnormal(Experimento_respuesta, xlab = "Efectos Activos")
Una vez obtenida la gráfica se visualiza que los efectos activos del diseño experimental es el efecto del factor pureza, con base a las interacciones que se muestran sin letra son interacciones sobrantes, por consiguiente para poder afirmar la información que interpreta la tabla, se verifica con la grafica de Daniel:
DanielPlot(Experimento_respuesta, main= "Gráfico de Daniel para el Alcohol Isoamílico")
Con respecto al grafico se puede afirmar la hipotesis anterior mencionada, por tal motivo se concluye que el efecto principal del factor de pureza reactivo D es un efecto activo, por lo cual se comprueba el principio de jerarquia y el principio de herencia, puesto que se visualiza que solo algunos efectos principales estan activos, algunas interacciones solas y dobles, y con base a los factores e interaciones dobles se puede ver que no estan activas, provocando que tengan por lo minimo factores que sean activos en los principales.
b) Calcular los residuales. Construir una gráfica de probabilidad normal de los residuales y graficar los residuales contra los valores ajustados. Comentar las gráficas.
modelo=aov(Resultados ~ (Solvente_Reactivo_A*Catalizador_Reactivo_B*Temperatura_C*Pureza_Reactivo_D*PH_Reactivo_E))
summary(modelo)## Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
## Solvente_Reactivo_A 1 6.86 6.86 0.249 0.705
## Catalizador_Reactivo_B 1 7.18 7.18 0.261 0.699
## Temperatura_C 1 0.09 0.09 0.003 0.964
## Pureza_Reactivo_D 1 49.95 49.95 1.815 0.407
## PH_Reactivo_E 1 0.01 0.01 0.001 0.986
## Solvente_Reactivo_A:Catalizador_Reactivo_B 1 12.55 12.55 0.456 0.622
## Solvente_Reactivo_A:Temperatura_C 1 0.28 0.28 0.010 0.936
## Catalizador_Reactivo_B:Temperatura_C 1 1.96 1.96 0.071 0.834
## Solvente_Reactivo_A:Pureza_Reactivo_D 1 3.91 3.91 0.142 0.771
## Catalizador_Reactivo_B:Pureza_Reactivo_D 1 1.36 1.36 0.050 0.861
## Temperatura_C:Pureza_Reactivo_D 1 0.51 0.51 0.018 0.914
## Solvente_Reactivo_A:PH_Reactivo_E 1 0.00 0.00 0.000 0.996
## Catalizador_Reactivo_B:PH_Reactivo_E 1 0.01 0.01 0.000 0.990
## Temperatura_C:PH_Reactivo_E 1 2.49 2.49 0.090 0.814
## Residuals 1 27.53 27.53Una vez obtenida la informacion de la tabla ANOVA, la cual se evalua los 5 factores sobre el color del producto quimico,se visualiza que el factor significativo es el factor D.
Normalidad=shapiro.test(resid(modelo))
print(Normalidad)##
## Shapiro-Wilk normality test
##
## data: resid(modelo)
## W = 0.51123, p-value = 2.63e-06#---Gráfica de probabilidad normal---#
qqnorm(resid(modelo), main = "Gráfica de probabilidad para los Residuales del Modelo", xlab = "Cuantiles teoricos", ylab = "Cuantiles de muestra")
qqline(resid(modelo))
Con respecto a los resultados del gráfico que se muestra, se logra ver que los puntos muestran un comportamiento lineal por tal motivo se puede concluir que se sigue un comportamiento normal y por lo cual corresponde al supuesto de normalidad.
homocedasticidad=bartlett.test(resid(modelo),Solvente_Reactivo_A, Catalizador_Reactivo_B,
Temperatura_C, Pureza_Reactivo_D, PH_Reactivo_E,data=experimento_resp)
print(homocedasticidad)##
## Bartlett test of homogeneity of variances
##
## data: resid(modelo) and Solvente_Reactivo_A
## Bartlett's K-squared = 461.27, df = 1, p-value < 2.2e-16Como de logra ver con respecto a los resultados que se adquirieron a base del análisis de varianza, se muestra que estos son iguales y por consecuencia son constantes y normales, por tal motivo se termina concluyendo que el modelo de regresión si es el adecuado.
c) Si algunos de los factores son insignificantes plegar el diseño \(2^5-1\) un diseño factorial completo en los factores activos. Comentar el diseño resultante e interpretar los resultados.
Análisis de las interacciones mediante los gráficos correspondientes:
Grafica_interacciones=IAPlot(Experimento_respuesta)
head(Grafica_interacciones)| Solvente_Reactivo_A:Catalizador_Reactivo_B | Solvente_Reactivo_A:Temperatura_C | Solvente_Reactivo_A:Pureza_Reactivo_D | Solvente_Reactivo_A:PH_Reactivo_E | Catalizador_Reactivo_B:Temperatura_C | Catalizador_Reactivo_B:Pureza_Reactivo_D | Catalizador_Reactivo_B:PH_Reactivo_E | Temperatura_C:Pureza_Reactivo_D | Temperatura_C:PH_Reactivo_E | Pureza_Reactivo_D:PH_Reactivo_E | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| -:- | 3.360 | 1.7325 | -0.835 | 2.6175 | 3.5350 | 1.290 | 3.9350 | 0.2150 | 3.0750 | 0.9550 |
| +:- | 3.395 | 3.8300 | 1.830 | 3.6250 | 2.0275 | -0.295 | 2.3075 | 0.7800 | 3.1675 | 5.2875 |
| -:+ | 0.745 | 2.3725 | 4.940 | 1.4875 | 3.2200 | 5.465 | 2.8200 | 5.3475 | 2.4875 | 0.0400 |
| +:+ | 3.330 | 2.8950 | 4.895 | 3.1000 | 2.0475 | 4.370 | 1.7675 | 4.4875 | 2.1000 | 4.5475 |
Basándose a los resultados de la gráfica anterior se observa que existen interaciones fuertes entre los factores B:C, C:D, Y D:C. Para afirmar que las interacciones son significativas se realiza la tabla anova del experimento, solo considerando las interacciones dobles
modelo_Catalizador_Reactivo_B_Temperatura_C=lm(Resultados ~(Catalizador_Reactivo_B* Temperatura_C), data = datos)
summary(modelo_Catalizador_Reactivo_B_Temperatura_C)##
## Call:
## lm.default(formula = Resultados ~ (Catalizador_Reactivo_B * Temperatura_C),
## data = datos)
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -4.7075 -1.3700 0.5212 2.0006 3.6525
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) 2.70750 0.74758 3.622 0.0035 **
## Catalizador_Reactivo_B -0.67000 0.74758 -0.896 0.3878
## Temperatura_C -0.07375 0.74758 -0.099 0.9230
## Catalizador_Reactivo_B:Temperatura_C 0.08375 0.74758 0.112 0.9127
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 2.99 on 12 degrees of freedom
## Multiple R-squared: 0.06436, Adjusted R-squared: -0.1695
## F-statistic: 0.2752 on 3 and 12 DF, p-value: 0.8422anova_Catalizador_Reactivo_B_Temperatura_C=aov(modelo_Catalizador_Reactivo_B_Temperatura_C)
summary(anova_Catalizador_Reactivo_B_Temperatura_C)## Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
## Catalizador_Reactivo_B 1 7.18 7.182 0.803 0.388
## Temperatura_C 1 0.09 0.087 0.010 0.923
## Catalizador_Reactivo_B:Temperatura_C 1 0.11 0.112 0.013 0.913
## Residuals 12 107.30 8.942modelo_Temperatura_C_Pureza_Reactivo_D=lm(Resultados ~(Temperatura_C*Pureza_Reactivo_D),data = datos)
summary(modelo_Temperatura_C_Pureza_Reactivo_D)##
## Call:
## lm.default(formula = Resultados ~ (Temperatura_C * Pureza_Reactivo_D),
## data = datos)
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -4.2100 -0.6823 0.2850 0.8550 5.2600
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) 2.91604 0.59705 4.884 0.000376 ***
## Temperatura_C -0.28229 0.59705 -0.473 0.644829
## Pureza_Reactivo_D 1.76104 0.59705 2.950 0.012153 *
## Temperatura_C:Pureza_Reactivo_D 0.09271 0.59705 0.155 0.879183
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 2.349 on 12 degrees of freedom
## Multiple R-squared: 0.4225, Adjusted R-squared: 0.2781
## F-statistic: 2.926 on 3 and 12 DF, p-value: 0.07714anova_Catalizador_Reactivo_B_Temperatura_C=aov(modelo_Catalizador_Reactivo_B_Temperatura_C)
summary(anova_Catalizador_Reactivo_B_Temperatura_C)## Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
## Catalizador_Reactivo_B 1 7.18 7.182 0.803 0.388
## Temperatura_C 1 0.09 0.087 0.010 0.923
## Catalizador_Reactivo_B:Temperatura_C 1 0.11 0.112 0.013 0.913
## Residuals 12 107.30 8.942modelo_solvente_Reactivo_A_Pureza_Reactivo_D=lm(Resultados ~(Solvente_Reactivo_A*Pureza_Reactivo_D),data = datos)
summary(modelo_solvente_Reactivo_A_Pureza_Reactivo_D)##
## Call:
## lm.default(formula = Resultados ~ (Solvente_Reactivo_A * Pureza_Reactivo_D),
## data = datos)
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -3.3700 -0.8521 -0.0967 0.7062 6.1000
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) 2.9346 0.5882 4.989 0.000315 ***
## Solvente_Reactivo_A 0.4279 0.5882 0.728 0.480860
## Pureza_Reactivo_D 1.6746 0.5882 2.847 0.014703 *
## Solvente_Reactivo_A:Pureza_Reactivo_D -0.1421 0.5882 -0.242 0.813197
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 2.314 on 12 degrees of freedom
## Multiple R-squared: 0.4395, Adjusted R-squared: 0.2994
## F-statistic: 3.137 on 3 and 12 DF, p-value: 0.06541anova_Solvente_Reactivo_A_Pureza_Reactivo_D=aov(modelo_solvente_Reactivo_A_Pureza_Reactivo_D)
summary(anova_Solvente_Reactivo_A_Pureza_Reactivo_D)## Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
## Solvente_Reactivo_A 1 6.86 6.86 1.281 0.2797
## Pureza_Reactivo_D 1 43.23 43.23 8.070 0.0149 *
## Solvente_Reactivo_A:Pureza_Reactivo_D 1 0.31 0.31 0.058 0.8132
## Residuals 12 64.28 5.36
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1modelo_Pureza_Reactivo_D_PH_Reactivo_E=lm(Resultados ~(Pureza_Reactivo_D*PH_Reactivo_E),data = datos)
summary(modelo_Pureza_Reactivo_D_PH_Reactivo_E)##
## Call:
## lm.default(formula = Resultados ~ (Pureza_Reactivo_D * PH_Reactivo_E),
## data = datos)
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -3.6350 -0.6475 0.0500 0.9356 5.4000
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) 2.91979 0.60144 4.855 0.000395 ***
## Pureza_Reactivo_D 1.74729 0.60144 2.905 0.013198 *
## PH_Reactivo_E 0.04896 0.60144 0.081 0.936464
## Pureza_Reactivo_D:PH_Reactivo_E -0.16854 0.60144 -0.280 0.784072
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 2.367 on 12 degrees of freedom
## Multiple R-squared: 0.414, Adjusted R-squared: 0.2674
## F-statistic: 2.825 on 3 and 12 DF, p-value: 0.0836anova_Pureza_Reactivo_PH_Reactivo_E=aov(modelo_Pureza_Reactivo_D_PH_Reactivo_E)
summary(anova_Pureza_Reactivo_PH_Reactivo_E)## Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
## Pureza_Reactivo_D 1 46.96 46.96 8.384 0.0134 *
## PH_Reactivo_E 1 0.08 0.08 0.014 0.9076
## Pureza_Reactivo_D:PH_Reactivo_E 1 0.44 0.44 0.079 0.7841
## Residuals 12 67.21 5.60
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1Con respecto a los resultados que se obtuvieron a través de los métodos de realización de las varianzas se puede visualizar el modelo en las reacciones e interacciones con los otros reactivos y midiendo la pureza D se muestra que en cada una de ellas la de mayor significancia es del mismo reactivo D debido a que el reactivo con las interacciones b y c, a y d en la intervención del PH del reactivo E, resultan también ser significativas por este modelo, mientras las otras intervenciones no tienen significación, en consecuencia se logra concluir que existe significancias entre la temperatura de los solventes y entre la pureza de los reactivos.
Bibliografia
Montgomery, D. C. (2004). Diseño y Análisis de Experimentos (2a ed.). Limusa Wiley.