Diseño Factorial Fraccinoado

Ejercicio 8-6

Montgomery (2004) R.D.Snee (“Experimentación con un número grande de variables”, en Experiments in industry: Desegn, Analysis and Interpretation of Results, de R.D. Snee, L:.B. Hare y J.B. Trout, editores, ASQC) describe un experimento en el que se usó un diseño \(2^5-1\) con I=ABCDE para investigar los efectos de cinco factores sobre el color de un producto química. Los factores son A= solventes/reactivo, B=catalizador/reactivo, C=temperatura, D=pureza del reactivo y E= pH del reactivo. Los resultados obtenidos fueron los siguientes:

e=-0.63 d=6.79
a=2.51 ade=5.47
b=-2.68 bde=3.45
abe=1.66 adb=5.68
c=2.06 cde=5.22
ace=1.22 acd=4.38
bce=-2.09 bcd=4.30
abc=1.93 abcde=4.05

a) Construir una gráfica de probabilidad normal de los efectos. ¿Qué efectos parecen estar activos?
b) Calcular los residuales. Construir una gráfica de probabilidad normal de los residuales y graficar los residuales contra los valores ajustados. Comentar las gráficas.
c) Si algunos de los factores son insignificantes plegar el diseño \(2^5-1\) un diseño factorial completo en los factores activos. Comentar el diseño resultante e interpretar los resultados.

Solución

library(printr)
datos=read.table("dataset.txt",header = TRUE)
str(datos)
## 'data.frame':    16 obs. of  6 variables:
##  $ Solvente_reactivoA   : int  -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 ...
##  $ Catalizador_reactivoB: int  -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 ...
##  $ Temperatura_C        : int  -1 -1 -1 -1 1 1 1 1 -1 -1 ...
##  $ Pureza_reactivoD     : int  -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 1 ...
##  $ PH_reactivoE         : int  1 -1 -1 1 -1 1 1 -1 1 1 ...
##  $ Resultados           : num  -0.63 2.51 -2.68 1.66 2.06 1.22 -2.09 1.93 6.79 5.47 ...
View(datos)
  1. Construir una gráfica de probabilidad normal de los efectos. ¿Qué efectos parecen estar activos? Acontinuación se presenta la gráfica de Pareto y la grafica de Daniel, las cuales darán evidencia de cuales son los efectos relevantes del experimento, con respecto al principio de escazes.
f_rA=factor('Solvente_reactivoA')
f_rB=factor('Catalizador_reactivoB')
f=rC=factor('Temperatura_c')
f_rD=factor('Pureza_reactivoD')
f_rE=factor('PH_reactivoE')
attach(datos)
head(datos,n=16L)
Solvente_reactivoA Catalizador_reactivoB Temperatura_C Pureza_reactivoD PH_reactivoE Resultados
-1 -1 -1 -1 1 -0.63
1 -1 -1 -1 -1 2.51
-1 1 -1 -1 -1 -2.68
1 1 -1 -1 1 1.66
-1 -1 1 -1 -1 2.06
1 -1 1 -1 1 1.22
-1 1 1 -1 1 -2.09
1 1 1 -1 -1 1.93
-1 -1 -1 -1 1 6.79
1 -1 -1 1 1 5.47
-1 1 -1 1 1 3.45
1 1 -1 1 -1 5.68
-1 -1 1 1 1 5.22
1 -1 1 1 -1 4.38
-1 1 1 1 -1 4.30
1 1 1 1 1 4.05
library(FrF2)
experimento= FrF2(nruns = 16, nfactors = 5, factor.names= list(Solvente_reactivoA=c(-1,1), Catalizador_reactivoB=c(-1,1), Temperatura_C=c(-1,1), Pureza_reactivoD=c(-1,1), PH_reactivoE=c(-1,1)), replications = 1, randomize = FALSE)
experimento_respuesta=add.response(design = experimento,response = Resultados)
halfnormal(experimento_respuesta, xlab = "Efectos activos")

CONCLUSION Al interpretar la grafica se aprecia que los efectos activos del diseño experimental es el efecto de factor de pureza y en las interacciones aquellas que se muestran sin letra son las interacciones que sobran, por lo tanto, para poder afirmar la información que interpreta la tabla se verifica con la grafica de Daniel:

DanielPlot(experimento_respuesta, main= "Gràfico de Daniel para el Alcohol Isoamìlico")

CONCLUSION En la gráfica anterior se puede confirmar la información que se obtuvo del análisis anterior, por lo que se concluye que los efectos activos solo es el factor D que corresponde a la Pureza de los Reactivos.

  1. Calcular los residuales. Construir una gráfica de probabilidad normal de los residuales y graficar los residuales contra los valores ajustados. Comentar las gráficas.
modelo=aov(Resultados ~ (Solvente_reactivoA*Catalizador_reactivoB*Temperatura_C*Pureza_reactivoD*PH_reactivoE))
summary(modelo)
##                                          Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
## Solvente_reactivoA                        1   6.86    6.86   0.249  0.705
## Catalizador_reactivoB                     1   7.18    7.18   0.261  0.699
## Temperatura_C                             1   0.09    0.09   0.003  0.964
## Pureza_reactivoD                          1  49.95   49.95   1.815  0.407
## PH_reactivoE                              1   0.01    0.01   0.001  0.986
## Solvente_reactivoA:Catalizador_reactivoB  1  12.55   12.55   0.456  0.622
## Solvente_reactivoA:Temperatura_C          1   0.28    0.28   0.010  0.936
## Catalizador_reactivoB:Temperatura_C       1   1.96    1.96   0.071  0.834
## Solvente_reactivoA:Pureza_reactivoD       1   3.91    3.91   0.142  0.771
## Catalizador_reactivoB:Pureza_reactivoD    1   1.36    1.36   0.050  0.861
## Temperatura_C:Pureza_reactivoD            1   0.51    0.51   0.018  0.914
## Solvente_reactivoA:PH_reactivoE           1   0.00    0.00   0.000  0.996
## Catalizador_reactivoB:PH_reactivoE        1   0.01    0.01   0.000  0.990
## Temperatura_C:PH_reactivoE                1   2.49    2.49   0.090  0.814
## Residuals                                 1  27.53   27.53

conclusion De acuerdo conla información que obtuvimos por la tabla ANOVA, la cual se evalua los 5 factores que afecta el color del producto química, como se observa el Valorp para todos los efectos produccidos de los diferentes factores no son significativos, dado a que se considero un nivel de significancia de ∝=0.05.

normalidad=shapiro.test(resid(modelo))
print(normalidad)
## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  resid(modelo)
## W = 0.51123, p-value = 2.63e-06
#Gràfica de probabilidad normal
qqnorm(resid(modelo), main = "Grafica de probabilidad para los Residuales del Modelo", xlab = "Cuantiles Teoricos", ylab = "Cuantiles de muestra")
qqline(resid(modelo))

De acuerdo a los resultados que arroja el grafico se puede observar que los puntos siguen un comportamiento lineal por lo tanto se concluye que siguen un comportamiento normal y correspopnden al suPuesto de normalidda.

homocedasticidad=bartlett.test(resid(modelo),Solvente_reactivoA, Catalizador_reactivoB, 
            Temperatura_C, Pureza_reactivoD, PH_reactivoE,data=experimento_resp)
print(homocedasticidad)
## 
##  Bartlett test of homogeneity of variances
## 
## data:  resid(modelo) and Solvente_reactivoA
## Bartlett's K-squared = 461.27, df = 1, p-value < 2.2e-16

CONCLUSION Como se puede ver los residuales no son homocedásticos para los factores, por todo lo anterior se puede concluir que el modelo de regresión planteado para este caso no funciona.

c) Si algunos de los factores son insignificantes plegar el diseño \(2^5-1\) un diseño factorial completo en los factores activos. Comentar el diseño resultante e interpretar los resultados.

Analisis de las interaccione mediante los graficos correspondientes:

grafica_interacciones=IAPlot(experimento_respuesta)

head(grafica_interacciones)
Solvente_reactivoA:Catalizador_reactivoB Solvente_reactivoA:Temperatura_C Solvente_reactivoA:Pureza_reactivoD Solvente_reactivoA:PH_reactivoE Catalizador_reactivoB:Temperatura_C Catalizador_reactivoB:Pureza_reactivoD Catalizador_reactivoB:PH_reactivoE Temperatura_C:Pureza_reactivoD Temperatura_C:PH_reactivoE Pureza_reactivoD:PH_reactivoE
-:- 3.360 1.7325 -0.835 2.6175 3.5350 1.290 3.9350 0.2150 3.0750 0.9550
+:- 3.395 3.8300 1.830 3.6250 2.0275 -0.295 2.3075 0.7800 3.1675 5.2875
-:+ 0.745 2.3725 4.940 1.4875 3.2200 5.465 2.8200 5.3475 2.4875 0.0400
+:+ 3.330 2.8950 4.895 3.1000 2.0475 4.370 1.7675 4.4875 2.1000 4.5475

CONCLUSION Con respecto a los resultados de la grafica anterior se puede ver que existen interacciones fuertes entre los factores B:C, C:D, A:D, y D:C. Para afirmar que las interacciones son significativas se realiza la tabla anova del experimento solo considerando las interacciones dobles

modelo_Catalizador_reactivoB_Temperatura_C=lm(Resultados ~(Catalizador_reactivoB* Temperatura_C), data = datos)
summary(modelo_Catalizador_reactivoB_Temperatura_C)
## 
## Call:
## lm.default(formula = Resultados ~ (Catalizador_reactivoB * Temperatura_C), 
##     data = datos)
## 
## Residuals:
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -4.7075 -1.3700  0.5212  2.0006  3.6525 
## 
## Coefficients:
##                                     Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)   
## (Intercept)                          2.70750    0.74758   3.622   0.0035 **
## Catalizador_reactivoB               -0.67000    0.74758  -0.896   0.3878   
## Temperatura_C                       -0.07375    0.74758  -0.099   0.9230   
## Catalizador_reactivoB:Temperatura_C  0.08375    0.74758   0.112   0.9127   
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 2.99 on 12 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.06436,    Adjusted R-squared:  -0.1695 
## F-statistic: 0.2752 on 3 and 12 DF,  p-value: 0.8422
anova_Catalizador_reactivoB_Temperatura_C=aov(modelo_Catalizador_reactivoB_Temperatura_C)
summary(anova_Catalizador_reactivoB_Temperatura_C)
##                                     Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
## Catalizador_reactivoB                1   7.18   7.182   0.803  0.388
## Temperatura_C                        1   0.09   0.087   0.010  0.923
## Catalizador_reactivoB:Temperatura_C  1   0.11   0.112   0.013  0.913
## Residuals                           12 107.30   8.942
modelo_Temperatura_C_Pureza_reactivoD=lm(Resultados ~(Temperatura_C*Pureza_reactivoD),data = datos)
summary(modelo_Temperatura_C_Pureza_reactivoD)
## 
## Call:
## lm.default(formula = Resultados ~ (Temperatura_C * Pureza_reactivoD), 
##     data = datos)
## 
## Residuals:
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -4.2100 -0.6823  0.2850  0.8550  5.2600 
## 
## Coefficients:
##                                Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept)                     2.91604    0.59705   4.884 0.000376 ***
## Temperatura_C                  -0.28229    0.59705  -0.473 0.644829    
## Pureza_reactivoD                1.76104    0.59705   2.950 0.012153 *  
## Temperatura_C:Pureza_reactivoD  0.09271    0.59705   0.155 0.879183    
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 2.349 on 12 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.4225, Adjusted R-squared:  0.2781 
## F-statistic: 2.926 on 3 and 12 DF,  p-value: 0.07714
anova_Catalizador_reactivoB_Temperatura_C=aov(modelo_Catalizador_reactivoB_Temperatura_C)
summary(anova_Catalizador_reactivoB_Temperatura_C)
##                                     Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
## Catalizador_reactivoB                1   7.18   7.182   0.803  0.388
## Temperatura_C                        1   0.09   0.087   0.010  0.923
## Catalizador_reactivoB:Temperatura_C  1   0.11   0.112   0.013  0.913
## Residuals                           12 107.30   8.942
modelo_solvente_reactivoA_Pureza_reactivoD=lm(Resultados ~(Solvente_reactivoA*Pureza_reactivoD),data = datos)
summary(modelo_solvente_reactivoA_Pureza_reactivoD)
## 
## Call:
## lm.default(formula = Resultados ~ (Solvente_reactivoA * Pureza_reactivoD), 
##     data = datos)
## 
## Residuals:
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -3.3700 -0.8521 -0.0967  0.7062  6.1000 
## 
## Coefficients:
##                                     Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept)                           2.9346     0.5882   4.989 0.000315 ***
## Solvente_reactivoA                    0.4279     0.5882   0.728 0.480860    
## Pureza_reactivoD                      1.6746     0.5882   2.847 0.014703 *  
## Solvente_reactivoA:Pureza_reactivoD  -0.1421     0.5882  -0.242 0.813197    
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 2.314 on 12 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.4395, Adjusted R-squared:  0.2994 
## F-statistic: 3.137 on 3 and 12 DF,  p-value: 0.06541
anova_Solvente_reactivoA_Pureza_reactivoD=aov(modelo_solvente_reactivoA_Pureza_reactivoD)
summary(anova_Solvente_reactivoA_Pureza_reactivoD)
##                                     Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)  
## Solvente_reactivoA                   1   6.86    6.86   1.281 0.2797  
## Pureza_reactivoD                     1  43.23   43.23   8.070 0.0149 *
## Solvente_reactivoA:Pureza_reactivoD  1   0.31    0.31   0.058 0.8132  
## Residuals                           12  64.28    5.36                 
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
modelo_Pureza_reactivoD_PH_reactivoE=lm(Resultados ~(Pureza_reactivoD*PH_reactivoE),data = datos)
summary(modelo_Pureza_reactivoD_PH_reactivoE)
## 
## Call:
## lm.default(formula = Resultados ~ (Pureza_reactivoD * PH_reactivoE), 
##     data = datos)
## 
## Residuals:
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -3.6350 -0.6475  0.0500  0.9356  5.4000 
## 
## Coefficients:
##                               Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept)                    2.91979    0.60144   4.855 0.000395 ***
## Pureza_reactivoD               1.74729    0.60144   2.905 0.013198 *  
## PH_reactivoE                   0.04896    0.60144   0.081 0.936464    
## Pureza_reactivoD:PH_reactivoE -0.16854    0.60144  -0.280 0.784072    
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 2.367 on 12 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.414,  Adjusted R-squared:  0.2674 
## F-statistic: 2.825 on 3 and 12 DF,  p-value: 0.0836
anova_Pureza_reactivo_PH_reactivoE=aov(modelo_Pureza_reactivoD_PH_reactivoE)
summary(anova_Pureza_reactivo_PH_reactivoE)
##                               Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)  
## Pureza_reactivoD               1  46.96   46.96   8.384 0.0134 *
## PH_reactivoE                   1   0.08    0.08   0.014 0.9076  
## Pureza_reactivoD:PH_reactivoE  1   0.44    0.44   0.079 0.7841  
## Residuals                     12  67.21    5.60                 
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

conclusion En base el analisis realizado, registrada tenemos bajo los métodos de realización de las varianzas observamos que el modelo en las reacciones e interacciones con los otros reactivos y midiendo la pureza de reactivo D, se muestra que en cada una de ellas l mayor significancia es este mismo, teniendo que el reactivo con la interacción b y c, el A y D en la intervención del PH del reactivo e, también son significativas bajo este tipo de modelo mientras que las otras intervenciones no tiene ninguna significación. Por lo que se concluye que si existe significa entre la temperatura de los solventes y la puereza de los reactivos.

Bibliografia

Montgomery, D. C. (2004). Diseño y Análisis de Experimentos (2a ed.). Limusa Wiley.